双曲线与方程知识点总结例题习题精讲.docx

精品名师归纳总结课程星级：知能梳理一、双曲线的定义1 、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点 F 1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1 F2|） 的 点 的 轨 迹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ PF1PF22aF1F2（ a 为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。要留意两点： （ 1）距离之差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的肯定值。（ 2） 2a |F 1F 2|。当|MF 1| |MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F2 所对应的一支。 当|MF 1| |MF 2|= 2a 时,曲线仅表示焦点F 1 所对应的一支。当 2a=|F 1F 2|时,轨迹是始终线上以F1、F2 为端点向外的两条射线。 当 2a |F 1F 2|时,动点轨迹不存在。2、其次定义： 动点到肯定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 ee1时,这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、双曲线的标准方程（b2c 2a 2 ,其中 | F F |=2c）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2焦点在 x 轴上： x122y1（ a 0,b 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22焦点在 y 轴上： yax1 （ a 0,b 0）22b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（1）假如x 项的系数是正数, 就焦点在 x 轴上。假如y2 项的系数是正数, 就焦点在 y 轴上。 a 不肯定大于 b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2（ 2）与双曲线2a2y1共焦点的双曲线系方程是b 2x2a 2ky21b 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）双曲线方程也可设为：x2y21mn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mn需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网 三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线x2y2x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P x , y 在双曲线1a0, b0 的内部001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00a 2b 2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P x , y 在双曲线1a0, b0 的外部001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00a 2b 2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P x0,x2y0 在双曲线2a2y1a b 20, b0 上22xy-00a 2b 2 =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222、直线与双曲线代数法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设直线l : ykxm ,双曲线 x22ay1 a b0, b0 联立解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 2a 2k 2 x22a 2mkxa 2m 2a 2b 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） m0 时,bkb,直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kb , k aaab,或 k 不存在时,直线与双曲线没有交点。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） m0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 存在时,如 b 2a 2 k 20 , kb,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 b 2a2 k20 , 2 a2 mk 24b2a 2k 2 a 2m2a 2b 2 4a 2b2 m2b 2a2 k 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 时, m2b2a 2k 20 ,直线与双曲线相交于两点。0 时, m2b2a 2k 20 ,直线与双曲线相离,没有交点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结02222时 mba k20 , km2b22a直线与双曲线有一个交点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k 不存在,ama 时,直线与双曲线没有交点。ma或 m直a 线与双曲线相交于两点。3、过定点的直线与双曲线的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设直线l : ykxm 过定点P x , y2 ,双曲线 x2y1a0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当点Px0, y0 在双曲线内部时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bkb,直线与双曲线两支各有一个交点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aakb ,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点。abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k或 k a或 k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ 2）当点Px0, y0 在双曲线上时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kb 或 kab x0 a2 y,直线与双曲线只交于点P x0 , y0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0bkbaa直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0b2 xk（ y0 ）或 bkb2 x0（ y0 ）或 kb 或 k 不存在,直线与双曲线在一支上有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00a2 y0aa2 y0a两个交点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y00 时, kbb 或 k 不存在,直线与双曲线只交于点abPx0, y0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k或 ka时直线与双曲线的一支有两个交点。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bbk直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）当点aaPx0, y0 在双曲线外部时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 P 0,0 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当点 mk0 时,bkbaab或 ka,直线与双曲线两支各有一个交点。b或 k 不存在,直线与双曲线没有交点。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m2b2k2时,过点P x0 , y0 的直线与双曲线相切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kb 时,直线与双曲线只交于一点。a需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系x2y2x2y2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、如双曲线方程为221aab0, b0渐近线方程：220yxaba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 2x 2y2x2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、如双曲线方程为2a21 （ a0,b0）渐近线方程：ba2b20yb x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b3、如渐近线方程为 yx axy0a bx2y 2双曲线可设为22ab,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 24、如双曲线与2ay 2x 2y 221有公共渐近线,就双曲线的方程可设为22b ab（0 ,焦点在 x 轴上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 ,焦点在 y 轴上） 五、双曲线与切线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x21、双曲线y1a0,b0 上一点P x, y 处的切线方程是 x0 xy0 y1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a 2b200a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22、过双曲线y1a0,b0 外一点P x, y 所引两条切线的切点弦方程是 x0 xy0 y1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a 2b200a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x23、双曲线2a2y1a b20,b0 与直线AxByC0 相切的条件是A2 a2B 2b 2c2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、双曲线的性质标准方程（焦点在x 轴）标准方程（焦点在y 轴）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结双曲线x 2y 2a 2b 21a0, b0y 2x 2a 2b 21a0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第肯定义：平面内与两个定点F1 , F2 的距离的差的肯定值是常数（小于F1F2 ）的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M MF1MF2P2a2ayyF1F2y yF2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxF1F2xPF1定义其次定义：平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e1 时,动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e （ e1 ）叫做双曲线的离心率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pyyy yPPFx2xxF1F2xPF1范畴xa , yRya , xR对称轴x 轴 , y 轴。实轴长为 2a,虚轴长为 2b对称中心原点 O0,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点坐标F1c,0F2 c,0F10,cF2 0, c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点在实轴上,ca2b2 。焦距：F1F22c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点坐标（a ,0） a ,00,a ,0, a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结离心率ec e a1, c2a2b 2 , e 越大就双曲线开口的开阔度越大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a 2xycc准线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结准线垂直于实轴且在两顶点的内侧。两准线间的距离：2a 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2顶点 Alla可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2顶点到准线的距离1 （ A2 ）到准线1 （ 2 ）的距离为 ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点 AAlla1 （ 2 ）到准线 2 （ 1 ）的距离为ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点 F （ F ）到准线l （ l ）的距离为a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点到准线的距离1212ccc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点 F （ F ）到准线l （ l ）的距离为 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结渐近线方程1yb xa221 虚 实c2cxb y 虚 a实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结共渐近线的双曲线系方程x 2y 222abk （ k0 ）y 2x 222abk （ k0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2双曲线1 与直线 ykxb 的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2x2利用 a2b 2y2b21转化为一元二次方程用判别式确定。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线和双曲线的位置ykxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相交弦 AB 的弦长 AB1k2xx 24x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通径：ABy2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过双曲线上一点的切x xy yy0yx0x1 或利用导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00线a21 或利用导数b 2a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、 弦长公式1、如直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点A 、B ,且 x1, x2 分别为 A 、B 的横坐标,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AB x1x2 y1y2, ABk 21 xxk 212xx4x x1k2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12121 2| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 y1, y2 分别为 A 、B 的纵坐标,就 AB21 y1y221y1y24 y1y2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,就弦长2| AB |2b。a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如弦 AB 所在直线方程设为xkyb ,就 AB 1k 2y1y2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、特殊的,焦点弦的弦长的运算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解八、焦半径公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2双曲线 xa2y1 （ a 0, b 0）上有一动点2b 2M x0 , y0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 M x0, y0 在左支上时| MF1 |ex0a , | MF 2 |ex0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 M x0, y0 在右支上时| MF1 |ex0a , | MF 2 |ex0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：焦半径公式是关于x0 的一次函数,具有单调性,当M x0 , y0 在左支端点时| MF1 |ca ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| MF 2 |ca ,当M x0, y0 在左支端点时| MF1 |ca , | MF2 |ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结九、等轴双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y2a 2b 21 （ a 0, b 0）当 ab 时称双曲线为等轴双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1。 ab 。2。离心率 e2 。3。两渐近线相互垂直,分别为y=x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4。等轴双曲线的方程x2y 2,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5。 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。十、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线。共轭双曲线有共同的渐近线。共轭双曲线的四个焦点共圆。它们的离心率的倒数的平方和等于 1。需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网精讲精练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】如下列图, F 为双曲线x2y2C :1 的左焦点,双曲线 C 上的点Pi 与 P7 i i1,2,3关于 y 轴对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称,就P1FP2FP3FP4 FP5 FP6F的值是（ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 9B 16C18D 27可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： P1 FP6FP2FP5FP3FP4F6 ,选 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】设 P 为双曲线 x 2y1 上的一点 F 、F 是该双曲线的两个焦点,如|PF |：|PF |=3：2,就 PF F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212121 212的面积为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 63B 12C 123D 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： a1,b12, c13,由 | PF1 |:| PF2 |3 : 2又 | PF1 | PF2 |2a2, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由、解得| PF1 |6,| PF2 |4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2| PF1 | PF2 |52,| F1F2 |52,PF1F2为直角三角形,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S PF1F212| PF1 |21| PF 2 |26412. 应选 B。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置 .假定当时声音传播的速度为340m/ s : 相关各点均在同一平面上思路：时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x 轴、 y 轴正向,建立直角坐标系.yPCAOBx设 A 、B 、C 分别是西、东、北观测点,就A （ 1020, 0）, B（ 1020, 0）,C（ 0, 1020）设 P（ x,y）为巨响为生点,由A 、C 同时听到巨响声,得 |PA|=|PC|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y= x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故 |PB| |PA|=340 4×=1360可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由双曲线定义知 P 点在以 A、 B 为焦点的双曲线xa 2y1 上,依题意得 a=680, c=1020 ,2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b2c 2a210202x26802y 253402可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故双曲线方程为6802153402可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用 y= x 代入上式,得x6805 , |PB|>|PA|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x6805, y6805 ,即 P6805,6805 ,故 PO68010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0答：巨响发生在接报中心的西偏北45 距中心68010m 处.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【 例】已知双曲线1 的离心率 e,过 Aa,0, B0, b 的直线到原点的距离是.求双曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b232线的方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1） ca23,3原点到直线 AB： xax 2y1 的距离 dbabab3a2b2c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1, a3 . .故所求双曲线方程为y 21 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx【例】已知双曲线的渐近线方程是2 ,焦点在坐标轴上且焦距是10,就此双曲线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设双曲线方程为x24 y2,当0时,化为5210420x2y242510201 ,4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当0 时,化为y2x24x2y251 , 2104y2x220 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上,双曲线方程为11205或 520可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例】已知双曲线 E 的中心为原点, F3,0 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N 12, 15,就 E 的方程x2y222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设双曲线的标准方程为a2 b2 1 a>0, b>0 ,由题意知 c3, a b 9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Ax1, y1, Bx2, y2,就有：2