导数有关知识点总结、经典例题及解析、近高考题带答案说课讲解.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料导数及其应用【考纲说明】1、明白导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）。把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义。懂得导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式。把握两个函数和、差、积、商的求导法就，明白复合函数的求导法就，会求某些简洁函数的导数。3、懂得可导函数的单调性与其导数的关系。明白可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号 。会求一些实际问题一般指单峰函数的最大值和最小值。【学问梳理】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数的概念导导数的运算数导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数的运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、导数的概念导数的应用函数的极值函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y函数 y=fx, 假如自变量x 在 x0 处有增量x ，那么函数y 相应的有增量y =f （ x0+x ） f （ x 0），比值x叫做函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x0xfx0 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 y=f （ x）在 x0 到 x 0+x 之间的平均变化率，即x =x。假如当x0 时，x有极限，我们可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就说函数y=fx 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做f（ x）在点 x0 处的导数，记作f （x 0）或 y x|x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limylimf x0xfx0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 f （x 0） =x0说明：x =x0x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结各种学习资料，仅供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）函数 f（ x ）在点 x0 处可导，是指xy0 时，xy有极限。假如x 不存在极限，就说函数在点x0 处不行导，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或说无导数。（ 2）x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量，x0 时，而y 是函数值的转变量，可以是零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由导数的定义可知，求函数y=f （ x ）在点 x0 处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量y =f （ x 0+x ） f（ x 0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x0xf x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求平均变化率x =x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）取极限，得导数f 0x=二、导数的几何意义limyx0x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y=f （x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线y=f（ x）在点 p（ x 0， f（x0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（ x）在点 p（ x0， f（ x 0）处的切线的斜率是f （ x 0）。相应的，切线方程为y y 0=f/ （ x0）（ x x 0）。三、几种常见函数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n C0;xnxn 1; sinxcos x ; cos xsin x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxxln x1l o g a x1log a e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 e e ; a alna ;x ;x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、两个函数的和、差、积的求导法就法就 1：两个函数的和或差 的导数 ,等于这两个函数的导数的和或差 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即： uv 'u 'v ' .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以其次个函数,加上第一个函数乘以其次个函数的导数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结'即： uv ''u vuv .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如C为 常 数 , 就''Cu Cu .Cu 'C ' uCu '0Cu 'Cu '. 即 常 数 与 函 数 的 积 的 导 数 等 于 常 数 乘 以 函 数 的 导 数 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法就 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uv =u ' vv2uv'（ v0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 y=fx 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法就：y |x= y |u · u |x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结五、导数应用1、单调区间：一般的，设函数yf x 在某个区间可导，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结各种学习资料，仅供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 f假如 f' x' x0 ，就0 ，就f x 为增函数。 f x 为减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如在某区间内恒有f ' x0 ，就f x 为常数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0。曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负。曲线在微小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正。3、最值：一般的，在区间a， b 上连续的函数fx 在a， b上必有最大值与最小值。求函数. x 在a， b内的极值。求函数. x 在区间端点的值. a、.b 。将函数. x 的各极值与. a、 .b 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分1 概念：设函数fx 在区间 a， b 上连续，用分点a x0<x1<<xi 1<xi<xn b 把区间 a， b 等分成 n 个小区间，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nf在每个小区间 xi 1， xi 上取任一点i（ i 1， 2，n）作和式In i 1 i x （其中 x为小区间长度） ，把n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 x 0 时，和式 In 的极限叫做函数fx 在区间 a，b 上的定积分， 记作： x。bf xdxa ，即bf xdxalimnnfi 1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a，b 叫做积分区间， 函数 fx 叫做被积函数， x 叫做积分变量， fxdx叫做被积式。基本的积分公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0dxx m dx1xm 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 C。 m1 C（ m Q， m 1）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x dx lnx C。a xe x dxxe C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a x dxln a C。cosxdx sinx C。sin xdx cosx C（表中 C 均为常数）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 定积分的性质bkf x dxkbf x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 aab（ k 为常数）。b b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x abg xdxcf x dxabg x dxa。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xdx af xdxaf xdxc（其中 ac b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 定积分求曲边梯形面积各种学习资料，仅供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料由三条直线x a， xba<b ， x 轴及一条曲线y fx fx 0围成的曲边梯的面积bSf xdxa。假如图形由曲线y1 f1x ， y2f 2x （不妨设f 1x f 2x 0），及直线x a， x b（ a<b）围 成 ， 那 么 所 求 图 形 的 面 积S S曲 边 梯 形 AMNB S曲 边 梯 形 DMNC 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf1 x dxabf 2 xdxa。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【经典例题】【例 1】（ 2021 广东） 曲线 y=x 3-x+3 在点 1,3处的切线方程：。【解析 】先对函数y=x 3-x+3 求导，得： y=3x 2-1。代入点 1,3 求出斜率， k=2 。设切线方程为y-3=2x-1 ，得切线方程为： y=2x+1 。【例 2】（ 2021 辽宁） 已知 P，Q 为抛物线x2=2y 上两点，点P， Q 的横坐标分别为4， -2，过 P， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A 的纵坐标为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析 】抛物线变形为：y=1x2。求导 y ,=x 。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为：4，-2。点 P， Q 两点坐标2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为4,8 ，-2,2 。得出两切线为：y=4x-8 ， y=-2x-2 。两直线交点为1,-4 。所以交点的纵坐标为-4。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】（ 2021 课标） 已知函数fx=aInxb ，曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为x+2y-3=0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求 a，b 的值。2 假如当 x>0 ，且 x1 时， fx>xInx1xk，求 k 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a x1x1xInx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析 】1f ,x=x xfx=1故即12b=1b 由于直线x+2y-3=0 的斜率为x2解得 a=1， b=1。1，且过点 1,1 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f, 1=1a122b =2ln x1ln xk1 k1x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 由（ 1）知，所以f x2 2ln x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1xx1x1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考虑函数h x2ln xk1 x21 xx0) ，就h ' x k1x2x21) 2 x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i设 k0 ，由h 'xk x21 x x212知，当 x1 时，h ' x0 。而h10 ，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x0,1 时，h x0 ，可得11x2h x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x（ 1， +）时， h（ x ） <0，可得11x2h （ x）>0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结各种学习资料，仅供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而当 x>0, 且 x1 时， f （x ） - （ln xk+x1xln xk） >0，即 f （ x） >+.x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ ii）设 0<k<1. 由于当 x（ 1，11）时，（ k-1 ）（ x2 +1）+2x>0, 故 h （ x ）>0, 而 h（ 1）=0，故当 x（ 1，1）k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时， h（ x ）>0，可得11x2h（ x） <0, 与题设冲突。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ iii）设 k1. 此时 h（ x ） >0, 而 h（ 1） =0，故当x（ 1，+）时， h（ x ） >0，可得冲突。综合得，k 的取值范畴为（-， 0.11x2h （ x） <0, 与题设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 4】（2021 山东） 已知函数fx = f1 ）处的切线与x 轴平行。（）求k 的值。2（）求fx 的单调区间。ln x e xk （k 为常数， e=2.71828是自然对数的底数），曲线 y= fx 在点（ 1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设gx=x 2+xf 'x,其中f 'x 为 fx 的导函数，证明：对任意x 0，g x1e。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln xk1kln xx1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析 】由 fx =e x可 得 f x，而 fe x10 ，即0 ，解得 k1。e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）f x11ln xx，令exf x0 可得 x1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0x1时，f x11ln x x0 。当 x1时， fx11ln x0 。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 fx在区间0,1内为增函数。在1, 内为减函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）g xx 21x x1ln x ex1x2x 2exx ln x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1时，1x20, ln x0, x 2x0,e x0 ， g x01e 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 0x1时，要证g x x21x x1ln x ex1x 2 x2 exx ln x1e 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需证 1x2 x2xlnxex 1e 2 ，然后构造函数即可证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 5】（ 2021 北京） 已知函数f xa x x21，其中 a0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）求函数f x 的单调区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）如直线xy10 是曲线yf x的切线，求实数a 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设g xx ln2xxfx ，求g x 在区间 1,e 上的最大值 .（其中 e 为自然对数的底数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结各种学习资料，仅供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析 】（）f xa2 x3x，（ x0 ），在区间 ,0 和 2, 上， f x0 。在区间 0, 2 上， f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，f x 的单调递减区间是, 0 和 2, ，单调递增区间是0, 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya x0102x0x0y010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x , y a2xx0 13x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e（）设切点坐标为00，就0解得0， a1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）g xx ln xa x1 ，就g xl n x1a 解 g x0 ，得 xa 1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，在区间 0, ea 1g x 为递减函数，在区间a 1,e上，g x 为递增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上，a 10a1 1, eg xg xg eeaae可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 e1 ，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 1a2 1, eg xg xg1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 ee ，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1当 1 <e<e，即 1a2时，g x 的最大值为ge 和 g 1 中较大者。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g eg 1 aee a0 ，解得 ae1ae1 ，所以，ee1 时， g x 最大值为g eeeaae ，e1a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时， g x 最大值为g 10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0a综上所述，当ee1 时，g x最大值为g eea ae ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ae当e1 时，g x 的最大值为g 10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 6】（ 2021 重庆） 已知函数f xax3bxc 在 x2 处取得极值为c16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 求 a 、b 的值。 2 如f x 有极大值28,求f x 在 3,3 上的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析 】1. 因f x3axbxc故2f x3axb 由于f x在点 x2处取得极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 20故有即12ab0,化简得12ab0a1解得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 2c 168a2bcc164ab8b12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 由 知f x3x12xc , f2x3 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 f x0 ， 得 x12, x22 当 x,2 时 ,f x0 故f x在 ,2 上 为 增 函 数 。 当 x2,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结各种学习资料，仅供学习与沟通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时, f x0故 f x 在 2, 2上为减函数当 x2, 时 f x0 ，故f x 在 2,上为增函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可知f x 在x12处取得极大值f 216c ， f x在 x22处取得微小值f 2c16 由题设条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知 16c28得 c12 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时 f39c21, f39c3 , f2c164 因此f x上 3,3 的最小值为f 24 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 7】（ 2021 安徽） 设f xex1ax，其中 a 为正实数可编辑资料