2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第8章 第7节　双曲线 .doc

第七节双曲线考纲传真(教师用书独具)1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用(对应学生用书第144页)基础知识填充1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)知识拓展1三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(AB<0)(2)当已知双曲线的渐近线方程bxay0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a2y2(0)(3)与双曲线1有相同的渐近线的双曲线方程可设为(0)2等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m>0，n>0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知双曲线1(a>0)的离心率为2，则a()A2B CD1D依题意，e2，所以2a，则a21，a1.3若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11 B9 C5 D3B由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()Ay21Bx21C1 D1A由题意可得解得a2，则b1，所以双曲线的方程为y21，故选A5(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.5双曲线的标准方程为1(a>0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.(对应学生用书第145页)双曲线的定义及应用(1)已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12D6(2)(2017湖北武汉调研)若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是()A8B9C10D12(1)B(2)B(1)由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S|PF1|PF2|24.(2)由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号所以|PF|PA|的最小值为9.规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”.若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时需注意定义的转化应用.2.在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立与|PF1|PF2|间的联系.跟踪训练已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1() 【导学号：79140294】A BC DA由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.双曲线的标准方程(1)(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A1B1C1 D1(2)(2018湖北调考)已知点A(1,0)，B(1,0)为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，点M在双曲线上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则该双曲线的标准方程为()Ax21Bx21Cx21Dx2y21(1)B(2)D(1)由yx可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B(2)由题意知a1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|BM|2，ABM120.过点M作MNx轴于点N，则|BN|1，|MN|，所以M(2，)，代入双曲线方程得41，解得b1，所以双曲线的方程为x2y21，故选D规律方法求双曲线标准方程的主要方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论.跟踪训练(1)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A1 B1C1 D1(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_(1)C(2)1由焦点F2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.所以双曲线C的标准方程为1.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1，即1.双曲线的几何性质角度1双曲线的离心率问题(2018长沙模拟(二)已知双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆(x2)2y2相切，则该双曲线的离心率为()A BCD3A由双曲线1(a0，b0)的渐近线yx，即bxay0与圆相切得，即cb，则c23b23(c2a2)，化简得ca，则该双曲线的离心率为e，故选A角度2双曲线的渐近线问题(2018合肥二检)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_yx因为e，所以c2a2b23a2，故ba，则此双曲线的渐近线方程为yxx.角度3双曲线性质的综合应用(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A BC DD因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D规律方法与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得.(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.跟踪训练(1)(2017全国卷)若a>1，则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(，)B(，2)C(1，)D(1,2)(2)(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)(3)(2017武汉调研)双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于_. 【导学号：79140295】(1)C(2)A(3)8(1)由题意得双曲线的离心率e.e21.a1，01，112，1e.故选C(2)若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为1，即即n>3m2且n<m2，此时n不存在故选A(3)因为e，所以ca，设双曲线的一条渐近线方程为yx，即axby0，焦点为(0，c)，所以b3，所以a，所以a216，即a4，故2a8.