2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第1章　集合与常用逻辑用语 1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 .docx

13简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 知识梳理1简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作pq；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作pq；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作綈p.(3)命题pq，pq，綈p的真假判断 (4)命题的否定与否命题的区别定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若p，则q”的否定为“若p，则綈q”，而否命题为“若綈p，则綈q”与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系2全称量词和存在量词3全称命题和特称命题4复合命题的否定(1)“綈p”的否定是“p”；(2)“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”；(3)“pq”的否定是“(綈p)(綈q)”诊断自测1概念思辨(1)若pq为真，则pq必为真；反之，若pq为真，则pq必为真()(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词()(4)x0M，p(x0)与xM，綈p(x)的真假性相反()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A21P27T3)命题“x>0，都有x2x30”的否定是()Ax>0，使得x2x30Bx>0，使得x2x3>0Cx>0，都有x2x3>0Dx0，都有x2x3>0答案B解析命题“x>0，都有x2x30”的否定是：x>0，使得x2x3>0.故选B.(2)(选修A21P18T1)已知命题p：xR，x2>lg x，命题q：xR，x2>0，则()A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p(綈q)是真命题D命题p(綈q)是假命题答案C解析由于x10时，x28，lg xlg 101，故命题p为真命题，令x0，则x20，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题pq是真命题，命题pq是假命题，綈q是真命题，进而得到命题p(綈q)是真命题，命题p(綈q)是真命题故选C.3小题热身(1)(2015浙江高考)命题“nN*，f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()AnN*，f(n)N*且f(n)>nBnN*，f(n)N*或f(n)>nCn0N*，f(n0)N*且f(n0)>n0Dn0N*，f(n0)N*或f(n0)>n0答案D解析“f(n)N*且f(n)n”的否定为“f(n)N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题故选D.(2)(2015山东高考)若“x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_答案1解析若0x，则0tanx1，“x，tanxm”是真命题，m1.实数m的最小值为1.题型1含有逻辑联结词的命题的真假 (2018江西七校联考)已知函数f(x)给出下列两个命题：命题p：m(，0)，方程f(x)0有解；命题q：若m，则ff(1)0，那么，下列命题为真命题的是()Apq B(綈p)qCp(綈q) D(綈p)(綈q)利用复合命题的真假判断方法，逐项验证法答案B解析因为3x>0，当m<0时，mx2<0，所以命题p为假命题；当m时，因为f(1)31，所以ff(1)f20，所以命题q为真命题，逐项检验可知，只有(綈p)q为真命题故选B.(2017武汉模拟)若存在正常数a，b，使得xR有f(xa)f(x)b恒成立，则称f(x)为“限增函数”给出下列三个函数：f(x)x2x1；f(x)；f(x)sinx2，其中是“限增函数”的是()A B C D注意放缩法的应用答案B解析对于，f(xa)f(x)b可化为(xa)2(xa)1x2x1b，即2axa2ab，即x对一切xR均成立，因函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a，b，故f(x)x2x1不是“限增函数”；对于，若f(x)是“限增函数”，则f(xa)f(x)b可化为：b，|xa|x|b22b恒成立，又|xa|x|a，|x|a|x|b22b，显然当a<b2时式子恒成立，f(x)是“限增函数”；对于，1f(x)sinx21，f(xa)f(x)2，当b2时，a为任意正数，使f(xa)f(x)b恒成立，故f(x)sinx2是“限增函数”故选B.方法技巧1判断含逻辑联结词命题真假的方法与步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断见冲关针对训练1.(2)判断命题真假的步骤2含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)pq真p，q至少一个真(綈p)(綈q)假(2)pq假p，q均假(綈p)(綈q)真(3)pq真p，q均真(綈p)(綈q)假(4)pq假p，q至少一个假(綈p)(綈q)真(5)綈p真p假；綈p假p真见典例1.冲关针对训练1(2018天星二联)已知命题p：若a0.30.3，b1.20.3，clog1.20.3，则a<c<b；命题q：“x2x6>0”是“x>4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)答案C解析因为0<a0.30.3<0.301，b1.20.3>1.201，clog1.20.3<log1.210，所以c<a<b，故命题p为假命题，綈p为真命题；由x2x6>0可得x<2或x>3，故“x2x6>0”是“x>4”的必要不充分条件，q为真命题，故(綈p)q为真命题故选C.2(2018山西八校联考)已知命题p：存在nR，使得f(x)nxn22n是幂函数，且在(0，)上单调递增；命题q：“xR，x22>3x”的否定是“xR，x22<3x”则下列命题为真命题的是()Apq B(綈p)qCp(綈q) D(綈p)(綈q)答案C解析当n1时，f(x)x3为幂函数，且在(0，)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“xR，x22>3x”的否定是“xR，x223x”，故q是假命题，綈q是真命题所以pq，(綈p)q，(綈p)(綈q)均为假命题，p(綈q)为真命题故选C.题型2全称命题与特称命题角度1全称命题、特称命题的真假判断(2017贵阳模拟)下列命题是假命题的是()A，R，使sin()sinsinBR，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数Cx0R，使xaxbx0c0(a，b，cR且为常数)Da>0，函数f(x)ln2 xln xa有零点本题用赋值法、分离常数法答案B解析取0时，sin()sinsin，A正确；取时，函数f(x)sincos2x是偶函数，B错误；对于三次函数f(x)x3ax2bxc，当x时，y，当x时，y，又f(x)在R上为连续函数，故x0R，使xaxbx0c0，C正确；当f(x)0时，ln2 xln xa0，则有aln2 xln x2，所以a>0，函数f(x)ln2 xln xa有零点，D正确故选B.角度2全称命题、特称命题的否定(2018厦门模拟)已知命题p：x，sinx<x，则()Ap是真命题，綈p：x，sinxxBp是真命题，綈p：x0，sinx0x0Cp是假命题，綈p：x，sinxxDp是假命题，綈p：x0，sinx0x0用构造函数法，求导法答案B解析令f(x)sinxx，则f(x)cosx1<0，函数f(x)在递减，f(x)max<f(0)0，故sinx<x，命题p是真命题，由命题的否定的定义，要否定命题的结论，同时改写量词知綈p：x0，sinx0x0.故选B.方法技巧全(特)称命题的常见题型及解题策略1全(特)称命题的真假判断要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每个元素x验证p(x)成立，但要判断一个全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个xx0，使得p(x0)不成立即可要判断一个特称命题为真命题，只要在限定的集合M中，找到一个xx0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题见角度1典例2全(特)称命题的否定全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可见角度2典例冲关针对训练1(2018晋中模拟)已知f(x)exx，g(x)ln xx1，命题p：xR，f(x)>0，命题q：x0(0，)，使得g(x0)0，则下列说法正确的是()Ap是真命题，綈p：x0R，f(x0)<0Bp是假命题，綈p：x0R，f(x0)0Cq是真命题，綈q：x(0，)，g(x)0Dq是假命题，綈q：x(0，)，g(x)0答案C解析f(x)ex1，由f(x)>0得x>0，由f(x)<0得x<0，即当x0时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f(0)e00101>0，所以xR，f(x)>0成立，即p是真命题g(x)ln xx1在(0，)上为增函数，当x0时，g(x)<0，g(1)0112>0，则x0(0，)，使得g(x0)0成立，即命题q是真命题则綈p：x0R，f(x0)0，綈q：x(0，)，g(x)0，综上只有C成立故选C.2(2017安徽皖江名校联考)命题p：存在x，使sinxcosx>；命题q：“x0(0，)，ln x0x01”的否定是“x(0，)，ln xx1”，则四个命题：(綈p)(綈q)，pq，(綈p)q，p(綈q)中，正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析因为sinxcosxsin，所以命题p是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q为真命题则(綈p)(綈q)为真命题，pq为假命题，(綈p)q为真命题，p(綈q)为假命题四个命题中正确的有2个命题故选B.题型3由命题的真假求参数的取值范围已知命题P：函数yloga(12x)在定义域上单调递增；命题Q：不等式(a2)x22(a2)x4<0对任意实数x恒成立若PQ是假命题，则实数a的取值范围是_注意分情况讨论答案a2或a>2解析命题P：函数yloga (12x)在定义域上单调递增，0<a<1.又命题Q：不等式(a2)x22(a2)x4<0对任意实数x恒成立，a2或即2<a2.若PQ为假命题，则P假Q假，命题P为假时，有a0或a1；命题Q为假时，有a2或a>2，所以PQ为假时a2或a>2.结论探究在本例条件下，若PQ为真命题，PQ为假命题，则实数a的取值范围为_答案2<a0或1a2解析若PQ为真，PQ为假，命题P和Q一真一假，若P真Q假，无解；若P假Q真，有2<a0或1a2.(2018河北调研)对任意的x>0，总有f(x)ax|lg x|0，则a的取值范围是()A(，lg elg (lg e) B(，1C1，lg elg (lg e) Dlg elg (lg e)，)用数形结合法答案A解析对任意的x>0，总有f(x)ax|lg x|0，即ax|lg x|恒成立，设yxa，g(x)|lg x|，如图，当直线yxa与g(x)相切时，a取得最大值，设切点为A(x，y)，则1(lg x)，得到xlg e，所以ylg (lg e)，所以切线方程为：ylg (lg e)(xlg e)，令x0得到ylg elg (lg e)，所以a的取值范围为(，lg elg (lg e)故选A.方法技巧利用命题真假求参数取值范围的求解策略1根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围见典例1.2全称命题可转化为恒成立问题同时注意数形结合思想的应用见典例2.冲关针对训练(2018寿县月考)已知命题P：x(2,3)，x25>ax是假命题，则实数a的取值范围是()A2，) B.C. D(，2答案A解析若x(2,3)，x25>ax恒成立，则a<min，x(2,3)f(x)x在(2，)上是减函数，在(，3)上为增函数，函数f(x)的最小值是f()2，则a<2.命题P：x(2,3)，x25>ax是假命题，a2，实数a的取值范围是2，)故选A.1(2017山东高考)已知命题p：x0，ln (x1)0；命题q：若ab，则a2b2.下列命题为真命题的是()Apq Bp(綈q)C(綈p)q D(綈p)(綈q)答案B解析x0，x11，ln (x1)ln 10，命题p为真命题，綈p为假命题ab，取a1，b2，而121，(2)24，此时a2b2，命题q为假命题，綈q为真命题pq为假命题，p(綈q)为真命题，(綈p)q为假命题，(綈p)(綈q)为假命题故选B.2(2018郑州质检)设命题p：x>0，log2x<2x3，则綈p为()Ax>0，log2x2x3 Bx>0，log2x2x3Cx>0，log2x<2x3 Dx<0，log2x2x3答案B解析由全称命题的否定为特称命题，知綈p为x>0，log2x2x3.故选B.3(2017石家庄质检)下列选项中，说法正确的是()A若a>b>0，则ln a<ln bB向量a(1，m)，b(m,2m1)(mR)垂直的充要条件是m1C命题“nN*,3n>(n2)2n1”的否定是“nN*,3n(n2)2n1”D已知函数f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题答案D解析A中，因为函数yln x(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则ln a>ln b，错误；B中，若ab，则mm(2m1)0，解得m0，错误；C中，命题“nN*,3n>(n2)2n1”的否定是“nN*,3n(n2)2n1”，错误；D中，原命题的逆命题是“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函数f(x)x22x3在区间2,4上的图象是连续不断的，且在区间(2,4)内有两个零点，但f(2)f(4)>0，正确故选D.4(2017皖南名校联考)设命题p：函数f(x)x3ax1在区间1,1上单调递减；命题q：函数yln (x2ax1)的值域是R，如果命题p或q是真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是()A(，3 B(，22,3)C(2,3 D3，)答案B解析若p为真命题，则f(x)3x2a0在区间1，1上恒成立，即a3x2在区间1,1上恒成立，所以a3；若q为真命题，则方程x2ax10的判别式a240，即a2或a2.由题意知，p与q一真一假当p真q假时，则a；当p假q真时，则a2或2a<3.综上所述，a(，22,3)故选B. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018武邑模拟)已知命题p：x>0，总有(x1)ex>1，则綈p为()Ax00，使得(x01)ex01Bx0>0，使得(x01)ex01Cx>0，总有(x1)ex1Dx0，总有(x1)ex1答案B解析“x>0，总有(x1)ex>1”的否定是“x0>0，使得(x01)ex01”故选B.2下列四个命题：其中的真命题是()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案D解析3已知a>0，函数f(x)ax2bxc.若x0满足关于x的方程2axb0，则下列选项的命题中为假命题的是()AxR，f(x)f(x0) BxR，f(x)f(x0)CxR，f(x)f(x0) DxR，f(x)f(x0)答案C解析由题知：x0为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)f(x0)，因此xR，f(x)f(x0)是错误的故选C.4(2018广东五校一诊)下列命题错误的是()A若pq为假命题，则pq为假命题B若a，b0,1，则不等式a2b2<成立的概率是C命题“xR，使得x2x1<0”的否定是“xR，x2x10”D已知函数f(x)可导，则“f(x0)0”是“x0是函数f(x)的极值点”的充要条件答案D解析选项A，若pq为假命题，则p为假命题，q为假命题，故pq为假命题，正确；选项B，使不等式a2b2<成立的a，b，故不等式a2b2<成立的概率是，正确；选项C，特称命题的否定是全称命题，正确；选项D，令f(x)x3，则f(0)0，但0不是函数f(x)x3的极值点，错误故选D.5(2017河西区三模)已知命题p：x1,2，使得exa0.若綈p是假命题，则实数a的取值范围为()A(，e2 B(，eCe，) De2，)答案B解析命题p：x1,2，使得exa0.a(ex)mine，若綈p是假命题，p是真命题，ae.则实数a的取值范围为(，e故选B.6已知命题p：xR，mx210，命题q：xR，x2mx1>0，若pq为真命题，则实数m的取值范围是()A(，2) B2,0)C(2,0) D(0,2)答案C解析由题可知若pq为真命题，则命题p和命题q均为真命题，对于命题p为真，则m<0，对于命题q为真，则m24<0，即2<m<2，所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(2,0)故选C.7(2018黄冈模拟)下列四个结论：若x>0，则x>sinx恒成立；命题“若xsinx0，则x0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件；命题“xR，xln x>0”的否定是“x0R，x0ln x0<0”其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析对于，令yxsinx，则y1cosx0，则函数yxsinx在R上递增，则当x>0时，xsinx>000，即当x>0时，x>sinx恒成立，故正确；对于，命题“若xsinx0，则x0”的逆否命题为“若x0，则xsinx0”，故正确；对于，命题pq为真即p，q中至少有一个为真，pq为真即p，q都为真，可知“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件，故正确；对于，命题“xR，xln x>0”的否定是“x0R，x0ln x00”，故错误综上，正确结论的个数为3.故选C.8(2017广东七校联考)已知命题p：a，函数f(x)在上单调递增；命题q：函数g(x)xlog2x在区间上无零点则下列命题中是真命题的是()A綈p BpqC(綈p)q Dp(綈q)答案D解析设h(x)x.易知当a时，函数h(x)为增函数，且h>0，则此时函数f(x)在上必单调递增，即p是真命题；g<0，g(1)1>0，g(x)在上有零点，即q是假命题，根据真值表可知p(綈q)是真命题故选D.9(2018广州测试)已知命题p：x>0，exax<1成立，q：函数f(x)(a1)x在R上是减函数，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析作出yex与yax1的图象，如图当a1时，exx1恒成立，故当a1时，exax<1不恒成立；当a>1时，可知存在x(0，x0)，使得exax<1成立，故p成立，即p：a>1，由函数f(x)(a1)x是减函数，可得a1>1，得a>2，即q：a>2，故p推不出q，q可以推出p，p是q的必要不充分条件故选B.10(2017泰安模拟)已知命题p：存在x0R，mx1<1，q：对任意xR，x2mx10，若p(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是()A(，0)(2，) B(0,2C0,2 DR答案C解析对于命题p，mx21<1，得mx2<0，若p为真命题，则m<0，若p为假命题，则m0；对于命题q，对任意xR，x2mx10，若命题q为真命题，则m240，即2m2，若命题q为假命题，则m<2或m>2.因为p(綈q)为假命题，则需要满足命题p为假命题且命题q为真命题，即解得0m2，故选C.二、填空题11若a(0，)，R，使asina成立，则cos的值为_答案解析因为a(0，)，R，使asina成立，所以sin1.又sin1,1，所以sin1，故2k(kZ)所以coscoscoscos.12已知命题p：方程x2mx10有实数解，命题q：x22xm>0对任意x恒成立若命题q(pq)真、綈p真，则实数m的取值范围是_答案(1,2)解析由于綈p真，所以p假，则pq假，又q(pq)真，故q真，即命题p假、q真当命题p假时，即方程x2mx10无实数解，此时m24<0，解得2<m<2；当命题q真时，44m<0，解得m>1.所以所求的m的取值范围是1<m<2.13若f(x)x22x，g(x)ax2(a>0)，x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)，则实数a的取值范围是_答案解析由于函数g(x)在定义域1,2内是任意取值的，且必存在x01,2，使得g(x1)f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集函数f(x)的值域是1,3，函数g(x)的值域是2a,22a，则有2a1且22a3，即a.又a>0，故a的取值范围是.14(2017衡水调研)直线x1与抛物线C：y24x交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记ab(a，bR)，其中O为抛物线C的顶点(1)当与平行时，b_；(2)给出下列命题：a，bR，PMN不是等边三角形；a<0且b<0，使得与垂直；无论点P在准线上如何运动，ab1恒成立其中，所有正确命题的序号是_答案(1)1(2)解析(1)(1,2)，(1，2)，ab(ab,2a2b)，2a2b2(ab)0，a0.抛物线的准线为x1，点P在准线上，P点的横坐标为1，ab1，b1.(2)对于，假设是等边三角形，则P(1,0)，|PM|2，|MN|4，|MN|PM|，这与假设矛盾，假设不成立，原结论正确；对于，与垂直，0，得到ab，正确；显然成立三、解答题15(2018吉林大学附中模拟)设a为实常数，yf(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)9x7.若“x0，)，f(x)<a1”是假命题，求实数a的取值范围解yf(x)是定义在R上的奇函数，故可求解析式为f(x)又“x0，f(x)<a1”是假命题，则x0，f(x)a1是真命题，当x0时，0a1，解得a1；当x>0时，9x7a1，结合基本不等式有6|a|7a1，得a或a，取交集得a的取值范围是a.16(2018福建晨曦中学联考)已知命题p：函数yx22xa在区间(1,2)上有1个零点，命题q：函数yx2(2a3)x1的图象与x轴交于不同的两点如果pq是假命题，pq是真命题，求a的取值范围解若命题p为真，则函数yx22xa在区间(1,2)上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x1，所以所以0<a<1.若命题q为真，则函数yx2(2a3)x1的图象与x轴交于不同的两点，由(2a3)24>0，得4a212a5>0，解得a<或a>.因为pq是假命题，pq是真命题，所以p，q一真一假若p真q假，则所以a<1；若p假q真，则所以a0或a>.故实数a的取值范围是a0或a<1或a>.