2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第2章　函数、导数及其应用 2.9　函数模型及其应用 .docx

29函数模型及其应用 知识梳理1七类常见函数模型2指数、对数、幂函数模型的性质3解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性诊断自测1概念思辨(1)在(0，)上，随着x的增大，yax(a>1)的增长速度会超过并远远大于yx(>0)的增长速度()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题()(3)当a>1时，不存在实数x0，使.()(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化 (1)(必修A1P59T6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 20.3010，lg 30.4771，lg 1092.0374，lg 0.092.9543)()A2015年 B2011年 C2010年 D2008年答案B解析设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a(19%)x4a.x16.故选B.(2)(必修A1P107T1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01Ay2x2 By(x21)Cylog2x Dylogx答案B解析由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数，排除A，C，D，B中函数y(x21)符合题意故选B.3小题热身(1) (2018湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 _千克答案解析前10天满足一次函数关系，设为ykxb，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得解得k，b，所以yx，则当x6时，y.(2)(2017朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：f(x)pqx(q>0，q1)；f(x)logpxq(p>0，p1)；f(x)x2pxq.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为_(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1)10，f(3)2，则f(x)_.答案x28x17解析()因为f(x)pqx，f(x)logqxq是单调函数，f(x)x2pxq中，f(x)2xp，令f(x)0，得x，f(x)出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f(x)x2pxq.()f(1)10，f(3)2，解得p8，q17，f(x)x28x17，故答案为；x28x17.题型1二次函数及分段函数模型 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿(1)当x200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之解(1)当x200,300时，设该项目获利为S，则S200xx2400x80000(x400)2，所以当x200,300时，S<0，因此该单位不会获利当x300时，S取得最大值5000，当x200时，S取最小值20000，所以国家每月补偿数额的范围是5000,20000(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为当x120,144)时，x280x5040(x120)2240，所以当x120时，取得最小值240.当x144,500时，x2002 200200，当且仅当x，即x400时，取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解2实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决见典例3实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；(2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解冲关针对训练(2017广州模拟)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解(1)设A，B两种产品分别投资x万元(x0)，所得利润分别为f(x)，g(x)万元由题意可设f(x)k1x，g(x)k2(x0)，所以根据图象可解得f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，所以总利润y8.25万元设B产品投入x万元，A产品投入(18x)万元，该企业可获总利润为y万元则y(18x)2，0x18.令t，t0,3 ，则y(t28t18)(t4)2.所以当t4时，ymax8.5，此时x16,18x2，所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元题型2指数函数模型(2017西安模拟)我国加入WTO后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P的关系近似满足：yP(x)2(1kt)(xb)2(其中t为关税的税率，且t，x为市场价格，b，k为正常数)，当t时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b，k的值；(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)2.当PQ时的市场价格称为市场平衡价格为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值本题用函数思想，采用换元法解方法技巧构建指数函数模型的关注点1指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决2应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型3ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(单位：万人)与年份x(单位：年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210，log1.0121.215.3)解(1)1年后该城市人口总数为y1001001.2%100(11.2%)，2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y100(11.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)所以10年后该城市人口总数约为112.7万人(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(11.2%)x120，于是1.012x，所以xlog1.012log1.0121.215.315(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人题型3对数函数模型某企业根据分析和预测，能获得10万1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数yf(x)模拟此方案(1)写出模拟函数yf(x)所满足的条件；(2)试分析函数模型y4lg x3是否符合此方案要求，并说明理由用函数思想，采用导数法解(1)由题意，yf(x)所满足的条件是：f(x)在10,1000上为增函数，f(x)9，f(x)x.(2)对于y4lg x3，显然在10,1000上是增函数，满足条件.当10x1000时，4lg 103y4lg 10003，即1y9，满足条件.证明如下：f(x)x，即4lg x3x，对于x10,1000恒成立令g(x)4lg x3x，x10,1000，g(x)，e<，lg e<lg，20lg e<10，又x10，20lg ex<0，g(x)<0对于x10,1000恒成立，g(x)在10,1000上是减函数g(x)g(10)4lg 103101<0，即4lg x3x0，即4lg x3x，对x10,1000恒成立，从而满足条件.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，所以1log32，即log33，解得27，即Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位1(2015北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A6升 B8升 C10升 D12升答案B解析因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶3560035000600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，故选B.2(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.1答案D解析设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1p)(1q)设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1x)2a(1p)(1q)，由于连续两年持续增加，所以x>0，因此x1，故选D.3(2015四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时答案24解析依题意有192eb,48e22kbe22keb，所以e22k，所以e11k或(舍去)，于是该食品在33 的保鲜时间是e33kb(e11k)3eb319224(小时)4(2017江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A，该店产品A每日的销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y4(x6)2，其中2<x<6.(1)若产品A销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A所获得的利润；(2)试确定产品A的销售价格x的值，其使该店每日销售产品A所获得的利润最大(保留1位小数)解(1)当x4时，y4(46)221千件，此时该店每日销售产品A所获得的利润为(42)2142千元(2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)(x2)104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2<x<6)，从而f(x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f(x)0，得x，易知在上，f(x)>0，函数f(x)单调递增；在上，f(x)<0，函数f(x)单调递减所以x是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/件时，利润最大 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x2.01.001.02.03.0y0.240.5112.023.988.02则y关于x的函数关系与下列函数最接近的(其中a，b为待定系数)是()Ayabx ByabxCyax2b Dya答案B解析由x0时，y1，排除D；由f(1.0)f(1.0)，排除C；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2(2017云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系可用图象表示的是()答案A解析由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是()A2.4元 B3元 C2.8元 D3.2元答案B解析设每本定价x元(x2)，销售总收入是y元，则yx104x(92x)9104.2x29x90x3，故选B.4(2017南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处 C3 km处 D2 km处答案A解析设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，于是y1，y2k2x，解得k120，k2.设总费用为y，则y28.当且仅当，即x5时取等号故选A.5(2015北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案D解析对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误；对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确故选D.6(2017北京朝阳测试)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线yaen t假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m的值为()A7 B8 C9 D10答案D解析根据题意知e5n，令aaen t，即en t，因为e5n，故e15n，比较知t15，m15510.故选D.7(2016天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元 C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得y依题有(p0.25)%，解得x320.故选D.8(2017北京朝阳区模拟)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是()A投资3天以内(含3天)，采用方案一B投资4天，不采用方案三C投资6天，采用方案一D投资12天，采用方案二答案D解析由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为404160(元)，方案二的回报约为10203040100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为406240(元)，方案二的回报约为102030405060210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误故选D.9(2017福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A8 B9 C10 D11答案C解析设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(nN*)个“半衰期”后的含量为n，由n<得n10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”故选C.10(2017北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A3000元 B3300元 C3500元 D4000元答案B解析由题意，设利润为y元，租金定为300050x元(0x70，xN)则y(300050x)(70x)100(70x)(290050x)(70x)50(58x)(70x)502，当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每月租金定为30003003300(元)时，公司获得最大利润，故选B.二、填空题11(2017金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系Ra(a为常数)，广告效应为DaA.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为_(用常数a表示)答案a2解析令t(t0)，则At2，Datt22a2.当ta，即Aa2时，D取得最大值12一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(cm3)，若经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一答案16解析当t0时，ya；当t8时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta.ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min.13(2014北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系pat2btc(a，b，c是常数)，右图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为_答案3.75分钟解析由已知得解得p0.2t21.5t22，当t3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟14为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式yta(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过_小时后，学生才能回到教室答案(1)y(2)0.6解析(1)设ykt，由图象知ykt过点(0.1,1)，则1k0.1，k10，y10t(0t0.1)由yta过点(0.1,1)，得10.1a，解得a0.1，yt0.1(t>0.1)(2)由t0.10.25，得t0.6.故至少需经过0.6小时学生才能回到教室三、解答题15(2017济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益据估算，若今年的实际销售单价为x元/件(1x2)，则新增的年销量P4(2x)2(万件)(1)写出今年商户甲的收益f(x)(单位：万元)与x的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由解(1)由题意可得：f(x)14(2x)2(x1)，1x2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元f(x)8(x2)(x1)14(2x)212x240x33(2x3)(6x11)，可得当x时，函数f(x)单调递增；当x时，函数f(x)单调递减；当x时，函数f(x)单调递增x时，函数f(x)取得极大值，f1；又f(2)1.当x或x2时，函数f(x)取得最大值1(万元)因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益16(2017北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)a1x24x6，g(x)a23xb2(a1，a2，b2R)(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年110月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况解(1)依题意：由f(1)6，解得a14，所以f(x)4x24x6.由得解得a2，b25，所以g(x)3x53x15.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f(5)86万元，乙厂在今年5月份的利润为g(5)86万元，故有f(5)g(5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年110月份甲、乙两个工厂的利润：当x1或x5时，有f(x)g(x)；当x2,3,4时，有f(x)>g(x)；当x6,7,8,9,10时，有f(x)<g(x)