2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第1章集合与常用逻辑用语 1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件 .docx

12命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.(3)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提3充要条件(1)集合与充要条件(2)充分条件与必要条件的两个特征对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“pq且qr”“pr”(“pq且qr”“pr”)诊断自测1概念思辨(1)“x22x3<0”是命题()(2)命题“若p，则q”的否定是“若綈p，则綈q”()(3)若命题“若p，则q”为真命题，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. ()(4)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件. ()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A11P6练习)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数答案C解析若命题为“若p，则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若xy不是偶数，则x与y不都是偶数”故选C.(2)(选修A11P12A组T3)x23x20是x1的_条件答案充分不必要解析若x23x20则x1且x2，此时充分性成立，当x2时，满足x1，但此时x23x20成立，即必要性不成立，即x23x20是x1的充分不必要条件3小题热身(1)(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4 S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析解法一：数列an是公差为d的等差数列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d>0，则21d>20d,10a121d>10a120d，即S4S6>2S5.若S4S6>2S5，则10a121d>10a120d，即21d>20d，d>0.“d>0”是“S4S6>2S5”的充分必要条件故选C.解法二：S4S6>2S5S4S4a5a6>2(S4a5)a6>a5a5d>a5d>0，“d>0”是“S4S6>2S5”的充分必要条件故选C.(2)(2017山东潍坊高三期末)命题“若x5，则x28x150”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()A0个 B1个 C2个 D3个答案B解析原命题“若x5，则x28x150”为真命题，又当x28x150时，x3或5.故其逆命题：“若x28x150，则x5”为假命题又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题故选B.题型1四种命题的关系及真假判断已知：命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()A否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m>1”，是真命题B逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题C逆否命题是“若m>1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”， 是真命题D逆否命题是“若m>1, 则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断答案D解析由f(x)exmx在(0，)上是增函数，则f(x)exm0恒成立，m1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题故选D.(2018黄梅期末)给出下列命题：命题“若b24ac<0，则方程ax2bxc0(a0)无实根”的否命题；命题“ABC中，ABBCCA，那么ABC为等边三角形”的逆命题；命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；“若m>1，则mx22(m1)x(m3)>0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为_分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断答案解析命题“若b24ac<0，则方程ax2bxc0(a0)无实根”的否命题是“若b24ac0，则方程ax2bxc0(a0)有实根”，是真命题；命题“ABC中，ABBCCA，那么ABC为等边三角形”的逆命题是“ABC是等边三角形，则ABBCCA”，是真命题；命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，它的逆否命题也是真命题；命题“若m>1，则mx22(m1)x(m3)>0的解集为R”的逆命题是“若mx22(m1)x(m3)>0的解集为R，则m>1”是假命题，不等式的解集为R时，的解集为，逆命题是假命题；真命题有.方法技巧四种命题关系及真假判断的方法1由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变例如典例2.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例3根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假例如冲关针对训练2.冲关针对训练1(2018陕西模拟)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假答案B解析先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1abi(a，bR)，则z2abi，则|z1|z2|，原命题为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，逆命题为假，故否命题也为假故选B.2(2017沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有_(填序号)命题“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；命题“若ABB，则AB”的逆否命题答案解析对于，命题“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，它是真命题；对于，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面积不相等的两个三角形不全等”，它是真命题；对于，命题“若ABB，则AB”是假命题，它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是.题型2充分条件与必要条件的判定角度1利用定义判断充分、必要条件(2018赣中南五校联考)已知，均为第一象限角，那么>是sin>sin的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件利用定义结合代特殊值法进行判断答案D解析由，均为第一象限角，可取2，有>，但sinsin，即>不是sin>sin的充分条件；又由，均为第一象限角，可取，2，有sin>sin成立，但<，即>不是sin>sin的必要条件，综上所述，>是sin>sin的既不充分也不必要条件故选D.角度2等价转化法判断充分、必要条件(2018阳山模拟)“a1或b2”是“ab3”的()A必要不充分条件 B既不充分也不必要条件C充要条件 D充分不必要条件用等价转化法答案A解析由题意得：命题“若a1或b2，则ab3”与命题“若ab3，则a1且b2”互为逆否命题判断命题“若a1或b2，则ab3”的真假只要判断命题“若ab3，则a1且b2”的真假即可因为命题“若ab3，则a1且b2”显然是假命题所以命题“若a1或b2，则ab3”是假命题，a1或b2推不出ab3.同理“若a1且b2，则ab3”是真命题，命题“若ab3，则a1或b2”是真命题ab3a1或b2.“a1或b2”是“ab3”的必要不充分条件故选A.角度3集合法判断充分、必要条件(2017天津高考)设R，则“”是“sin”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件集合法答案A解析0，sin，kZ，kZ，“<”是“sin<”的充分而不必要条件故选A.角度4探求结论成立的充分、必要条件(2018延安质检)函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa<0 B0<a<C.<a<1 Da0或a>1用数形结合法，集合法答案A解析因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a>1.观察选项，根据集合间关系a|a<0a|a0或a>1故选A.方法技巧充分条件和必要条件的三种判断方法1定义法：可按照以下三个步骤进行(1)确定条件p是什么，结论q是什么；(2)尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；(3)确定条件p和结论q的关系见角度1典例2等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈p是綈q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件见角度2典例3集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若AB，则p是q的充要条件见角度3典例冲关针对训练1(2018石家庄模拟)命题p：|x|<1，命题q：x2x6<0，则綈p是綈q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由|x|<1得1<x<1，由x2x6<0得3<x<2，即p：1<x<1，q：3<x<2，则p是q的充分不必要条件，故答案为綈p是綈q的必要不充分条件故选B.2(2016四川高考)设p：实数x，y满足(x1)2(y1)22，q：实数x，y满足则p是q的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析如图作出p，q表示的区域，其中M及其内部为p表示的区域，ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域，故p是q的必要不充分条件故选A.题型3充分、必要条件的应用(2018石家庄模拟)设命题p：|4x3|1；命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_本题用集合法答案解析设Ax|4x3|1，Bx|x2(2a1)xa(a1)0解|4x3|1，得x1，故Ax1；解x2(2a1)xa(a1)0，得axa1，故Bx|axa1所以綈p所对应的集合为RAx<或x>1，綈q所对应的集合为RBx|x<a或x>a1由綈p是綈q的必要不充分条件，知RBRA，所以解得0a.故所求实数a的取值范围是.条件探究将条件中的“若綈p是綈q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，则a的取值范围是什么？解设Ax|4x3|1，Bx|x2(2a1)xa(a1)0，解|4x3|1，得x1，故Ax；解x2(2a1)xa(a1)0，得axa1，故Bx|axa1由p是q的充分不必要条件，知AB，所以解得0a.故所求实数a的取值范围是.方法技巧根据充要条件求解参数范围的常用方法充分、必要条件的应用，一般体现在参数范围的求解上，其常用方法和注意事项为：1解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解见典例2求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象冲关针对训练已知p：|xa|<4；q：(x2)(3x)>0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为_答案1,6解析綈p是綈q的充分不必要条件，q是p的充分不必要条件对于p，|xa|<4，a4<x<a4，对于q,2<x<3，(2,3)(a4，a4)，(等号不能同时取到)，1a6.1(2017北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析解法一：由题意知|m|0，|n|0.设m与n的夹角为.若存在负数，使得mn，则m与n反向共线，180，mn|m|n|cos|m|n|0.当90180时，mn0，此时不存在负数，使得mn.故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件故选A.解法二：mn，mnnn|n|2.当0，n0时，mn0.反之，由mn|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n，当m，n时，m，n不共线故“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件故选A.2(2015北京高考)设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析若m且m，则平面与平面不一定平行，有可能相交；而m且一定可以推出m，所以“m”是“”的必要而不充分条件故选B.3(2017南昌十校模拟)已知命题“已知a，b，c为实数，若abc0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A0B1C2D3答案D解析原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc0”，也为真命题根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.故选D.4(2018豫南九校联考)已知p：2，q：x22x1m20(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为_答案9，)解析解法一：由2，得2x10，綈p对应的集合为x|x>10或x<2，设Ax|x>10或x<2由x22x1m20(m>0)，得1mx1m(m>0)，綈q对应的集合为x|x>m1或x<1m，m>0，设Bx|x>m1或x<1m，m>0綈p是綈q的必要而不充分的条件，BA，且不能同时取得等号解得m9，实数m的取值范围为9，)解法二：綈p是綈q必要而不充分条件，q是p的必要而不充分条件，即p是q的充分而不必要条件，由x22x1m20(m>0)，得1mx1m(m>0)q对应的集合为x|1mx1m，m>0，设Mx|1mx1m，m>0，又由2，得2x10，p对应的集合为x|2x10设Nx|2x10，由p是q的充分而不必要条件知NM，且不能同时取等号，解得m9.实数m的取值范围为9，)基础送分 提速狂刷练一、选择题1下列命题中是真命题的是()“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若x3是有理数，则x是无理数”的逆否命题ABCD答案B解析对于，其否命题是“若x2y20，则x，y全为零”，这显然是正确的，故为真命题；对于，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形”，这显然是错误的，故为假命题；对于，原命题为真，故逆否命题也为真因此是真命题的是.故选B.2(2018河南八市联考)命题“若a>b，则ac>bc”的否命题是()A若ab，则acbcB若acbc，则abC若ac>bc，则a>bD若a>b，则acbc答案A解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则ac>bc”的否命题是“若ab，则acbc”故选A.3(2018曲阜模拟)已知p：函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，q：函数g(x)loga(x1)(a>0且a1)在(1，)上是增函数，则綈p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析易知p成立a1，q成立a>1，所以綈p成立a>1，则綈p是q的充要条件故选C.4下列命题正确的是()A若pq为真命题，则pq为真命题B“a>0，b>0”是“2”的充分必要条件C命题“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x20”D命题p：xR，x2x1<0，则綈p：xR，x2x10答案D解析若pq为真命题，则p，q中至少有一个为真，那么pq可能为真，也可能为假，故A错误；若a>0，b>0，则2，又当a<0，b<0时，也有2，所以“a>0，b>0”是“2”的充分不必要条件，故B错误；命题“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x20”，故C错误，由此可知D正确故选D.5(2018广东广州质检)已知p：x>0，exax<1成立，q：函数f(x)(a1)x在R上是减函数，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析若x>0，exax<1成立，则x>0，使得ex<ax1.由于直线yax1恒过点(0,1)，且yex在点(0,1)处的切线方程为yx1，因此p：a>1；若函数f(x)(a1)x是减函数，则a1>1，则a>2，则q：a>2.故由q可以推出p，由p推不出q，故p是q的必要不充分条件故选B.6(2018合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题故p是q的充分条件设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的所以命题b是假命题， 即p不是q的必要条件综上所述，p是q的充分不必要条件故选A.7(2017衡水联考)“a0”是“函数f(x)sinxa为奇函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称，当a0时，f(x)sinx，f(x)sin(x)sinxf(x)，故f(x)为奇函数；反之，当f(x)sinxa为奇函数时，f(x)f(x)0，又f(x)f(x)sin(x)asinxa2a，故a0，所以“a0”是“函数f(x)sinxa为奇函数”的充要条件故选C.8(2018天津模拟)已知f(x)2x3(xR)，若|f(x)1|<a的必要条件是|x1|<b(a，b>0)，则a，b之间的关系是()AbBb<CaDa>答案A解析f(x)2x3，且|f(x)1|<a，|2x2|<a.a<2x2<a，<x<.|x1|<b，b<x1<b，b1<x<b1.|f(x)1|<a的必要条件是|x1|<b(a，b>0)，(b1，b1)解得b.故选A.9(2018江西一联)已知i为虚数单位，a为实数，复数z(12i)(ai)在复平面内对应的点为M，则“a>0”是“点M在第四象限”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析复数z(12i)(ai)a22aiia2(12a)i在复平面内对应的点为M(a2,12a)若a>0，则a2>0，但12a的正负不确定，所以点M是否在第四象限也是不确定的；若点M在第四象限，则解得a>，此时可推出a>0.所以“a>0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件故选B.10(2017湖北七市联考)已知圆C：(x1)2y2r2(r>0)设p：0<r<3，q：圆C上至多有2个点到直线xy30的距离为1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析圆C：(x1)2y2r2的圆心(1,0)到直线xy30的距离d2.当r(0,1)时，直线与圆相离，圆上没有到直线的距离为1的点；当r1时，直线与圆相离，圆上只有一个点到直线的距离为1；当r(1,2)时，直线与圆相离，圆上有两个点到直线的距离为1；当r2时，直线与圆相切，圆上有两个点到直线的距离为1；当r(2,3)时，直线与圆相交，圆上有两个点到直线的距离为1.综上，当r(0,3)时，圆上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆上至多有两个点到直线的距离为1可得0<r<3，故p是q的充分必要条件故选C.二、填空题11(2017上海模拟)已知集合Ax| log(x2)<0，集合Bx|(xa)(xb)<0，若“a3”是“AB”的充分条件，则实数b的取值范围是_答案(1，)解析Ax| log(x2)<0x|x>1，Bx|(xa)(xb)<0(3，b)或(b，3)，由“AB”，得b>1，故b的取值范围为(1，)12已知条件p：xA，且Ax|a1<x<a1，条件q：xB，且Bx|y若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_答案(，03，)解析易得Bx|x1或x2，且Ax|a1<x<a1，由p是q的充分条件，可知AB，故a11或a12，即a0或a3.即所求实数a的取值范围是(，03，)13(2018泰安模拟)设p：实数x满足x24ax3a2<0，其中a0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析p是q的必要不充分条件，qp，且pq.设Ax|p(x)，Bx|q(x)，则BA.又Bx|2<x3，当a>0时，Ax|a<x<3a；当a<0时，Ax|3a<x<a故当a>0时，有解得1<a2；当a<0时，显然AB，不符合题意综上所述，实数a的取值范围是(1,214(2017长沙模拟)r(x)：已知r(x)sinxcosx>m；s(x)：x2mx1>0.如果xR，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是_答案(，2，2)解析由sinxcosxsin，得sinxcosx的最小值为.若xR时，命题r(x)为真命题，则m<.若命题s(x)为真命题，即xR，不等式x2mx1>0恒成立，则m24<0，解得2<m<2.若命题r(x)为真命题，命题s(x)为假命题，则m2；若命题r(x)为假命题，命题s(x)为真命题，则m<2.综上所述，实数m的取值范围是(，2，2)三、解答题15(2017沂水模拟)已知f(x)是(，)上的增函数，a，bR，对命题“若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解(1)逆命题：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.是真命题(用反证法证明)假设ab<0，则有a<b，b<a.f(x)在(，)上是增函数，f(a)<f(b)，f(b)<f(a)f(a)f(b)<f(a)f(b)，这与题设中f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不成立从而ab0成立逆命题为真(2)逆否命题：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR，若f(a)f(b)<f(a)f(b)，则ab<0.是真命题原命题为真，证明如下：ab0，ab，ba.又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)原命题为真命题，其逆否命题也为真命题16(2017江苏兴化月考)已知命题：“xx|1<x<1，使等式x2xm0成立”是真命题(1)求实数m的取值集合M；(2)设不等式(xa)(xa2)<0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求实数a的取值范围解(1)由题意知，方程x2xm0在(1,1)上有解，即m的取值范围就为函数yx2x在(1,1)上的值域，易知Mm.(2)因为xN是xM的必要条件，所以MN.当a1时，解集N为空集，不满足题意；当a>1时，a>2a，此时集合Nx|2a<x<a，则解得a>；当a<1时，a<2a，此时集合Nx|a<x<2a，则解得a<.综上，a>或a<.