2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第11章 第02节 随机抽样 .doc

第二节第二节 随机抽样随机抽样 考点高考试题考查内容核心素养 抽样方法三年未单独考查 命题分析本节主要考查分层抽样、系统抽样，一般以选择题填空题形式出现. 1抽样调查及相关概念 抽样调查是指从调查对象中按照一定的方法抽取_一部分_，进行调查或观测，获取 数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断其中，调查对象的_全体_称为总体，_ 被抽取的一部分_称为样本 2简单随机抽样 定义：设一个总体含有 N 个个体，随机地抽取 n 个个体作为样本(nN)，在抽取的过 程中，要保证每个个体被抽到的_概率相同_，这样的抽样方法叫作简单随机抽样 常用方法：_抽签法_和_随机数表_ 3分层抽样 将总体按其_属性特征_分成若干类型(有时称作层)，然后在每个类型中按照所占比 例_随机_抽取一定的样本，这种抽样方法叫作分层抽样，有时也称为_类型抽样_ 4系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照_简单随机_抽样 抽取第一个样本，然后按_分组的间隔_(称为抽样距)抽取其他样本，这种抽样方法有时 也叫_等距抽样_或_机械抽样_ 5系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本 (1)先将总体的 N 个个体_编号_； (2)确定_分段间隔 k_，对编号进行_分段_.当 (n 是样本容量)是整数时，取 N n k ； N n (3)在第 1 段用_简单随机抽样_确定第一个个体编号 l(lk)； (4)按照一定的规则抽取样本通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号_lk_， 再加 k 得到第 3 个个体编号_(l2k)_，依次进行下去，直到获取整个样本 提醒： 1辨明两个易误点 (1)简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽 到的概率相等 (2)分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即 样本容量n 总体个数N 2三种抽样方法的比较 类别各自特点相互联系适用范围共同点 简单 随机 抽样 从总体中逐个抽 取 最基本的抽样方 法 总体中的个体数 较少 系统 抽样 将总体平均分成 几部分，按事先 确定的规则分别 在各部分中抽取 在起始部分抽样 时，采用简单随 机抽样 总体中的个体数 较多 抽样过程中每个 个体被抽到的可 能性相等 分层 抽样 将总体分成几层， 按各层个体数之 比抽取 各层抽样时采用 简单随机抽样或 系统抽样 总体由差异明显 的几部分组成 抽样过程中每个 个体被抽到的可 能性相等 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的 可能性最大( ) (2)在 100 件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿 5 次，是简单随机抽 样( ) (3)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体( ) (4)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学 生，这样对被剔除者不公平( ) (5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析在这个问题中，5 000 名居民的阅读时间的全体是( ) A总体 B个体 C样本的容量 D从总体中抽取的一个样本 解析：选 A 由题目条件知，5 000 名居民的阅读时间的全体是总体；其中 1 名居民的 阅读时间是个体；从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取的 200 名居民的阅读时间是从总 体中抽取的一个样本，样本容量是 200 3某科考队有男队员 56 人，女队员 42 人，用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个 容量为 14 的样本，则男、女队员各抽取的人数分别为( ) A6,8 B8,6 C9,5 D5,9 解析：选 B 男队员人数568， 14 98 女队员人数426 14 98 4某公司有员工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，3549 岁的人有 280 人，50 岁 以上的有 95 人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取 100 名员工则应在这三个年龄段 分别抽取人数为( ) A33 34 33 B25 56 19 C20 40 30 D30 50 20 解析：选 B 35 岁以下：12525； 100 500 3549 岁：28056； 100 500 50 岁以上：9519 100 500 简单随机抽样 明技法 抽签法与随机数法的适用情况 (1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情 况 (2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀一般地，当总体容量和样本容量都较小时 可用抽签法 提能力 【典例】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式 确定号码的后四位为 2 709 的为三等奖 B某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一包产品，称其重 量是否合格 C某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构 改革的意见 D用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 解析：选 D A、B 是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 是分层抽样， 因为总体的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样 (2)下列关于简单随机抽样的说法，正确的是( ) 它要求被抽取样本的总体的个数有限； 它是从总体中逐个地进行抽取； 它是一种不放回抽样； 它是一种等可能性抽样，每次从总体中抽取一个个体时，不仅各个个体被抽取的可 能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽 样方法的公平性 A B C D 解析：选 D 由简单随机抽样的特征可知：都正确 刷好题 1下列抽样试验中，适合用抽签法的是( ) A从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 解析：选 B 因为 A，D 中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C 中甲、乙两厂生 产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B 中总体 容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了 2(2018新余模拟)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取容量为 7 的样 本时，先将 70 个同学按 01,02,03，70 进行编号，然后从随机数表第 9 行第 9 列的数开 始向右读，则选出的第 7 个个体的编号是( ) (注：下面为随机数表的第 8 行和第 9 行) 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 A07 B44 C15 D51 解析：选 B 从第 9 行第 9 列的数开始，按 2 位数向右读，大于 70 和重复的去掉选 出的数依次为 29,64,56,07,52,42,44，故第 7 个个体的编号是 44.故选 B 系统抽样 明技法 解决系统抽样问题的 2 个关键步骤 (1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本 (2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确 定了 提能力 【典例】 (1)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：min)的茎叶图如图所 示 3,若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其 中成绩在区间139,151上的运动员人数是( ) A3 B4 C5 D6 解析：选 B 由系统抽样可知，35 人分为 7 组，每组 5 人，第 1 组成绩均大于 151， 最后两组成绩均小于 139，所以成绩在139,151上的有 4 人 (2)“五一”国际劳动节期间，某超市举办了一次有奖购物促销活动期间准备了一些 有机会中奖的号码(分段为 001999)，在公证部门的监督下按照随机抽样方法进行抽取， 确定后两位为 88 的号码为本次的中奖号码则这些中奖号码为：_ 解析：根据该问题提供的数据信息，可以发现本次活动的中奖号码是每隔一定的距离 出现的，根据系统抽样的有关概念，可知该问题中是运用系统抽样法确定中奖号码的，其 间隔数为 100.所以，中奖号码依次为 088,188,288,388,488,588,688,788,888,988 答案：088,188,288,388,488,588,688,788,888,988 刷好题 1某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1,2，840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间481,720的人数为( ) A 11 B12 C13 D14 解析：选 B 由系统抽样定义可知，所分组距为20，每组抽取一个，因为包含整 840 42 数个组，所以抽取个体在区间481,720的数目为(720480)2012 2将参加夏令营的 600 名学生按 001,002，600 进行编号采用系统抽样的方法 抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分别住在三个营区， 从 001 到 300 在第营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区，三个营 区被抽中的人数依次为( ) A26,16,8 B25,17,8 C25,16,9 D24,17,9 解析：选 B 由题意及系统抽样的定义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组， 每一组各有 12 名学生，第 k(kN*)组抽中的号码是 312(k1)令 312(k1)300， 得 k，因此第营区被抽中的人数是 25；令 300<312(k1)495，得<k42， 103 4 103 4 因此第营区被抽中的人数是 422517；第营区被抽中的人数为 5025178. 分层抽样 刷好题 分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起 来进行考查，反映了当前高考的命题方向这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广， 在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误 提能力 命题点 1：与频率分布相结合问题 【典例 1】 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生，将其数学成绩(均 为整数)分成六组90,100)，100,110)，140,150后得到如图所示的部分频率分布直方 图观察图中的信息，回答下列问题 (1)求分数在120,130)内的频率； (2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值作为这组数据的平均分，据此估计本次考 试的平均分； (3)用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样 本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段120,130)内的概率 解：(1)分数在120,130)内的频率为 1(0.10.150.150.250.05)10.70.3 (2)估计平均分为 950.11050.151150.151250.31350.251450.05121 x (3)由题意，得110,120)分数段的人数为 600.159(人)，,120,130)分数段的人数为 600.318(人),用分层抽样的方法在分数段为110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的 样本， 需在110,120)分数段内抽取 2 人，分别记为 m，n；,在120,130)分数段内抽取 4 人， 分别记为 a，b，c，d.,设“从样本中任取 2 人，至多有 1 人在分数段120,130)内”为事件 A，所有基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)， (n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共 15 个，其中事件 A 包含 9 个 P(A) . 9 15 3 5 命题点 2：与概率相结合问题 【典例 2】 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取 了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：, 文艺节目新闻节目总计 20 至 40 岁401858 大于 40 岁152742 总计5545100 (1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 40 岁的观众应该抽 取几名？ (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率 解：(1)因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目，在大于 40 岁的 42 名观众中有 27 名观众收看新闻节目所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄 是有关的 (2)应抽取大于 40 岁的观众人数为,5 53(名) 27 45 3 5 (3)用分层抽样方法抽取的 5 名观众中，20 至 40 岁的有 2 名(记为 Y1，Y2)，大于 40 岁 的有 3 名(记为 A1，A2，A3).5 名观众中任取 2 名，共有 10 种不同取法： ,Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.,设 A 表示随机事件“5 名 观众中任取 2 名，恰有 1 名观众年龄为 20 至 40 岁” ，则 A 中的基本事件有 6 种： ,Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，,故所求概率为 P(A) 6 10 3 5 悟技法 进行分层抽样的相关计算时，常用到的 2 个关系 (1)； 样本容量n 总体的个数N 该层抽取的个体数 该层的个体数 (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比 刷好题 某市化工厂三个车间共有工人 1 000 名，各车间男、女工人数如下表：, 第一车间第二车间第三车间 女工173100y 男工177xz ,已知在全厂工人中随机抽取 1 名，抽到第二车间男工的可能性是 0.15 (1)求 x 的值； (2)现用分层抽样的方法在全厂抽取 50 名工人，问应在第三车间抽取多少名？ 解：(1)由0.15，得 x150 x 1 000 (2)第一车间的工人数是 173177350，,第二车间的工人数是 100150250 第三车间的工人数是 1 000350250400.,设应从第三车间抽取 m 名工人，,则由 ，得 m20 m 400 50 1 000 应在第三车间抽取 20 名工人