2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：4.4　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用 .docx

4.4函数yAsin(x)的图象及应用最新考纲考情考向分析1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象2.了解参数A，对函数图象变化的影响3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型以考查函数yAsin(x)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识题型为选择题和填空题，中档难度.1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A>0，>0)，xR振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)(A>0，>0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)(A>0，>0)的图象的两种途径知识拓展1函数yAsin(x)k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”2由ysin x到ysin(x)(>0，>0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度3函数yAsin(x)的对称轴由xk，kZ确定；对称中心由xk，kZ确定其横坐标题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位长度得到的()(2)将函数ysin x的图象向右平移(>0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象()(3)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(4)由图象求函数解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的()题组二教材改编2P55T2为了得到函数y2sin的图象，可以将函数y2sin 2x的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案A3P58A组T3函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2,4， B2，C2， D2,4，答案C解析由题意知A2，f，初相为.4P62例4如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_答案y10sin20，x6,14解析从图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ，取，所以y10sin20，x6,14题组三易错自纠5要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度答案B解析ysinsin，要得到ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位长度6将函数ycos 2x1的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为()Aysin 2x Bysin 2x2Cycos 2x Dycos答案A解析将函数ycos 2x1的图象向右平移个单位长度得到ycos 21sin 2x1，再向下平移1个单位长度得到ysin 2x，故选A.7设函数f(x)3sin(x)的图象关于直线x对称，它的周期是，则下列说法正确的是_(填序号)f(x)的图象过点；f(x)在上是减函数；f(x)的一个对称中心是；将f(x)的图象向右平移|个单位长度得到函数y3sin x的图象答案解析周期为，2，f(x)3sin(2x)，f3sin，则sin1或1.又，f(x)3sin.令x0，则f(x)，正确令2k<2x<2k，kZ，则k<x<k，kZ.令k0，得<x<，即f(x)在上单调递减，而在上单调递增，错误令x，则f(x)3sin 0，正确应平移个单位长度，错误.题型一函数yAsin(x)的图象及变换典例 已知函数y2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表如下：xX02ysin X01010y2sin02020描点画出图象，如图所示：(3)方法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象；再把ysin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象；最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象方法二将ysin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位长度，得到ysinsin的图象；再将ysin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y2sin的图象思维升华 (1)yAsin(x)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换zx计算五点坐标(2)由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”跟踪训练(1)(2018届安阳林州一中调研)将函数ysin的图象向右平移m(m>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为()A. B.C. D.答案A解析平移后的函数解析式为ysin，又图象关于y轴对称，则sin1，2mk，kZ，m，kZ，又m>0，m的最小值为.(2)把函数ysin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象的解析式是_答案ycos 2x解析由ysin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为ysin 2x，再向左平移个单位长度得ysin 2，即ycos 2x.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式典例 (1)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则y_.答案2sin解析由题图可知，A2，T2，所以2，由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin.(2)已知函数f(x)sin(x) 的部分图象如图所示，则yf取得最小值时x的集合为_答案解析根据所给图象，周期T4，故，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点，代入有22k(kZ)，再由|<，得，f(x)sin，fsin，当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，yf取得最小值思维升华 yAsin(x)中的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口跟踪训练(2018山东重点中学模拟)已知函数f(x)Asin(x)的图象的一部分如图所示，则f(x)图象的对称轴方程是_答案x(kZ)解析由图象知A2，又12sin(0)，即sin ，又|<，.又2，2，f(x)2sin，令2xk(kZ)，解得x(kZ)，f(x)2sin的对称轴方程为x(kZ)题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6 C8 D10答案C解析由题干图得ymink32，则k5.ymaxk38.命题点2函数零点(方程根)问题典例 已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_答案(2，1)解析方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根y1和y2sin t，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_答案2,1)解析由上例题知，的取值范围是，2m<1，m的取值范围是2,1)命题点3三角函数图象性质的综合典例 (2017潍坊模拟)已知函数f(x)sin (>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间解(1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期为T2，得1，故函数f(x)的解析式为f(x)sin.(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)sinsin的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin0，即sin0，所以2mk(kZ)，m(kZ)，因为m>0，所以当k0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)sin.因为x，所以2x.当2x，即x时，g(x)单调递增，当2x，即x时，g(x)单调递增综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数(3)研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题跟踪训练 (1)已知角的终边经过点P(4,3)，函数f(x)sin(x)(>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为_答案解析由角的终边经过点P(4,3)，可得cos ，sin .根据函数f(x)sin(x)(>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得周期为2，解得2，f(x)sin(2x)，fsincos .(2)若函数f(x)sin(>0)满足f(0)f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(0)f，x是f(x)图象的一条对称轴，f1，k，kZ，6k2，kZ，T(kZ)又f(x)在上有且只有一个零点，T，(kZ)，k，又kZ，k0，T.三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f(x)2sincossin(x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值思维点拨(1)先将f(x)化成yAsin(x)的形式再求周期；(2)将f(x)解析式中的x换成x，得g(x)，然后利用整体思想求最值规范解答解(1)f(x)2sincossin(x)cos xsin x3分2sin，5分于是T2.6分(2)由已知得g(x)f2sin，8分x0，x，sin，10分g(x)2sin1,211分故函数g(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为1.12分解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f(x)化为asin xbcos x的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f(x)；第三步：(求性质)利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范1(2017全国)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2答案D解析因为ysincoscos，所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移个单位长度，得到曲线ycos 2cos.故选D.2(2018洛阳统考)若将函数f(x)sin 2xcos 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是()A. B. C. D.答案C解析f(x)sin 2xcos 2xcos，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为ycos，且该函数为偶函数，故2k(kZ)，所以的最小正值为.3(2017衡水中学模拟)若函数ysin(x)在区间上的图象如图所示，则，的值分别是()A2， B2，C， D，答案A解析由题图可知，T2，所以2，又sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)，而|<，所以，故选A.4函数f(x)tan x(>0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()A B. C1 D.答案D解析由已知得T，2.ftan .5(2017昆明市两区七校模拟)将函数f(x)sin xcos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则a的最小值是()A. B. C. D.答案B解析依题意得f(x)2sin，因为函数f(xa)2sin的图象关于y轴对称，所以sin1，ak，kZ，即ak，kZ，因此正数a的最小值是，故选B.6函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为()A B C. D.答案A解析由函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得g(x)sin的图象，因为是奇函数，所以k，kZ，又因为|，所以，所以f(x)sin.又x，所以2x，所以当x0时，f(x)取得最小值.7已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为_答案6，解析由题意知12sin ，得sin ，又|<，得.而此函数的最小正周期T6.8(2017河南洛阳统考)函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)_.答案2sin解析由已知得，T，又T，3.f(0)1，sin ，又0<<，f(x)2sin(经检验满足题意)9已知函数f(x)3sin(>0)和g(x)3cos(2x)的图象完全相同，若x，则f(x)的值域是_答案解析f(x)3sin3cos3cos，所以2，则f(x)3sin，x，2x，f(x)3.10(2018长春调研)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_答案解析f(x)sin xcos xsin，因为f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f()必为一个周期上的最大值，所以有2k，kZ，所以22k，kZ.又()，即2，即2，所以.11已知函数yAsin(x)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间解(1)依题意得A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又图象过点P，5sin0，由已知可得k，kZ，|<，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)12(2017合肥质检)已知函数f(x)4cos xsina(>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求a和的值；(2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间解(1)f(x)4cos xsina4cos xa2sin xcos x2cos2x11asin 2xcos 2x1a2sin1a.当sin1时，f(x)取得最大值21a3a.又f(x)最高点的纵坐标为2，3a2，即a1.又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为，f(x)的最小正周期为T，22，1.(2)x0，2x.当2x，即x时，f(x)单调递减，f(x)在0，上的单调递减区间为.13将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0<<)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值为_答案解析g(x)sin2(x)sin(2x2)，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sin ，sin(2)，又<<，所以，sin.又0<<，所以<2<，所以2.即.14(2018太原模拟)已知函数f(x)sin xcos x(>0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)sin xcos x2sin(>0)由2sin1，得sin，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.15函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象解析式为_答案ysin解析由T，得T，于是2.由图象知A1.根据五点作图法有，解得，所以f(x)sin.将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，得到图象的解析式为ysinsin.16(2017山东)设函数f(x)sinsin，其中03.已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值解(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f0，所以k，kZ，故6k2，kZ.又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin，所以g(x)sinsin.因为x，所以x，当x，即x时，g(x)取得最小值.