2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：5.4 平面向量的综合应用 .docx

5.4平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题知识拓展1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)在ABC中，若<0，则ABC为钝角三角形()(3)若平面四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是菱形()(4)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是x2y40.()(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()题组二教材改编2P108A组T5已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5,2)，C(1，4)，则该三角形为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答案B解析(2，2)，(4，8)，(6，6)，|2，|4，|6，|2|2|2，ABC为直角三角形3P113A组T1平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_答案x2y40解析由4，得(x，y)(1,2)4，即x2y4.题组三易错自纠4在ABC中，已知(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，则实数k的值为_答案或或解析若A90，则有0，即23k0，解得k；若B90，则有0，因为(1，k3)，所以23(k3)0，解得k；若C90，则有0，即1k(k3)0，解得k.综上所述，k或或.5在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为_答案5解析依题意得1(4)220，所以，所以四边形ABCD的面积为|5.6抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2y26x4y30只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若4，则点A的坐标是_答案(1,2)或(1，2)解析设抛物线M的方程为y22px(p>0)，则其准线方程为x.曲线E的方程可化为(x3)2(y2)216，则有34，解得p2，所以抛物线M的方程为y24x，F(1,0)设A，则，所以y4，解得y02.所以点A的坐标为(1,2)或(1，2).题型一向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.答案解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心答案C解析由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心引申探究本例(2)中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_答案内心解析由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练 (1)在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形答案A解析，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0<BAC<，故BAC，所以ABC为等边三角形(2)(2017湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于()A. BC. D答案A解析取HF中点O，则2212，2212，因此，故选A.题型二向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_答案2xy30解析(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k<0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案6解析由题意，得F(1,0)，设P(x0，y0)，则有1，解得y3，因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以x0(x01)yxx03x03，对应的抛物线的对称轴方程为x02，因为2x02，故当x02时，取得最大值236.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法跟踪训练 (1)(2017衡阳联考)已知对任意平面向量(x，y)，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量(xcos ysin ，xsin ycos )，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2y22，则原来曲线C的方程是()Axy1 Bxy1Cy2x22 Dy2x21答案A解析设平面内曲线C上的点P(x，y)，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P，点P在曲线x2y22上，222，整理得xy1.故选A.(2)(2017安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)已知点A在椭圆1上，点P满足(1)(R)(O是坐标原点)，且72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_答案15解析因为(1)，所以，即O，A，P三点共线，因为72，所以|272，设A(x，y)，OA与x轴正方向的夹角为，线段OP在x轴上的投影长度为|cos |x|15，当且仅当|x|时取等号题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用典例 已知O是坐标原点，点A(1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A1,0 B0,1C1,3 D1,4答案D解析作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，设z，因为A(1,2)，M(x，y)，所以zx2y，即yxz.平移直线yx，由图象可知，当直线yxz经过点C(0,2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线yxz经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1z4，即14.命题点2向量在解三角形中的应用典例 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则ABC最小角的正弦值等于()A. B.C. D.答案C解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，与不共线，解得ABC最小角为角A，cos A，sin A，故选C.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化跟踪训练 (1)函数ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且0，则函数f(x)的最小正周期是_答案3解析由图象可知，M，N，所以(xN，1)xN10，解得xN2，所以函数f(x)的最小正周期是23.(2)已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_答案解析因为(x,1)，(2，y)，所以2xy，令z2xy，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z2xy过点C(1,1)时，zmax2113，目标函数z2xy过点F(a，a)时，zmin2aa3a，所以383a，解得a.三审图形抓特点典例已知A，B，C，D是函数ysin(x) 一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，由在x轴上的投影为，则，的值为()A2， B2，C， D， 解析由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MFx轴，垂足为F，如图B与D关于点E对称，由在x轴上的投影为，知OF.又A，所以AF，所以2.同时函数ysin(x)图象可以看作是由ysin x的图象向左平移得到，故可知，即.答案A1(2018株州模拟)在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形答案C解析由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线答案D解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点P的轨迹是抛物线3已知向量m(1，cos )，n(sin ，2)，且mn，则sin 26cos2的值为()A. B2C2 D2答案B解析由题意可得mnsin 2cos 0，则tan 2，所以sin 26cos22.故选B.4(2017长春质量监测)在ABC中，D为ABC所在平面内一点，且，则等于()A. B.C. D.答案B解析如图，由已知得点D在ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有SABDSABC，SACDSABC，SBCDSABCSABC，所以.5已知F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则的最大值、最小值分别为()A9,7 B8,7C9,8 D17,8答案B解析由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)(3x3)，则(1x，y)，(1x，y)，所以x21y2x218x27，所以当x0时，有最小值7，当x3时，有最大值8，故选B.6(2018四川凉山州一诊)若直线axy0(a0)与函数f(x)的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足，则mn等于()A1 B2C3 D4答案B解析因为f(x)f(x)，且直线axy0过坐标原点，所以直线与函数f(x)的图象的两个交点A，B关于原点对称，即xAxB0，yAyB0，又(xAm，yAn)，(xBm，yBn)，(m6，n)，由，得xAmxBmm6，yAnyBnn，解得m2，n0，所以mn2，故选B.7在菱形ABCD中，若AC4，则_.答案8解析设CAB，ABBCa，由余弦定理得a216a28acos ，acos 2，4acos()4acos 8.8已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是_答案解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，cos .又0，.9已知O为ABC内一点，且20，则AOC与ABC的面积之比是_答案12解析如图所示，取AC的中点D，2，O为BD的中点，面积比为高之比即.10如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_答案解析圆心O是直径AB的中点，2，()2，|32，|，即()22|，当且仅当|时，等号成立，故最小值为.11已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，b0，y0，把a代入到中，得3y0，整理得yx2(x0)动点M的轨迹方程为yx2(x0)12(2018酒泉质检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值解(1)由题意得(ac)cos Bbcos C.根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A，因为A(0，)，所以sin A>0.所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|.即b，根据余弦定理及基本不等式，得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为.13已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足， (0，)，则()A动点P的轨迹一定通过ABC的重心B动点P的轨迹一定通过ABC的内心C动点P的轨迹一定通过ABC的外心D动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案D解析由条件，得，从而0，所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心14(2018北京市丰台区二模)已知O为ABC的外心，且.(1)若C90，则_；(2)若ABC60，则的最大值为_答案(1)(2)解析(1)若C90，则O为AB边的中点，即，0，故.(2)设ABC的三边长分别为a，b，c，因为O为ABC的外心，且，所以即化简得解得则.15(2018西安一模)已知共面向量a，b，c满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个确定的向量b，记|bta|(tR)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为()A. B2C4 D6答案B解析固定向量a(3,0)，则b，c向量分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，a，b，c，如图，易得点B的坐标B(rcos 3，rsin )，因为|b|bc|，所以OBBC，即(rcos 3)2r2sin24r2，整理为r22rcos 30，可得cos ，而|bta|(tR)的最小值为dmin，即dminrsin 2，所以dmin的最大值是2，故选B.16(2018宁德质检)已知在ABC中，AB<AC，BAC90，边AB，AC的长分别为方程x22(1)x40的两个实数根，若斜边BC上有异于端点的E，F两点，且EF1，EAF，则tan 的取值范围为()A. B.C. D.答案C解析由题意可知AB2，AC2，BC4.建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)设，则F(22，2)，E.所以(22，2)34342122316243162.因为点A到BC边的距离d，所以AEF的面积SAEF|EF|为定值所以tan ，故tan ，故选C.