（江苏专版）2019版高考数学一轮复习讲义： 第十一章 推理与证明 11.2 直接证明与间接证明讲义.doc
11.2直接证明与间接证明考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.直接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题2.间接证明1.不等式证明2.数列证明3.函数证明A解答题分析解读本节内容江苏高考一般很少单独考查,一般都和其他知识相结合,放在不同的解答题中考查其运用.五年高考考点一直接证明1.(2013广东理,19,14分)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,2Snn=an+1-13n2-n-23,nN*.(1)求a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1a1+1a2+1an<74.解析(1)依题意,得2S1=a2-13-1-23,又S1=a1=1,所以a2=4.(2)当n2时,2Sn=nan+1-13n3-n2-23n,2Sn-1=(n-1)an-13(n-1)3-(n-1)2-23(n-1),两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-13(3n2-3n+1)-(2n-1)-23,整理得(n+1)an=nan+1-n(n+1),即an+1n+1-ann=1,又a22-a11=1,故数列ann是首项为a11=1,公差为1的等差数列,所以ann=1+(n-1)1=n,所以an=n2.(3)证明:当n=1时,1a1=1<74;当n=2时,1a1+1a2=1+14=54<74;当n3时,1an=1n2<1(n-1)n=1n-1-1n,此时1a1+1a2+1an=1+14+132+142+1n2<1+14+12-13+13-14+1n-1-1n=1+14+12-1n=74-1n<74.综上,对一切正整数n,有1a1+1a2+1an<74.教师用书专用(2)2.(2013湖北理,22,14分)设n是正整数,r为正有理数.(1)求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;(2)证明:nr+1-(n-1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1-nr+1r+1;(3)设xR,记x为不小于x的最小整数,例如2=2,=4,-32=-1.令S=381+382+383+3125,求S的值.(参考数据:8043344.7,8143350.5,12443618.3,12643631.7)解析(1)因为f (x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)(1+x)r-1,令f (x)=0,解得x=0.当-1<x<0时, f (x)<0,所以f(x)在(-1,0)内是减函数;当x>0时, f (x)>0,所以f(x)在(0,+)内是增函数.故函数f(x)在x=0处取得最小值f(0)=0.(2)证明:由(1)知,当x(-1,+)时,有f(x)f(0)=0,即(1+x)r+11+(r+1)x,且等号当且仅当x=0时成立,故当x>-1且x0时,有(1+x)r+1>1+(r+1)x.在中,令x=1n(这时x>-1且x0),得1+1nr+1>1+r+1n.上式两边同乘nr+1,得(n+1)r+1>nr+1+nr(r+1),即nr<(n+1)r+1-nr+1r+1.当n>1时,在中令x=-1n(这时x>-1且x0),类似可得nr>nr+1-(n-1)r+1r+1.且当n=1时,也成立.综合,得nr+1-(n-1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1-nr+1r+1.(3)在中,令r=13,n分别取值81,82,83,125,得34(8143-8043)<381<34(8243-8143),34(8243-8143)<382<34(8343-8243),34(8343-8243)<383<34(8443-8343),34(12543-12443)<3125<34(12643-12543).将以上各式相加,并整理得34(12543-8043)<S<34(12643-8143).代入数据计算,可得34(12543-8043)210.2,34(12643-8143)210.9.由S的定义,得S=211.考点二间接证明1.(2014山东改编,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是.答案方程x3+ax+b=0没有实根2.(2013北京理,19,14分)已知A,B,C是椭圆W:x24+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.解析(1)椭圆W:x24+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1,m),代入椭圆方程得14+m2=1,即m=32.所以菱形OABC的面积是12|OB|AC|=1222|m|=3.(2)假设四边形OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k0,m0).由x2+4y2=4,y=kx+m消y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x22=-4km1+4k2,y1+y22=kx1+x22+m=m1+4k2.所以AC的中点为M-4km1+4k2,m1+4k2.因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-14k.因为k-14k-1,所以AC与OB不垂直.所以OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一直接证明1.(2018江苏淮安高级中学阶段测试)已知函数f(x)=ex,xR.(1)设x>0,判断函数g(x)=f(x)-mx零点的个数;(2)设a<b,比较 f(a)+f(b)2与 f(b)-f(a)b-a的大小,证明.解析(1)因为g(x)=ex-mx(x>0),所以g(x)=ex-m.当m1时,g(x)=ex-m>e0-m0,g(x)在(0,+)上单调递增,g(x)>g(0)=1,此时函数无零点.当m>1时,令g(x)=ex-m=0,得x=ln m,当x(0,ln m)时,g(x)<0,g(x)在(0,ln m)上单调递减;当x(ln m,+)时,g(x)>0,g(x)在(ln m,+)上单调递增.故g(x)min=g(ln m)=m-mln m=m(1-ln m).当1<m<e时,g(x)min=m(1-ln m)>0,此时函数无零点,当m=e时,g(x)min=0,此时函数有1个零点.当m>e时,g(ln m)<0.又因为g(0)=1>0,故函数在(0,ln m)上有唯一零点.g(2ln m)=e2ln m-m2ln m=m2-2mln m=m(m-2ln m),令(m)=m-2ln m(m>e),则(m)=1-2m>0,所以(m)在(e,+)上单调递增,(m)>e-2>0,故g(2ln m)>0,故函数在(ln m,+)上有唯一零点,此时函数有两个零点.综上,当m<e时,函数无零点;当m=e时,函数有1个零点,当m>e时,函数有2个零点.(2)f(a)+f(b)2>f(b)-f(a)b-a.要证f(a)+f(b)2>f(b)-f(a)b-a,只要证ea+eb2>eb-eab-a.只要证b-a2>eb-eaea+eb=eb-a-1eb-a+1=1-2eb-a+1,令h(x)=x2+2ex+1-1(x>0),所以h(x)=12-2ex(ex+1)2=(ex-1)22(ex+1)2>0,所以h(x)在(0,+)上单调递增,故h(x)>0,所以b-a2+2eb-a+1-1>0,故原不等式成立.2. (2017江苏无锡一中月考)已知函数f(x)=tan x,x0,2,若x1,x20,2,且x1x2,求证:12f(x1)+f(x2)>fx1+x22.证明要证12f(x1)+f(x2)>fx1+x22,即证明12(tan x1+tan x2)>tan x1+x22,只需证明12sin x1cos x1+sin x2cos x2>tan x1+x22,只需证明sin(x1+x2)2cos x1cos x2>sin(x1+x2)1+cos(x1+x2).由于x1,x20,2,故x1+x2(0,).所以cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0.故只需证明1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2,即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2.即证cos(x1-x2)<1.由x1,x20,2,x1x2知上式显然成立,因此12f(x1)+f(x2)>fx1+x22.考点二间接证明3.(2016江苏无锡期中)设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.答案4.(苏教选22,二,2,9,变式)已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列.解析(1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=12an,所以an是首项为1,公比为12的等比数列,所以an=12n-1.(2)证明:反证法:假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,rN*),则212q=12p+12r,所以22r-q=2r-p+1.(*)又因为p<q<r,且p,q,rN*,所以r-q,r-pN*.所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.所以假设不成立,原命题得证.5.(2017江苏苏中三校联考)若f(x)的定义域为a,b,值域为a,b(a<b),则称函数f(x)是a,b上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=12x2-x+32是1,b上的“四维光军”函数,求常数b的值;(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=1x+2是区间a,b上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.解析(1)由题设得g(x)=12(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,所以函数在区间1,b上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即12b2-b+32=b,解得b=1或b=3.因为b>1,所以b=3.(2)假设函数h(x)=1x+2在区间a,b(a>-2)上是“四维光军”函数,因为h(x)=1x+2在区间(-2,+)上单调递减,所以有h(a)=b,h(b)=a,即1a+2=b,1b+2=a,解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=1x+2是区间a,b上的“四维光军”函数.B组20162018年模拟提升题组(满分:15分时间:10分钟)解答题(共15分)(2017江苏射阳中学质检)各项均为正数的等比数列an,a1=1,a2a4=16,bn的各项均为正数,前n项和为Sn,a4=b3,且6Sn=bn2+3bn+2(nN*).(1)求数列an、bn的通项公式;(2)令cn=bnan(nN*),求使得cn>1的所有n的值,并说明理由;(3)证明an中任意三项不可能构成等差数列.解析(1)设an的公比为q,则q>0.a2a4=a12q4=q4=16,q2=4,q=2,an=2n-1,b3=a4=8.6Sn=bn2+3bn+2,当n2时,6Sn-1=bn-12+3bn-1+2,-得6bn=bn2-bn-12+3bn-3bn-1(n2),即(bn+bn-1)(bn-bn-1)=3(bn+bn-1)(n2),bn>0,bn-bn-1=3,bn是公差为3的等差数列.当n=1时,6b1=b12+3b1+2,解得b1=1或b1=2,当b1=1时,bn=3n-2,此时b3=7,与b3=8矛盾;当b1=2时,bn=3n-1,此时b3=8=a4,bn=3n-1.(2)bn=3n-1,cn=bnan=3n-12n-1,c1=2>1,c2=52>1,c3=2>1,c4=118>1,c5=78<1,下面证明当n5时,cn<1.事实上,当n5时,cn+1-cn=3n+22n-3n-12n-1=4-3n2n<0,即cn+1<cn,c5=78<1,当n5时,cn<1,故满足条件cn>1的所有n的值为1,2,3,4.(3)证明:假设an中存在三项p,q,r(p<q<r,p,q,rN*)使ap,aq,ar构成等差数列,2aq=ap+ar,即22q-1=2p-1+2r-1.2q-p+1=1+2r-p.左边为偶数,右边为奇数,矛盾.假设不成立,故an中不存在任意三项能构成等差数列.C组20162018年模拟方法题组方法解有关证明问题的常用解题技巧与方法(2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,19)已知函数f(x)=1ex,g(x)=ln x,其中e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程;(2)若存在x1,x2(x1x2),使得g(x1)-g(x2)=f(x2)-f(x1)成立,其中为常数,求证:>e;(3)若对任意的x(0,1,不等式f(x)g(x)a(x-1)恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)因为y=f(x)g(x)=lnxex,所以y=1x-lnxex,当x=1时,y=1e,y=0.所以曲线y=f(x)g(x)在x=1处的切线方程为y=1e(x-1),即x-ey-1=0.(2)证明:由g(x1)-g(x2)=f(x2)-f(x1)得g(x1)+f(x1)=g(x2)+f(x2).记p(x)=g(x)+f(x)=ln x+ex,则x(0,+),且p(x)=ex-xxex.假设e.若0,则p(x)>0,所以p(x)在(0,+)上为单调增函数.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,与x1x2矛盾.若0<e,记r(x)=ex-x,则r(x)=ex-.设r(x0)=0,解得x0=ln .当x>x0时,r(x)>0,r(x)在(x0,+)上为单调增函数;当0<x<x0时,r(x)<0,r(x)在(0,x0)上为单调减函数.所以r(x)r(x0)=(1-ln )0,所以p(x)0,所以p(x)在(0,+)上为单调增函数.又p(x1)=p(x2),所以x1=x2,与x1x2矛盾.综合可知,假设不成立,所以>e.(3)由f(x)g(x)a(x-1)得ln x-aex(x-1)0.记F(x)=ln x-aex(x-1),0<x1,则F(x)=1x-axex=xex1x2ex-a.当a1e时,因为1x2ex1e,xex>0,所以F(x)0,所以F(x)在(0,1上为单调增函数,所以F(x)F(1)=0,故原不等式恒成立.当a>1e时,一方面,F(1)=1-ae<0.另一方面,x1=1ae<1,F(x1)1x1-aex1=x11x12-ae=x1ae(ae-1)>0.所以x0(x1,1),使F(x0)=0,所以当x0<x<1时,F(x)<0,故F(x)在(x0,1)上为单调减函数,此时F(x)>F(1)=0,不合题意.综上,a1e.
