概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后规范标准答案.doc
.概率论与数理统计 习题三 答案1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】的可能取值为：0，1，2，3；的可能取值为：0，1.和的联合分布律如下表：01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】的可能取值为：0，1，2，3；的可能取值为：0，1，2.X和Y的联合分布律如下表：012300010203.设二维随机变量的联合分布函数为求二维随机变量在长方形域内的概率.【解】如图 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量的分布密度求：（1） 常数；（2） 随机变量的分布函数；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 =12（2） 由定义，有 (3) 5.设随机变量的概率密度为（1） 确定常数；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX<1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性质有故 （2） (3) (4) 题5图6.设和是两个相互独立的随机变量，在（0，0.2）上服从均匀分布，的密度函数为求：（1） 与的联合分布密度；（2） .题6图【解】（1） 因在（0，0.2）上服从均匀分布，所以的概率密度函数为而所以 (2) 7.设二维随机变量的联合分布函数为求（X，Y）的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度.【解】的边缘概率密度为的边缘概率密度为 题8图 题9图9.设二维随机变量的概率密度为求边缘概率密度.【解】的边缘概率密度为的边缘概率密度为 题10图10.设二维随机变量的概率密度为（1） 试确定常数；（2） 求边缘概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.设随机变量的概率密度为求条件概率密度，. 题11图【解】所以 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为，最大的号码为.（1） 求与的联合概率分布；（2） 与是否相互独立？【解】（1） 的可能取值为：1,2,3；的可能取值为3,4,5.与的联合分布律及边缘分布律如下表：345120300 (2) 因故与不独立13.设二维随机变量的联合分布律为2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故与不独立.14.设与是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为（1）求X和Y的联合概率密度；（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1） 因 故 题14图(2) 方程有实根的条件是即 ，从而方程有实根的概率为： 15.设和分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设和相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求的概率密度.【解】因为和相互独立，所以与的联合概率密度为如图,Z的分布函数(1) 当z0时，（2） 当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=）(如图a) 题15图(3) 当z1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b） 即 故 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设取到的四只电子元件寿命为(i=1,2,3,4)，则，从而 17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为证明随机变量Z=X+Y的分布律为，i=0，1，2，.【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，所以 于是 18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，2n. 方法二：参见第四章。19.设随机变量（X，Y）的分布律为0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1） 求PY0YX；（2） 设M=maxX，Y，求PM0.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为（1） (2) 21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【解】区域D的面积为 （X,Y）的联合密度函数为（X，Y）关于X的边缘密度函数为所以22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立，故,从而即： 又即从而同理 又,故.同理从而故123.设某班车起点站上客人数X服从参数为(>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1) 的可能取值为：0,1,2,3，.，n，且 (2) 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 由于X和Y独立，可见 由此，得U的概率密度为 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有 因为X，Y相互独立，所以于是 .26. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (I) 求 ； (II) 求Z+的概率密度. 【详解】 (I) .( II) 解法一：先求Z的分布函数: 当时, ;当时, ；当时, ；当时, .故Z+的概率密度为=解法二：，当或时，;当时， ；当时，；故Z+的概率密度为27.设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为记.（1）求;（2）求的概率密度.解 （1）注意到与相互独立，于是（2）先求的分布函数。由于,构成样本空间的一个划分，且,因此根据全概率公式得的分布函数分布函数求导数，可得的概率密度28.袋中有1个红球、2个黑球、3个白球，现有放回地取球两次，每次取一个球，以分别表示两次取球得到的红球、黑球与白球的个数。（1）求;（2）求二维随机变量的概率分布。解 （1）由条件概率得也可以有 或用缩减样本空间法：，表示两次取球都没有取到白球，即只在红球、黑球中做选择，因此，样本空间中样本点总数为3*3=9，（2）与的可能取值均为：0，1，2. 且，同理可以求得联合分布律中的其它概率值。的联合分布律如下表： 01201229.设二维随机变量的概率密度为求常数及条件概率密度。 解 由概率密度函数的规范性有得常数 ，即 的边缘概率密度为 所求条件概率密度为（提示:本题充分利用概率积分来简化计算）30.设随机变量与的概率分布分别如下表所示。01-101且.（1）求二维随机变量的概率分布；（2）求的概率分布。解 由 得 ，即 进而 再根据联合概率分布与边缘概率分布的关系，可得的概率分布如下表： -101000101（2）的可能取值为：-1，0，1。由得概率分布可得的概率分布-10131.设随机变量的概率密度为， 令随机变量（1）求的分布函数；（2）求概率.解 （1）的分布函数 当 时，；当 时，；当 时，故的分布函数为 （2）
