2019版高考数学（文）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第5章　数列 第2讲等差数列及其前n项和 .docx

第2讲等差数列及其前n项和板块一知识梳理自主学习必备知识考点1等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)2等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项考点2等差数列的有关公式1通项公式：ana1(n1)d.2前n项和公式：Snna1d.必会结论等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d, 则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)等差数列an的前n项和为Sn, 则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等差数列，其公差为n2d.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)等差数列的公差是相邻两项的差()(2)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的()答案(1)(2)(3)(4)(5)2课本改编在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58 B88 C143 D176答案B解析因为an是等差数列，所以a4a82a616a68，则该数列的前11项和为S1111a688.故选B.3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27答案B解析S3，S6S3，S9S6成等差数列，即9,27，a7a8a9成等差数列，a7a8a954945.故选B.4若等差数列an的前5项之和S525，且a23，则a7()A12 B13 C14 D15答案B解析由S5，得25，解得a47，所以732d，即d2，所以a7a43d73213.故选B.5课本改编在数列an中，a12,2an12an1，则a101_.答案52解析由2an12an1，得an1an，故数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以a101210052.62018苏北四市模拟在等差数列an中，已知a2a811，则3a3a11的值为_答案22解析设等差数列an的公差为d，由题意可得a2a8112a5，则a5，所以3a3a113(a52d)a56d4a5422.板块二典例探究考向突破考向等差数列的基本运算例1(1)2017全国卷记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8答案C解析设an的公差为d，则由得解得d4.故选C.(2)2018吉林模拟已知等差数列an的前n项和为Sn，若6a32a43a25，则S7()A28 B21 C14 D7答案D解析由6a32a43a25，得6(a12d)2(a13d)3(a1d)5a115d5(a13d)5，即5a45，所以a41，所以S77a47.故选D.触类旁通等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法【变式训练1】(1)2016全国卷已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97答案C解析设an的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得ana1(n1)dn2，a100100298.故选C.(2)设Sn为等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.答案72解析设等差数列an的首项为a1，公差为d，由已知，得解得S16163(1)72.考向等差数列的性质命题角度1等差数列项的性质例2(1)等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值是()A14 B15 C16 D17答案C解析因为an是等差数列，所以a4a6a8a10a125a8120，a824.所以a9a11a8d(a83d)a816.(2)若两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，已知，则_.答案解析.命题角度2等差数列前n项和性质的应用例3(1)已知等差数列an的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为()A10 B20 C30 D40答案A解析设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25152n，故2n10，即数列的项数为10.故选A.(2)2018杭州学军中学月考设Sn是等差数列an的前n项和，若，则()A. B. C. D.答案A解析令S31，则S63，S91236.S12S9410，.故选A.触类旁通等差数列性质的应用技巧(1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将anam2ak(nm2k，n，m，kN*)与amanapaq(mnpq，m，n，p，qN*)相结合，可减少运算量(2)等差数列和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列，且有S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an；若n为偶数，则S偶S奇；若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)考向等差数列的判定与证明例42018辽宁大连双基测试数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明：>.解(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，所以Snn2.证明：>1.触类旁通等差数列的判定方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证anan1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)成立；(3)通项公式法：验证anpnq；(4)前n项和公式法：验证SnAn2Bn.提醒在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断【变式训练2】2018昆明模拟在数列an中，a1，an12，设bn，数列bn的前n项和是Sn.(1)证明数列bn是等差数列，并求Sn；(2)比较an与Sn7的大小解(1)证明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，数列bn是公差为1的等差数列由a1，bn，得b1，Sn3n.(2)由(1)知，bnn1n.由bn，得an11.anSn73n6.当n4时，y3n6是减函数，y也是减函数，当n4时，anSn7a4S470.又a1S17<0，a2S27<0，a3S37<0，nN*，anSn70，anSn7.核心规律1.等差数列的判定方法：(1)定义法；(2)等差中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法2.方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解3.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定满分策略1.当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数；当公差d0时，an为常数2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列3.注意利用“anan1d”时加上条件“n2”；否则，当n1时，a0无定义.板块三启智培优破译高考题型技法系列7破解等差数列中的最值问题2018北京海淀模拟等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解题视点可利用Snna1d及二次函数的性质求解；也可以利用首项a1>0，公差d<0，找最后一个正项求解；还可以利用SnAn2Bn及二次函数图象的对称性求解解解法一：由S3S11，得3a1d11a1d，则da1.从而Snn2n(n7)2a1.又a1>0，所以<0.故当n7时，Sn最大解法二：由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图象关于n7对称由解法一可知a<0，故当n7时，Sn最大解法三：由解法一可知da1.要使Sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，Sn最大解法四：由S3S11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a1>0，S3S11可知d<0，所以a7>0，a8<0，所以当n7时，Sn最大答题启示求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解(2)通项公式法：求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地，等差数列an中，若a1>0，且SpSq(pq)，则：若pq为偶数，则当n时，Sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，Sn最大跟踪训练(1)2018江西模拟已知数列an是等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，an的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n值是_答案20解析a1a3a5105a335，a2a4a699a433，则an的公差d33352，a1a32d39，Snn240n，因此当Sn取得最大值时，n20.(2)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_答案解析当且仅当n8时Sn取得最大值，即解得1<d<.板块四模拟演练提能增分A级基础达标1已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，若a36，S312，则公差d等于()A1 B. C2 D3答案C解析由已知得S33a212，即a24，da3a2642.故选C.22018宁德模拟等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值是()A20 B22 C24 D8答案C解析因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.故选C.3设Sn为等差数列an的前n项和，若S84a3，a72，则a9等于()A6 B4 C2 D2答案A解析S84(a3a6)因为S84a3，所以a60.又a72，所以da7a62，所以a84，a96.故选A.42018北京海淀期末在等差数列an中，若a1a7a8a1212，则此数列的前13项之和为()A39 B52 C78 D104答案A解析设数列的公差为d，则由a1a7a8a1212可得4a124d12，即a16d3，即a73，故前13项之和为13a739.故选A.52018郑州预测已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a310，且，则a2()A2 B3 C4 D5答案A解析依题意得，a1a35，a22.故选A.6已知Sn表示等差数列an的前n项和，且，那么等于()A. B. C. D.答案A解析因为该数列是等差数列，所以S5，S10S5，S15S10，S20S15成等差数列，又因为，所以S103S5，所以S10S52S5，所以S15S103S5，所以S156S5，同理可求S2010S5，所以.故选A.7已知数列an是等差数列，a415，a727，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为()A4 B. C4 D答案A解析由数列an是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，(7,27)的直线斜率，所以直线的斜率k4.故选A.8若等差数列an满足a7a8a9>0，a7a10<0，则当n_时，an的前n项和最大答案8解析an为等差数列，a7a92a8，a7a8a93a8>0，即a8>0，又a7a10a8a9<0.a9<0，an为递减数列又 S9S8a9<S8，S8S7a8>S7，当n8时，an的前n项和最大92018金版创新题已知数列an中，a37，a73，且是等差数列，则a10_.答案解析设等差数列的公差为d，则，.是等差数列，4d，即4d，解得d，故7d7，解得a10.10一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d_.答案5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.B级知能提升12018唐山统考已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1122，则a3a7a8()A18 B12 C9 D6答案D解析设等差数列an的公差为d，由题意得S1122，即a15d2，所以a3a7a8a12da16da17d3(a15d)6.故选D.22018洛阳统考设等差数列an的前n项和为Sn，且a1>0，a3a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为()A6 B7 C12 D13答案C解析a1>0，a6a7<0，a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3a10a1a12>0，a1a132a7<0，S12>0，S13<0，满足Sn>0的最大自然数n的值为12.故选C.3已知等差数列an中，an0，若n2且an1an1a0，S2n138，则n等于_答案10解析2anan1an1，又an1an1a0，2ana0，即an(2an)0.an0，an2.S2n12(2n1)38，解得n10.42018云南模拟设数列an的前n项积为Tn，且Tn2an2(nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn(1an)(1an1)，求数列bn的前n项和Sn.解(1)证明：Tn2an2，当n1时，T12a12，T1，即.又当n2时，Tn22，得TnTn12Tn12Tn，数列是以为首项，为公差的等差数列(2)由(1)知，数列为等差数列，(n1)，an，bn(1an)(1an1)，Sn. 5已知数列an的前n项和Sn2an2n1.(1)证明：数列是等差数列；(2)若不等式2n2n3<(5)an对任意的nN*恒成立，求的取值范围解(1)证明：当n1时，S12a122，得a14.Sn2an2n1，当n2时，Sn12an12n，两式相减得an2an2an12n，即an2an12n，所以11，又2，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)知n1，即ann2n2n.因为an>0，所以不等式2n2n3<(5)an，即(n1)(2n3)<(5)2n(n1)等价于5>.记bn，b1，b2，当n2时，则，即b3>b2，所以当n3时，<1，所以(bn)maxb3，所以<.