2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：3.1.1变化率问题-3.1.2导数的概念 .docx

3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识点一函数的变化率定义实例平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：平均速度；曲线割线的斜率瞬时变化率函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率知识点二函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|，即f(x0).题型一平均变化率例1已知函数h(x)4.9x26.5x10.(1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当x越来越小时，函数h(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当x越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1).(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪训练1求函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值.解函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.题型二物体运动的瞬时速度例2一辆汽车按规律s2t23(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t2s时的瞬时速度.解设在t2s附近的时间增量为t，则位移的增量s2(2t)23(2223)8t2(t)2.因为82t， (82t)8，所以这辆汽车在t2s时的瞬时速度为8m/s.反思与感悟求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量ss(t0t)s(t0)；(2)求时间t0到t0t之间的平均速度，(3)求的值，即得tt0时的瞬时速度.跟踪训练2一质点按规律s(t)at21作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，4aat.在t2 s时，瞬时速度为4a，即4a8，a2.题型三函数在某点处的导数例3求函数f(x)3x22x在x1处的导数.解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，y|x1 (3x4)4.反思与感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0).跟踪训练3利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数.解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2)，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.瞬时速度的求解例4一辆汽车按s3t21做直线运动，求这辆车在t3s时的瞬时速度.(位移单位：m，时间单位：s)分析本题主要考查瞬时速度的求法，既可以利用逼近思想，由平均速度通过逼近得到瞬时速度；也可以利用极限思想，由平均速度通过取极限得到瞬时速度.解方法一当t0时，在3t,3这一段时间内，3t18.当t0.1时，17.7；当t0.01时，17.97；当t0.001时，17.997；当t0.0001时，17.9997；当t0.00001时，17.99997；当t0.000001时，17.999997；由此可见，当t从左侧无限地逼近0时，从18的左侧无限地靠近18.当t0时，在3,3t这一段时间内，3t18.取t的下列值0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001，可以得到的值18.3,18.03,18.003,18.0003，18.00003，的值从18的右侧无限地靠近18.综上可知，当|t|0时，无限逼近常数18.这辆车在t3s时的瞬时速度为18m/s.方法二设这辆车从3s到(3t)s这一段时间内位移的增量为s3(3t)21283(t)218t，3t18. (3t18)18.这辆车在t3s时的瞬时速度为18m/s.点评方法二求瞬时速度的一般步骤如下：(1)设非匀速直线运动的规律ss(t)；(2)时间改变量t，位移改变量ss(t0t)s(t0)；(3)平均速度；(4)瞬时速度：当t0时，v(常数).1.如果质点M按规律s3t2运动，则在时间段2,2.1中相应的平均速度是()A.4B.4.1C.0.41D.3答案B解析4.1.2.函数f(x)在x0处可导，则()A.与x0、h都有关B.仅与x0有关，而与h无关C.仅与h有关，而与x0无关D.与x0、h均无关答案B3.若质点A按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为()A.6B.18C.54D.81答案B解析因为183t，所以18.4.若一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.答案解析7t14t，当 (7t14t)14t1时，t.5.已知函数f(x)，则f(1)_.答案解析f(1).利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)作比求平均变化率；(3)取极限得导数f(x0).简记为一差，二比，三极限.