2019届高考数学一轮复习夯基提能作业：第十一章复数算法推理与证明第四节直接证明与间接证明 .doc
第四节直接证明与间接证明A组基础题组1.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<03.设x,y,z>0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24.已知函数f(x)=12x,a,b是正实数,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A,B,C的大小关系为()A.ABCB.ACBC.BCAD.CBA5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+ f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6.(2018山东济南调研)设a>b>0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是.7.关于x的方程ax+a-1=0在区间(0,1)内有实根,则实数a的取值范围是.8.若二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内至少存在一个数c,使f(c)>0,则实数p的取值范围是.9.已知a,b,c为正实数,求证:a2+b2+c23a+b+c3.10.在ABC中,设a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,求证:ABC是直角三角形.B组提升题组1.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d;运算“”为(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“”为(a,b)(c,d)=(a+c,b+d),设p,qR,若(1,2)(p,q)=(5,0),则(1,2)(p,q)=()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)2.设函数f(x)=ex+x-a(aR,e为自然对数的底数).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,则a的取值范围是()A.1,eB.1,1+eC.e,1+eD.0,13.已知数列an满足a1=12,且an+1=an3an+1(nN*).(1)证明:数列1an是等差数列,并求数列an的通项公式;(2)设bn=anan+1(nN*),数列bn的前n项和记为Tn,证明:Tn<16.4.若f(x)的定义域为a,b,值域为a,b(a<b),则称函数f(x)是a,b上的“四维光军”函数.(1)设g(x)=12x2-x+32是1,b上的“四维光军”函数,求常数b的值;(2)是否存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=1x+2是区间a,b上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.答案精解精析A组基础题组1.A因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,所以要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.2.Cb2-ac<3ab2-ac<3a2(a+c)2-ac<3a2a2+2ac+c2-ac-3a2<0-2a2+ac+c2<02a2-ac-c2>0(a-c)(2a+c)>0(a-c)(a-b)>0.3.C假设三个数都小于2,则yx+yz+zx+zy+xz+xy<6,由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=yx+xy+zx+xz+yz+zy2+2+2=6.所以假设不成立,所以yx+yz,zx+zy,xz+xy中至少有一个不小于2.故选C.4.A因为a+b2ab2aba+b,又f(x)=12x在R上是减函数,所以fa+b2f(ab)f2aba+b.5.A由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时, f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,则f(x1)< f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)<0,故选A.6.答案m<n解析解法一:取a=2,b=1,得m<n.解法二:若a-b<a-b,则b+a-b>a,即a<b+2ba-b+a-b,所以2ba-b>0,显然成立,故m<n.7.答案12,1解析当a=0时,方程无解.当a0时,令f(x)=ax+a-1,则f(x)在区间(0,1)上是单调函数,依题意,得f(0)f(1)<0,所以(a-1)(2a-1)<0,所以12<a<1.8.答案-3,32解析由题意可得只需f(-1)>0或f(1)>0即可,由f(1)>0,得2p2+3p-9<0,即-3<p<32;由f(-1)>0,得2p2-p-1<0,即-12<p<1.故所求实数p的取值范围是-3<p<32.9.证明要证a2+b2+c23a+b+c3,只需证a2+b2+c23a+b+c32,只需证3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,只需证2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca,只需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,而这是显然成立的,所以a2+b2+c23a+b+c3成立(当且仅当a=b=c时等号成立).10.证明证法一:由直线平行可知bcos B-acos A=0,由正弦定理可知sin Bcos B-sin Acos A=0,即12sin 2B-12sin 2A=0,故2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=2.若A=B,则a=b,cos A=cos B,两直线重合,不符合题意,故A+B=2,即ABC是直角三角形.证法二:由两直线平行可知bcos B-acos A=0,由余弦定理,得ab2+c2-a22bc=ba2+c2-b22ac.所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.若a=b,则两直线重合,不符合题意,故a2+b2=c2,即ABC是直角三角形.B组提升题组1.B由(1,2)(p,q)=(5,0)得p-2q=5,2p+q=0p=1,q=-2,所以(1,2)(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0).2.A易知f(x)=ex+x-a在定义域内是增函数,由f(f(b)=b,猜想f(b)=b.反证法:若f(b)>b,则f(f(b)>f(b)>b,与题意不符,若f(b)<b,则f(f(b)<f(b)<b,与题意也不符,故f(b)=b,即f(x)=x在0,1上有解.ex+x-a=x,a=ex-x2+x,令g(x)=ex-x2+x,g(x)=ex-2x+1=(ex+1)-2x,当x0,1时,ex+12,2x2,g(x)0,g(x)在0,1上是增函数,g(0)g(x)g(1)1g(x)e,即1ae,故选A.3.证明(1)由已知可得,当nN*时,an+1=an3an+1,两边取倒数得,1an+1=3an+1an=1an+3,即1an+1-1an=3,所以数列1an是首项为1a1=2,公差为3的等差数列,其通项公式为1an=2+(n-1)3=3n-1,所以数列an的通项公式为an=13n-1.(2)由(1)知an=13n-1,故bn=anan+1=13n-113(n+1)-1=1(3n-1)(3n+2)=1313n-1-13n+2,故Tn=b1+b2+bn=1312-15+1315-18+1313n-1-13n+2=1312-13n+2=16-1313n+2.因为13n+2>0,所以Tn<16.4.解析(1)由题意得g(x)=12(x-1)2+1,其图象的对称轴为x=1,所以函数在区间1,b上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,即12b2-b+32=b,解得b=1或b=3.因为b>1,所以b=3.(2)假设函数h(x)=1x+2在区间a,b(a>-2)上是“四维光军”函数,因为h(x)=1x+2在区间(-2,+)上单调递减,所以有h(a)=b,h(b)=a,即1a+2=b,1b+2=a,解得a=b,这与已知矛盾.故不存在常数a,b(a>-2),使函数h(x)=1x+2是区间a,b上的“四维光军”函数.
