2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3.3.1 利用导数判断函数的单调性 .docx

www.ks5u.com33.1利用导数判断函数的单调性学习目标1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察下列各图，完成表格内容函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正1，)上单调_R上单调_负(0，)上单调_(0，)上单调_(，0)上单调_思考2依据上述分析，可得出什么结论？梳理导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性>0_0_角单调_<0_0_角单调_知识点二函数的变化快慢与导数的关系思考我们知道导数的符号反映函数yf(x)的增减情况，怎样反映函数yf(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？梳理一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”类型一利用导数判断函数的单调性例1证明：函数f(x)在区间上单调递减反思与感悟关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行(2)f(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f(x)(或)0.跟踪训练1证明：函数f(x)在区间(0，e)上是增函数类型二利用导数求函数的单调区间命题角度1不含参数的函数求单调区间例2求f(x)3x22ln x的单调区间反思与感悟求函数yf(x)的单调区间的步骤(1)确定函数yf(x)的定义域(2)求导数yf(x)(3)解不等式f(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数(4)解不等式f(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数跟踪训练2求函数f(x)的单调区间命题角度2含参数的函数求单调区间例3讨论函数f(x)x2aln x(a0)的单调性反思与感悟(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了跟踪训练3已知函数f(x)x2(am)xaln x，且f(1)0，其中a，mR.(1)求m的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间类型三含参数函数的单调性引申探究试求函数f(x)kxln x的单调区间例4若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_反思与感悟(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意先令f(x)>0(或f(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“”时f(x)是否满足题意(3)恒成立问题的重要思路mf(x)恒成立mf(x)max.mf(x)恒成立mf(x)min.跟踪训练4已知函数f(x)x2(x0，常数aR)若函数f(x)在x2，)上单调递增，求a的取值范围1函数f(x)xln x在(0,6)上是()A增函数B减函数C在上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数2设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是()3函数f(x)ln xax(a>0)的单调递增区间为()A. B.C(0，) D(0，a)4若函数f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，则m的取值范围是()Am Bm>Cm Dm<5求函数f(x)(xk)ex的单调区间1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求导数f(x)(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)>0和f(x)<0.(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间答案精析问题导学知识点一思考1正递增正正递增负递减负负递减负负递减思考2一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上：(1)如果f(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增(2)如果f(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减梳理>锐上升递增<钝下降递减知识点二思考如图所示，函数yf(x)在区间(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在区间(b，)或(，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”题型探究例1证明f(x)，又x，则cos x<0，sin x>0，xcos xsin x<0，f(x)<0，f(x)在上单调递减跟踪训练1证明f(x)，f(x).又0<x<e，ln x<ln e1.f(x)>0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数例2解f(x)3x22ln x的定义域为(0，)f(x)6x，由x>0，解f(x)>0，得x>，由x<0，解f(x)<0，得0<x<.函数f(x)3x22ln x的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)跟踪训练2解函数f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x).因为x(，2)(2，)，所以ex>0，(x2)2>0.由f(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)<0，得x<3，又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)，(2,3)例3解函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x.设g(x)2x2a，由g(x)0，得2x2a.当a0时，f(x)2x>0，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a>0时，由g(x)0，得x或x(舍去)当x(0，)时，g(x)<0，即f(x)<0，当x(，)时，g(x)>0，即f(x)>0.所以当a>0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，)上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(，)上单调递增，在(0，)上单调递减跟踪训练3解(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)x(am).由f(1)0，得1(am)a0，解得m1.(2)由(1)得f(x)x(a1).当a>1时，由f(x)>0，得x>a或0<x<1，此时f(x)的单调递增区间为(a，)，(0,1)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当0<a<1时，由f(x)>0，得x>1或0<x<a，此时f(x)的单调递增区间为(1，)，(0，a)；当a0时，由f(x)>0，得x>1，此时f(x)的单调递增区间为(1，)综上，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(a，)，(0,1)；当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当0<a<1时，f(x)的单调递增区间为(1，)，(0，a)；当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，)例41，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增f(x)k0在(1，)上恒成立由于k，而0<<1，所以k1，即k的取值范围为1，)引申探究解f(x)kxln x的定义域为(0，)，f(x)k，当k0时，函数的单调递减区间为(0，)；当k>0时，函数的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)跟踪训练4解f(x)2x.要使f(x)在2，)上单调递增，则f(x)0在x2，)时恒成立，即0在x2，)时恒成立x2>0，2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立，a(2x3)min.设y2x3，y2x3在2，)上单调递增，(2x3)min16，a16.当a16时，f(x)0(x2，)，有且只有f(2)0，a的取值范围是(，16当堂训练1Ax(0，)，f(x)1>0，函数在(0,6)上单调递增2C原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增，当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增故当x<0时，f(x)>0；当x>0时，f(x)的符号变化依次为，.故选C.3Af(x)的定义域为x|x>0，且a>0，由f(x)a>0，得0<x<.4A函数f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，f(x)3x24xm0在R上恒成立，则判别式1612m0，即m.5解f(x)ex(xk)ex(xk1)ex，当x<k1时，f(x)<0；当x>k1时，f(x)>0，f(x)的单调递减区间为(，k1)，单调递增区间为(k1，)