寒假指导二次根式及性质_练习.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载寒假指导 - 二次根式及性质.学问要点：（ 1）平方根与立方根a. 平方根的概念：假如一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。用a 表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：由于5 225，所以25的平方根为255 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。0 的算术平方根为0。用a 表示 a 的算术平方根。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如： 3 的平方根为3 ，其中3 为 3 的算术平方根。3c. 立方根的概念：假如一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3例如：由于327 ，所以27的立方根为3 273 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d. 平方根的特点：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 0 有一个平方根，就是0 本身。负数没有平方根。e. 立方根的特点：正数有一个正的立方根。负数有一个负的立方根。 0 的立方根为0。 3a3 a 。立方根等于其本身的数有三个：1， 0， 1。（ 2）二次根式a. 二次根式的概念：形如a （ a 0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数肯定是非负数，否就就没有意义，并且根式a 0）。b. 二次根式的基本性质：a 0（ a0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2a（ a0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2|a|a（ a0）0（ a0） a（a0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab （ a0 ， b0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bb （aaa0，b0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c. 二次根式的乘除法abab（ a0 ， b0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bb（ aaa0，b0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d. 最简二次根式的标准：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。被开方数中不含开得尽方的因数或因式。e. 同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，就这几个二次根式是同类二次根式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：822 与2 是同类二次根式，3a 与5a 是同类二次根式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f. 二次根式的加减法运算法就：在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算，运算时只有同类二次根式才能合并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变），合并同类二次根式之后的式子作为最终的结果（留意：最终结果要尽可能最简）。h. 使分母不带根号（分母有理化）常用方法：化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i. 形如a 的式子，利用a 2a ，分子、分母同乘以a 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bbabaaa 2ac或c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii.形如 ab得axby的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以ab或（ axby ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ccab 或ccaxby 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aba 2baxbya 2 xb 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：分子、分母同时所乘以的式子必需不为0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy xyxy xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即如：xy0。xy xy ，这样运算不肯定正确，由于xy 有可能为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化去分母中的根号，有时通过约分来解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy如：xy（ xy且x0， y0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyxy xyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（ 3）实数与数轴：a. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。b. 实数的概念：有理数与无理数统称为实数。c. 实数的分类：按实数的定义分类可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整数有理数实数分数正整数0负整数正分数负分数自然数有限小数或无限循环小数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结无理数正无理数负无理数无限不循环小数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按正负分类正 实 数正 整 数正 有 理 数正 分 数正 无 理 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实 数 零负 实 数负 整 数负 有 理 数负 分 数负 无 理 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d. 实数与数轴上的点之间的关系：实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。数轴上的任一点必定表示一个实数。反过来每一个实数都可以用数轴上的点来表示。e. 常见的几种无理数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结根号型：如2 、 34 等开方开不尽的数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结构造型：如1.21121112等无限不循环小数。化简后含有（圆周率）的数。在今后学习中仍会遇到三角函数型等。f. 实数比较大小的几种常用方法：数轴比较法：将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，表示在同一点上的两个数相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结差值比较法： 设 a、b 是任意两实数， 如 ab0 ，就 ab 。如 ab0 ，就 a<b。如 ab商值比较法：设a、b 是两个正实数a0，就ab 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1，就 ab如 b。a1，就 ab如 b。a1，就 ab如 b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载注：除此以外仍有平方法等方法。【典型例题】例 1. 判定以下说法是否正确：（ 1）4 的平方根是2（ 2） 25 的平方根是5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 8 2 的算术平方根是8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4） 0.027 的立方根是0.382（ 5） 27 的立方根是3解析： 要作出正确判定，必需弄清平方根、算术平方根的概念和立方根的概念。例 2. 要使以下各式有意义，字母x 的取值必需分别满意什么条件？2（ 1）34x（2）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）x12x3x（4）x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为0，对于含有多个表达式的式子需同时让每一个式子有意义，此表达式才有意义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 已知ab3与|ab5|互为相反数，求a 2b2 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4. 运算以下各式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22（ 1）3（ 2）75 24x2 y1xy 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 236（4）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）1 2 3554（ 6） 630.1248可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1241 3140.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 7）83可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（1）由公式 a 2a（ a0） 可以直接得到。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n（ 2）依据积的乘方法就aba nbn 可以求解。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）利用abab （ a（ 4）利用abab （ a0 ， b 0 ， b0） 进行乘法运算。0） 进行乘法运算，但应知道y0， x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a（ 5）利用ba （a b0，b0）进行运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）和（ 7）应先对式子中的每个二次根式进行化简，然后对同类二次根式进行合并。例 5. 化简以下各式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）22x2 2 （ x2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）244（ 3）x8x16（4）12a b c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）1 23（6）b （a a0， b0）2a|a|a（a0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解析：（1）（ 2）（ 3）都是形如a的化简，关键是正确懂得和使用a（a0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）运用abab （ a0， b0 ） 对二次根式进行化简时尽可能将被开方数的因式写成平方的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形式。22（ 5）（6）去掉分母中的根号，常用的方法是使分母化为a（或a）的形式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6. 已知 a、b 均为有理数，并且满意等式：53a2b233a，求 a、b 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由于5 3a22b3a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b所以5a2303可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 a、b 均是有理数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5a2b与所以a23 都是有理数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有a5a2b0a20323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b13解得6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7. 比较32 与21 的大小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 比较32与21 的大小，可先将各数的近似值求出来可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结321.7321.4140.318211.41410.414再比较大小，此题仍有一种方法“分子有理化”32 32 1323221132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 2121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212111又32213221例 8. 观看以下各式及其验证过程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222332232 3222222212222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结验证：3321213333388可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结333 3333332133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3验证：883213321844可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）依据上述两个等式及其验证过程的基本思路猜想15 的变形结果并进行验证。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）针对上述各式反映的规律，写出用n（ n 为任意自然数，且n2 ）表示的等式，并给出证明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【模拟试题】（答题时间： 80 分钟）一. 填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 运算 |2 | = 。 327 = 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如代数式112x 有意义，就x 的取值范畴是 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13. 运算：2118= 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在实数范畴内分解因式：x223x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 5. 如 x<5，就x5。6. 肯定值不超过3 的无理数有 （只需写出3 个即可）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a7. 已知1， b52152 ，就a 2b 27 的值为 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结28. 实数 a、b、c 在数轴上的对应点如图。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简： a|ab|c|bc| 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 已知 ab122ab4 0 ，运算 ab= 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 3 的整数部分为a，小数部分为b，就 a= ， b= 。二. 挑选题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 在二次根式5a ，8a ，c ，a 29b 2 ，a 3中，最简二次根式共有（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结312. 在二次根式： （ 1）12 。（2）2。（ 3）23 。（ 4）27 中，与3 是同类二次根式的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.（ 1）和（ 3）B. （2）和（ 3）C.（1）和（ 4）D.（ 3）和（ 4）13. 以下实数中，无理数是（）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3.14B.2C. 0D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14. 以下各组数中，互为相反数的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12和A. 2B. |2|与2C. 2 与2和 3282D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15. 如 a 为实数，以下代数式中，肯定是负数的是（）2A.a2B.a1C.a 2D.|a| 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载16. 如图， 数轴上表示1，2 的对应点分别为A 、B，点 B 关于 A 对称点为 C，就点 C 所表示的数是 （）A.21B.12C.22D.2217. 以下命题中正确选项（）A. 假如 a、b 同号，就ababB. 假如 a、b 异号，就ababC. 假如 a、b 异号，就ab 有意义D. 假如 a、b 同号，就ab 无意义18. 以下运算正确选项（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1aA. aB. abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C. ab 2ab3 aD. 423a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结19. 如 x 为任意实数，以下各式肯定有意义的是（）1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. x 23B.2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.x22 xD.x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x20. 把1x根号外的因式移入根号内等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. xB.xC.xD.x三、解答题21. 在实数范畴内分解因式（ 1） x 310x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 9x416 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）24152233232 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）32 x28 xx3（ 0x）922可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23. 比较两数的大小：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）76和67 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 365和356 。24. 化简求值：abbab1b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ababbabab ，其中 a35， b35 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结25. 解不等式或方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）3x1222x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5x（ 2）2x253。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结26. 某公司向银行贷款20 万元资金，商定两年到期时一次性仍本付息，利息是本金的12%，该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除仍清贷款的本金和利息外，仍盈余6.4 万元，如在经营期间每年比上一年资金增长 百分数相同，试求这个百分数。27. 阅读（ 1），解答（ 2）、（ 3）。（ 1）举例说明“两个无理数的和有可能为有理数。”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：如2 、2 都是无理数，而22 0 ， 0 就是有理数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）有没有不相等的两个无理数的差为有理数？假如有，请用与2、3、5相关的数举例说明。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）有没有肯定值不相等的两个无理数的平方差为有理数？假如有，请用与2、3、5 相关的数举可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例说明。28. 先观看以下等式，再回答疑题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11112221112 2321111 11112 。1111 12216 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结132421331112 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）依据上面三个等式供应的信息，请猜想14 252的结果，并进行验证。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）请依据上面各等式反映的规律，试写出用n（n 为正整数）表示的等式，并加以验证。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【试题答案】一.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.2 ，32.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23.4214.x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.5x6.2、7. 58.2c3、5（答案不唯