2022年海门中学中考自主招生考试数学试卷 .pdf
20XX 年江苏省海门中学中考自主招生考试数学试题一、选择题（本大题共7 小题，每小题5分，满分35 分）1、下列计算正确的是( ) A、532)(2)()(aaa B、632)()()(aaaC、623)(aa D、336)()()(aaa答案： D 2、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入1 2 3 4 5 输出2152103174265那么，当输入数据是8时，输出的数据是( ) A、618 B、638 C、658 D、678答案： C 3、下面是某同学在一次测验中解答的填空题：（1）若22ax, 则ax（2）方程1) 1(2xxx的解为0 x（3）若直角三角形有两边长分别为3 和 4，则第三边的长为5其中答案完全正确的题目个数为( )A0 个 B1 个 C 2个 D3 个答案： A 4、如图，已知直线l的解析式是434xy，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点。一个半径为1.5 的 C,圆心 C从点（ 0，1.5 ）开始以每秒0.5 个单位的速度沿着y轴向下运动 , 当 C 与直线l相切时 ,则该圆运动的时间为( ) A.3 秒或 6 秒 B.6秒 C.3秒 D.6秒或 16 秒答案 : D 5、已知11xx，则xx1的值为（）A5 B5 C3 D5或 1 注意事项1. 本试卷共9 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2. 答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色水笔填写在试卷及答题卡指定的位置。3. 答案必须按要求填涂、书写在答题卡上, 在试卷或草稿纸上答题一律无效。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页答案： B 6、如图，ABC是 O 的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且ABEF /，若 O的半径为334，则DE的长为 ( ) A.13 B.215 C.15 D.213答案： C 7、已知函数cxxy22（c为常数）的图象上有两点),(11yxA，),(22yxB。若211xx且221xx，则1y与2y的大小关系是 ( ) A.21yy B. 21yy C. 21yy D. 1y与2y的大小不确定答案 :B 二、填空题（本大题共7 小题，每小题5分，满分35 分）8、计算：1212222答案：229、已知关于x的不等式组0125axx无解，则a的取值范围是 _ 。答案：3a10、一个密码箱的密码，每个数位上的数字都是从0 到 9 的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于20121，则密码的位数至少需要_位. 答案： 4 11、定义：bcaddcba。现有0211xx，则x_ 答案： 4 12、在平面直角坐标系中, 直线834xy与x轴、y轴分别交于A、B两点，把直线834xy沿过点A的直线翻折，使B与x轴上的点C重合，折痕与y轴交于点D，则直线CD的解析式为 _ 答案：343xy，1243xy13、已知方程01063xx有一根0 x满足10kxk,k为正整数 , 则k_. 答案： 3 14、如图3ADCABCAB，CDAH于H，BCCP交精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页AH于点P，2AP，则BD_ 答案：223三、解答题（本大题共8 题，共 80 分）15、（本题满分10 分）(1) 在ABCRt中,090C,A的正弦、余弦之间有什么关系？请给出证明过程。（2）已知锐角满足：x1sin，x21cos，求tan的值。解: （ 1）1cossin22AA5 分（2）由1cossin22，得1)21()1(22xx所以可解得51x或1x（舍），易得43tan 5 分16、(1) 图(1) 是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图(2) 、 (3) 、(4) 、(5) 的木块。我们知道，图(1) 的正方体木块有8 个顶点， 12 条棱， 6 个面，请你将图(2) ，(3) ，(4) ，(5) 中木块的顶点数，棱数，面数填入下表：图顶点数棱数面数(1) 8 12 6 (2) (3) (4) (5) (2) 观察上表， 请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是： _. 解： (1) 图顶点数棱数面数(2) 6 9 5 (3) 8 12 6 (4) 8 13 7 (5) 1O 15 7 (2) 顶点数 +面数 =棱数 +217、（本题满分10 分）阳光公司生产某种产品，每件成本3 元，售价4 元，年销售量为20 万件，为获得更好的效益，公司准备精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的销量是原销量的y倍，且y与x之间满足：)31019)31(107107101) 10(11032xxxxxxy（如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。（1）试求出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）若521x，要使利润S随广告费x的增大而增大，求x的取值范围。解:(1)3(38)31(14132)10(2052xxxxxxxS(2) 在)10(205xxS中，S随x的增大而增大。)31(8281)413(21413222xxxxS31x当时，S随x的增大而增大。若521x，要使利润S随广告费x的增大而增大，则x的取值范围为321x。18、（本题满分10 分）已知AB是半径为1 的圆O的一条弦， 且1aAB, 以AB为一边在圆O内作正三角形ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且aABDB，DC的延长线交圆O于点E，求AE的长。解：如图，连接OE ，OA ，OB 。设 CDB= x, 则CD = AB = DB ， BCD = x 。ACB = 60， ECA = 120- x。ABO = ABD / 2 =（ABC +CBD ）/2 = （60+180 - 2x）/2=120 - x，ACE ABO ， AE= OA = 1. 19、 已知n为正整数，二次方程0)12(22nxnx的两根为nn,，求下式的值：) 1)(1(1)1)(1(1)1)(1(120204433解：由韦达定理，有)12( nnn，2nnn。于是，对正整数3n，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页)121(21)2(11)12(111) 1)(1(12nnnnnnnnnnnn原式 =)201181(21)4121(21)311 (21760531)201191211(2120、（本题满分8 分）解方程：2 2xxx)0(x（注：x表示实数x的整数部分，x表示x的小数部分 , 如13.013.2 ,213.2）解：原方程可变为22xxxx即3xx因10 x，故30 x，于是x只可能为0,1,2 ，且34xxxx当0 x时，0 x；当1x时，34x；当2x时，38x。21、（本题满分10 分）设绝对值小于1 的全体实数的集合为S，在 S中定义一种运算“”，使得abbaba1(1) 证明：结合律)()(cbacba成立 . (2) 证明：如果a 与 b 在 S中，那么ba也在 S中. （说明 ：可能用到的知识: 1| a即12a）（1）（*ab)*c=abba1*c=cabbacabba111=abcabcabccba1因为此式关于a,b,c对称，所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算（2）当 -1a1,-1b1时，有 -1abba11 成立，也即证2)1(abba1成立，从而用比较法即可证得22、（本题满分12 分）如图，对称轴为3x的抛物线22yaxx与x轴相交于点B、O. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页(1 ）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；(2) 连结 AB ，把 AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l. 点 P 是l上一动点 . 设以点 A、 B、O、P 为顶点的四边形面积为S，点 P的横坐标为t，当 0S18 时，求t的取值范围；(3) 在（ 2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使 OPQ为直角三角形且OP 为直角边 . 若存在 ,直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 23. 解：（ 1）点 B与 O（0，0）关于 x=3 对称 , 点 B坐标为（ 6，0）. 将点 B坐标代入22yaxx得：36a+12=0, a=13. 抛物线解析式为2123yxx. 2 分当x=3 时，2132333y, 顶点 A坐标为（ 3，3）. 3 分（说明：可用对称轴为2bxa,求a值 , 用顶点式求顶点A坐标 . ）（2）设直线AB解析式为y=kx+b. A(3,3),B(6,0), 6033kbkb解得16kb, 6yx. 直线l AB且过点 O, 直线l解析式为yx. 点p是l上一动点且横坐标为t, 点p坐标为（, tt）. 4 分当p在第四象限时（t0），AOBOBPSSS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页=1263+126t=9+3t. 0S18, 09+3t18, -3 t 3. 又t0, 0t 3.5 分当p在第二象限时（t0）, 作 PM x轴于 M ，设对称轴与x轴交点为N. 则ANBPMOANMP22+S-S111=3+(-t) (3)3 3()()222191(3)222SSttttt梯形=-3t+9. 0S 18, 0-3t+9 18, -3 t3. 又t 0, -3 t0.6 分t 的取值范围是 -3 t0 或 0t3. (3) 存在，点Q坐标为（ 3，3）或（ 6， 0）或（ -3 ，-9）.9 分（说明：点Q坐标答对一个给1 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
