专题08 立体几何-各类考试必备素材之高三数学（文）全国各地优质金卷 .doc

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】专题八 立体几何一、选择题1【2018东莞高三二模】如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A. 18 B. 12 C. 10 D. 8【答案】D2【2018东北三省四市】已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过四点的球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，知过四点的球的直径为以为邻边的长方体的对角线的长，而，则，所以球的表面积为，故正确答案为C.点睛：此题主要考查了从平面图形到空间几何体的变化过程的空间想象能力，简单组合体中直三棱锥与外接球关系，以及球的表面积的计算等方面的知识和技能力，属于中档题型，也是常考题型.在解决简单几何体的外接球问题中，一般情况下，球的直径为简单几何体的对角线的长. 3【2018黑龙江大庆高三二模】已知是两个不同的平面， 是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是( )A. 若,则 B. 若,则C. 若，则 D. 若，则与所成的角和与所成的角相等【答案】B4【2018贵州高三适应性考试】在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形一定为菱形B. 四边形在底面内的投影不一定是正方形C. 四边形所在平面不可能垂直于平面D. 四边形不可能为梯形【答案】D【解析】 对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误；对于B, 四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误；对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确.故选：D5【2018河南焦作高三四模】在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A由得，即，所以球的表面积为，故选A点睛：本题考查了有关球的组合体问题，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，球心与截面圆心的连线垂直截面，同时球的半径，小圆的半径和球心到截面的距离满足勾股定理，求得球的半径，即可求解求得表面积与体积6【2018河南焦作高三四模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C7【2018北京师范大学附中高三二模】如图，各棱长均为的正三棱柱， ， 分别为线段， 上的动点，若点， 所在直线与平面不相交，点为中点，则点的轨迹的长度是（ ）A. B. C. D. 【答案】B8【2018陕西咸阳高三二模】已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A9【2018新疆维吾尔自治区高三二模】某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得几何体的原图为图中的四棱锥A-BCDE, 四棱锥A-BCDE的外接球和长方体的外接球重合，因为长方体的外接球直径所以该几何体的外接球的体积为故选D. 点睛：模型法是求几何体外接球半径的一种重要方法.先把几何体放在长方体中，使几何体的顶点都在长方体的顶点里，再根据长方体的外接球半径公式求出外接球的半径.10【2018衡水金卷高三信息卷五】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解11【2018河南商丘高三二模】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C12【2018重庆高三4月二诊】某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 根据给定的三视图，可得原几何体如图所示， 其中面表示边长分别为和的矩形，其面积为， 和为底边边长为，腰长为的等腰三角形，其高为，所以面积为，面和面为全等的等腰梯形，上底边长为，下底边长为，高为，所以面积为，所以几何体的表面积为，故选C13【2018湖南衡阳高三二模】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为( )A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C14【2018广东茂名高三二模】九章算术中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（ ）A. B. C. D. 【答案】C15【2018广东茂名高三二模】某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体是如图所示的四面体ABCD，其体积为故答案为：A点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解二、填空题16【2018东莞高三二模】已知几何体是平面截半径为4的球所得较大部分，是截面圆的内接三角形，点是几何体的表面上一动点，且在圆上的投影在圆的圆周上，则三棱锥的体积的最大值为_【答案】1017【2018河南商丘高三二模】已知球的表面积为，此球面上有三点，且，则球心到平面的距离为_【答案】【解析】因为球的表面积为，所以 因为，所以三角形为直角三角形，因此球心到平面的距离为球心到BC中点的距离，为 .点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.18【2018重庆高三二诊】边长为2的等边的三个顶点， ， 都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】设球半径为，则，解得设所在平面截球所得的小圆的半径为，则故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以答案： 19【2018宁夏银川高三4月质检】把边长为的正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，此三棱锥的外接球的表面积的大小等于_【答案】点睛：解答几何体的外接球有关的问题，关键是两心三边一方程，两心是截面圆的圆心和球心，三边是圆心和球心的距离、球的半径、圆的半径，一方程指的是通过勾股定理得到的关于球的半径R的方程. 这种技巧，大家要理解掌握熟练运用.20【2018山西太原高三二模】已知三棱锥中， ， ，点是的中点，点在平面射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.三、解答题21【2018内蒙古呼和浩特高三二模】如图，在直三棱柱中，为棱的中点.（1）证明：平面；（2）已知，的面积为，为线段上一点，且三棱锥的体积为，求.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，可推出为的中点，从而推出四边形为平行四边形，即可证明平面；（2）过作于，连接，可推出平面，从而推出，设，表示出，根据的面积为，可求得得值，设到平面的距离为，根据，即可求得，从而求得.试题解析：（1）证明：取的中点，连接，.侧面为平行四边形为的中点，又四边形为平行四边形，则.平面，平面平面.（2）解：过作于，连接，平面.又平面.设，则，的面积为，.设到平面的距离为，则.与重合，.22【2018衡水金卷高三调研二模】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，点是的中点，棱与平面交于点.（1）求证:；（2）若是正三角形，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）因为底面是边长为2的正方形，所以.又因为平面，平面，所以平面. 又因为四点共面，且平面平面，所以.又因为，所以.（2）因为，点是的中点，所以点为的中点，.又因为平面平面，平面平面，所以平面，所以平面.又因为是正三角形，所以，所以.又，所以.故三棱锥的体积为.23【2018安徽安庆高三二模】如图所示，四棱锥B-AEDC中，平面AEDC平面ABC，F为BC的中点，P为BD的中点，且AE/DC，ACD=BAC=90，DC=AC=AB=2AE（1）证明：EP平面BCD；（2）若DC=2，求三棱锥E-BDF的体积.【答案】（1）见解析（2） 试题解析：（）由题意知为等腰直角三角形，而为的中点，所以.又因为平面平面，且，所以平面. 而平面，所以. 而所以平面. 连结,则 而所以是平行四边形,因此平面. （）因为平面，所以平面是三棱锥的高.所以. 于是三棱锥的体积为24【2018湖南益阳高三4月调研】在三棱锥中，底面，是的中点，是线段上的一点，且，连接，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析;(2).试题解析：（1）因为，所以.又，所以在中，由勾股定理，得.因为，所以是的斜边上的中线.所以是的中点.又因为是的中点，所以直线是的中位线，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）由（1）得，.又因为，.所以.又因为，所以.易知，且，所以.设点到平面的距离为，则由，得，即，解得.即点到平面的距离为.25【2018黑龙江大庆高三二模】如图，在矩形中， , , 是的中点，将沿向上折起，使平面平面 ()求证： ; ()求点到平面的距离.【答案】（）证明见解析.（）1.【试题解析】（）证明：由题意可知， ，, ， 所以，在中， ，所以；因为平面平面且是交线， 平面 所以平面，因为平面，所以 （）解：取中点，连接.因为且为中点，所以.因为面，面面， 是交线，所以平面, 故长即为点到平面的距离，算得. 由（）可知， , 是直角三角形,，所以. . 设点到平面的距离为，因为, 所以,解得，故点到平面的距离为. 26【2018江西新余高三二模】如图，三棱柱中，平面平面， 是的中点.（1）求证： 平面；（2）若， ， ， ，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) .解析：解法一：（）连结交于点，则为的中点，是的中点，.又， ，（）， ， ，.取中点，连结， ，为等边三角形，且，又平面，平面，SC1-ABD=.解法二：（）取中点，连结， ， ， ， ，四边形为平行四边形，又， ，.，四边形为平行四边形，又， ，.又，平面.又平面，平面（），.，.又平面平面，平面 平面.，.是中点，SC1-ABD=27【2018广东惠州高三4月模拟】如图，直角中， ， ， 分别是边的中点，沿将折起至，且.（1）求四棱锥的体积；（2）求证：平面平面【答案】(1) ;(2)见解析.接，则，即可推出是平行四边形，再根据及，推出是等边三角形，结合（1），可推出，从而可证平面平面；法二：连接，易证是边长为2等边三角形，根据，推出，从而推出，根据，可推出，可证，从而可证平面平面.试题解析：（1）分别是边的中点，平行且等于的一半， 依题意， . 于是有平面. 平面平面 过点作于，则， 梯形的面积四棱锥的体积 （2）（法一）如图设线段的中点分别为，连接，则，于是.又是等边三角形.EQFC 由（1）知.于是. 又平面平面. （法二）连接，是边长为2等边三角形， 又 又，又，平面平面. 28【2018新疆维吾尔自治区高三二模】如图， 垂直于菱形所在平面，且， ，点、分别为边、的中点，点是线段上的动点.（I）求证： ；（II）当三棱锥的体积最大时，求点到面的距离.【答案】（I）见解析；(II）.试题解析：（I）连接、相交于点.平面，而平面，四边形为菱形，平面、分别为、的中点，平面，而平面，(II）菱形中， ，得.，平面，即平面，显然，当点与点重合时， 取得最大值2，此时且， ，则是中点，所以点到平面的距离等于D点到平面的距离，又，求得到平面的距离为.点睛：本题中要两次重要的转化，一是研究三棱锥的体积最大时，转化成研究三棱锥的体积最大,二是把点到平面的距离转化为点D点到平面的距离.通过转化，把复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，优化了解题，提高了解题效率.大家对转化的数学思想要理解掌握灵活运用.