2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2教学案： 第三章 3.1数系的扩充和复数的概念 .doc

第1课时数系的扩充和复数的概念核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P50P51的内容，回答下列问题(1)方程x210在实数范围内有解吗？提示：没有(2)为了解决x210这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示：引入了新数i，使ii1.(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到ai，bi.(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？提示：得到abi.2归纳总结，核心必记(1)复数的概念及代数表示定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i21.全体复数所成的集合C叫做复数集表示：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部(2)复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.(3)复数的分类复数abi(a，bR)集合表示：问题思考(1)复数mni的实部、虚部一定是m、n吗？提示：不一定只有当mR，nR时，m， n才是该复数的实部、虚部(2)对于复数zabi(a，bR)，它的虚部是b还是bi?提示：虚部为b.(3)复数zabi在什么情况下表示实数？提示：b0.(4)复数集C与实数集R之间有什么关系？提示：RC.(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是0.(6)a0是zabi为纯虚数的充要条件吗？提示：不是因为当a0且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件(7)z132i，z2i，z30.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1>z2?提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为，虚部为；z3的实部为0，虚部为0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1>z2.(8)若(a2)bi>0，则a，b应满足什么条件？提示：要使(a2)bi>0成立，则(a2)bi应为实数，且a2>0，即故课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)复数的定义是什么？；(2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？；(3)复数相等的充要条件是什么？；(4)复数的分类是什么？复数zabi(a，bR)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？.讲一讲1给出下列三个命题：(1)若zC，则z20；(2)2i1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3尝试解答对(1)，当zR时，z20成立，否则不成立，如zi，z21<0，所以(1)为假命题；对(2)，2i112i，其虚部为2，不是2i，(2)为假命题；对(3)，2i02i，其实部是0，(3)为真命题故选B.答案B(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部练一练1下列命题中：若aR，则(a1)i是纯虚数；复数z0的实部和虚部均为0；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；两个虚数不能比较大小其中，正确命题的序号是()A BC D解析：选B在中，若a1，则(a1)i不是纯虚数，故错误；在中，若x1，则(x21)(x23x2)i0为实数，故错误；、正确思考当a，b满足什么条件时，复数zabi(a，bR)是实数、虚数、纯虚数？名师指津：当b0时，abi是实数；当b0时，abi是虚数；当a0，b0时，abi是纯虚数讲一讲2实数x分别取什么值时，复数z(x22x15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数尝试解答(1)当x满足即x5时，z是实数(2)当x满足即x3且x5时，z是虚数(3)当x满足即x2或x3时，z是纯虚数判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解练一练2实数m为何值时，zlg(m22m1)(m23m2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解：(1)若z为实数，则即解得m2.当m2时，z为实数(2)若z是虚数，则即解得m2且m1.当m2且m1时，z为虚数(3)若z为纯虚数，则即即解得m0.当m0时，z为纯虚数思考若复数z1abi，z2cdi(其中a，b，c，dR)，则z1z2的充要条件是什么？名师指津：z1z2ac且bd.讲一讲3根据下列条件，分别求实数x，y的值(1)x2y22xyi2i；(2)(2x1)iy(3y)i.尝试解答(1)x2y22xyi2i，且x，yR，解得或(2)(2x1)iy(3y)i，且x，yR，解得复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解练一练3已知复数zxyi(x，yR)，且x，y满足2xyxi8(1y)i，求复数z.解：2xyxi8(1y)i，且x，yR，即解得z2i.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念2本节课要重点掌握的规律方法(1)由复数的分类求参数，见讲2；(2)复数相等的充要条件的应用，见讲3.3若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分这是本节课的易错点课下能力提升(七)学业水平达标练题组1复数的概念1设全集I复数，R实数，M纯虚数，则()AMRI B(IM)RIC(IM)RR DM(IR)解析：选C根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示所以应有：MRI，(IM)RIM，M(IR)，故A，B，D三项均错，只有C项正确2以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的复数是()A22i B22iCi D.i解析：选A2i的虚部为2，i2i22i，其实部为2，故所求复数为22i.3若复数2bi(bR)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A2 B. C D2解析：选D复数2bi的实部为2，虚部为b，由题意知2(b)，即b2.4下列四个命题：两个复数不能比较大小；若x，yC，则xyi1i的充要条件是xy1；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集相对复数集的补集是虚数集其中是真命题的有_(填序号)解析：中当这两个复数都是实数时，可以比较大小故不正确；由于x，y都是复数，故xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件故不正确；若a0，则ai不是纯虚数，即实数集中的0在纯虚数集中没有对应元素，故不正确；由实数集、虚数集、复数集之间的关系知正确答案：题组2复数的分类5在2，i,0,85i，(1)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选Ci，(1)i是纯虚数，2，0,0.618是实数，85i是虚数6若复数zm21(m2m2)i为实数，则实数m的值为()A1 B2 C1 D1或2解析：选D复数zm21(m2m2)i为实数，m2m20，解得m1或m2.7若复数(a23a2)(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A1 B2C1或2 D1解析：选B根据复数的分类知，需满足解得即a2.8已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数解：(1)要使z为实数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m3.(2)要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义即m10，解得m1且m3.(3)要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.题组3复数相等的充要条件9若43aa2ia24ai，则实数a的值为()A1 B1或4C4 D0或4解析：选C易知解得a4.10已知(3xy)(2xy)i(7x5y)3i，则实数x_，y_.解析：x，y是实数，根据两个复数相等的充要条件，可得解得答案：能力提升综合练1若复数z(m2)(m29)i(mR)是正实数，则实数m的值为()A2 B3 C3 D3解析：选B依题意应有解得m3.2若(73x)3yi2y2(x2)i(x，yR)，则x，y的值分别为()A1,2 B2,1C1,2 D2,1解析：选A(73x)3yi2y2(x2)i即x，y的值分别为 1,2.3已知M1,2，m23m1(m25m6)i，N1,3，MN3，则实数m的值为()A1或6 B1或4C1 D4解析：选C由MN3，知m23m1(m25m6)i3，解得m1.4已知z14a1(2a23a)i，z22a(a2a)i，其中aR，z1>z2，则a的值为()A0 B1 C D.解析：选A由z1>z2，得即解得a0.5若log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，则实数m_.解析：因为log2(m23m3)ilog2(m2)为纯虚数，所以所以m4.答案：46若log2(x23x2)ilog2(x22x1)>1，则实数x的值(或取值范围)是_解析：由题意知解得x2.答案：27已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值解：设(x0，y0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的充要条件得由得代入得8已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1,1,4i，若MPP，求实数m的值解：MPP，MP，即(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知m1或m2.第2课时复数的几何意义核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P52P53的内容，回答下列问题(1)根据复数相等的定义，复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)之间有什么对应关系？提示：一一对应关系(2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应关系(3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？提示：一一对应关系2归纳总结，核心必记(1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义复数zabi(a，bR)一一对应复平面内的点Z(a，b)；复数zabi(a，bR)一一对应平面向量.(3)复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|abi|，且|z|.问题思考(1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i.(2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？提示：是(3)若复数(a1)(a1)i(aR)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？提示：a满足即1<a<1.(4)若复数z的实部为1，虚部为2，则|z|为何值？提示：|a|.课前反思(1)复平面的定义是什么？什么是实轴、虚轴？；(2)复数的几何意义是什么？；(3)复数模的定义是什么？.思考如何判断复数zabi(a，bR)在复平面内所对应的点的位置？名师指津：复数zabi(a，bR)与复平面内的点(a，b)对应，根据a，b的符号判断点(a，b)所在象限或坐标轴即可讲一讲1实数x取什么值时，复平面内表示复数zx2x6(x22x15)i的点Z(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线xy30上尝试解答因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即3<x<2时，点Z位于第三象限(2)当实数x满足即2<x<5时，点Z位于第四象限(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即3x60，x2时，点Z位于直线xy30上(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解练一练1实数m取什么值时，复平面内表示复数z(m25m6)(m22m15)i的点(1)位于x轴上方；(2)位于直线yx上解：(1)由m22m15>0，得m<3或m>5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方(2)由m25m6m22m15，得m3，此时z在复平面内对应的点位于直线yx上 思考与复数zabi(a，bR)对应的平面向量是什么？名师指津：与复数zabi(a，bR)对应的平面向量(a， b)讲一讲2(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是()A55i B55iC55i D55i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.求向量，对应的复数；若ABCD为平行四边形，求D对应的复数尝试解答(1)向量，对应的复数分别为23i，32i，根据复数的几何意义，可得向量(2，3)，(3,2)由向量减法的坐标运算可得向量(23，32)(5，5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是55i.(2)设O为坐标原点，由复数的几何意义知：(1,0)，(2,1)，(1,2)，所以(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以，对应的复数分别为1i，22i，3i.因为ABCD为平行四边形，所以(3,1)，(1,0)(3,1)(2,1)所以D对应的复数为2i.答案(1)B(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化练一练2在复平面内，O是原点，若向量对应的复数z的实部为3，且|3，如果点A关于原点的对称点为点B，求向量对应的复数解：根据题意设复数z3bi(bR)，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得(3，b)，已知|3，即3，解得b0，故z3，点A的坐标为(3,0)因此，点A关于原点的对称点为B(3,0)，所以向量对应的复数为z3.思考复数zabi(a，bR)的模是什么？其模的几何意义是什么？名师指津：复数zabi的模|z|，其几何意义是点(a，b)到坐标原点的距离讲一讲3已知复数z1i，z2i.(1)求|z1|及|z2|并比较大小；(2)设zC，满足条件|z|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？尝试解答(1)|z1|i|2，|z2|1，所以|z1|>|z2|.(2)法一：设zxyi(x，yR)，则点Z的坐标为(x，y)由|z|z1|2得 2，即x2y24.所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆法二：由|z|z1|2知|OZ|2(O为坐标原点)，所以Z到原点的距离为2.所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小(2)根据复数模的计算公式|abi|可把复数模的问题转化为实数问题解决(3)根据复数模的定义|z|OZ|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决练一练3已知复数z3ai，且|z|<4，求实数a的取值范围解：因为z3ai(aR)，所以|z|，由已知得32a2<42，所以a2<7，所以a(，)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)复数与复平面内点的对应关系，见讲1；(2)复数与平面向量的对应关系，见讲2；(3)复数模的计算及应用，见讲3.课下能力提升(八)学业水平达标练题组1复数与复平面内点的对应关系1在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i解析：选C复数65i对应A点坐标为(6,5)，23i对应B点坐标为(2,3)由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为24i，故选C.2在复平面内，复数zsin 2icos 2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D<2<，sin 2>0，cos 2<0.故zsin 2icos 2对应的点位于第四象限3复数zx2(3x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是_解析：复数z在复平面内对应的点在第四象限，解得x>3.答案：(3，)4设zlog2(1m)ilog(3m)(mR)(1)若z在复平面内对应的点位于第三象限，求m的取值范围；(2)若z在复平面内对应的点在直线xy10上，求m的值解：(1)由已知，得即解得1<m<0，m的取值范围是(1,0)(2)由已知得，点(log2(1m)，log(3m)在直线xy10上，即log2(1m)log(3m)10，log2(1m)(3m)1，(1m)(3m)2，m22m10，m1，且当m1时都能使1m>0，且3m>0，m1.题组2复数与平面向量的对应关系5向量对应的复数为z132i，对应的复数z21i，则|为()A. B. C2 D.解析：选A因为向量对应的复数为z132i，对应的复数为z21i，所以(3,2)，(1，1)，则(2,1)，所以|.6向量(，1)按逆时针方向旋转60所对应的复数为()Ai B2iC1i D1i解析：选B向量(，1)，设其方向与x轴正方向夹角为，tan ，则30，按逆时针旋转60后与x轴正方向夹角为90，又| |2，故旋转后对应的复数为2i，故选B.7在复平面内，O是原点，已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别是A，B，C，若xy (x，yR)，求xy的值解：由已知，得(1,2)，(1，1)，(3，2)，所以xyx(1,2)y(1，1)(xy,2xy)由xy，可得解得所以xy5.题组3复数模的计算及应用8已知复数z3i，则复数的模|z|是()A5 B8 C6 D.解析：选D|z|.9已知0<a<2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是_解析：|z|，而0<a<2，1<a21<5，1<|z|<.答案：(1，)10已知复数z满足z|z|28i，求复数z.解：设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得，abi28i，解得z158i.能力提升综合练1若<m<2，则复数z(2m2)(3m7)i在复平面上对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D<m<2，2m2>0,3m7<0.复数z(2m2)(3m7)i在复平面上对应的点位于第四象限2复数z1a2i，z22i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()A(1,1) B(1，)C(0，) D(，1)(1，)解析：选A|z1|，|z2|，<，1<a<1.3已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是，则z为()A2i B2iC.2i D.2i解析：选A设zxyi(x，yR)，则x，由|z|3，得()2y29，即y24，y2.复数z对应的点在第二象限，y2.z2i.4已知复数z满足|z|22|z|30，则复数z对应点的轨迹为()A一个圆 B线段C两点 D两个圆解析：选A|z|22|z|30，(|z|3)(|z|1)0，|z|3，表示一个圆，故选A.5复数z1cos isin (<<2)的模的取值范围为_解析：|z|，<<2，1<cos <1.0<22cos <4.|z|(0,2)答案：(0,2)6已知z|z|1i，则复数z_.解析：法一：设zxyi(x，yR)，由题意，得xyi1i，即(x)yi1i.根据复数相等的充要条件，得解得zi.法二：由已知可得z(|z|1)i，等式两边取模，得|z|.两边平方，得|z|2|z|22|z|11|z|1.把|z|1代入原方程，可得zi.答案：i7在复平面内画出复数z1i，z21，z3i对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(1,0)，则向量如图所示|z1|1，|z2|1|1，|z3|1，如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上8已知复数z2cos (1sin )i(R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线解：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2cos21可得(x2)2(y1)21.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆