2022年概率论试题与答案 .pdf

一、填空题： ( 每题 4 分，共 24 分) 1 已知 事件A与B相互 独立 ，()0.4PA，()0.7PAB，则 概率()P B A为。2某次考试中有 4 个单选选择题，每题有4 个答案，某考生完全不懂，只能在4个选项中随机选择1个答案， 则该考生至少能答对两题的概率为，3若有(0,1)N，=21，则N（，）4若随机变量X服从参数为的泊松分布，且DXEX4,则参数5设连续型随机变量的概率密度为2(1)01()0 xxfx其 他，且2，则的概率密度为。6设总体2(,)XN的分布，当已知，12,nXXX为来自总体的样本，则统计量niiX12)(服从分布。二、选择题： ( 每小题 4 分，共 20 分) 1. 设事件,A B C是三个事件，作为恒等式，正确的是（） A.()ABCABCB B.ABCA B CC.()ABAB D.()()()AB CACBC 2.n张奖券有m张有奖的，k个人购买，每人一张，其中至少有一人中奖的概率是（） 。A.11kmnmknC CC B. knmCC. knkmnCC1 D. 1rnmkrnCC3. 设EX，2DX，则由切比雪夫不等式知(4)PX（）A.1416 B. 1516 C. 15 D. 16154. 如果随机向量),(的联合分布表为：-1 0 2 1 0.10 0.35 0.10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2 0.20 0.20 0.05 则协方差),cov(=（）A.-0.2 B. 0.1 C.0 D. 0.1 5. 设总体2(,)N， （12,nXXX）是的简单随机样本，则为使1211?()niiiCXX为2的无偏估计，常数C应为( ) A. 1n B. 11n C. 12(1)n D. 12n三、计算题：待用数据（0.9750.9750.950.95(35)2.0301,(36)2.0281,(35)1.6896,(36)1.6883tttt，8413.0)1(,9772.0)2(975.0)96.1(,95.0)645.1(）1三个人同时射击树上的一只鸟，设他们各自射中的概率分别为0.5，0.6，0.7。若无人射中鸟不会坠地； 只有一人射中的鸟坠地的概率为0.2；两人射中的鸟坠地的概率为0.6；三人射中的鸟一定坠地的；(1) 当三个人同时向鸟射击实，问分别有一人、两人、三人射中鸟的概率？(2)三人同时向鸟射击一次 ,求鸟坠地的概率？2已知随机变量的概率密度为()xxAe，x求： （1）系数A； （2）求概率(01)P;(3)的分布函数。3已知随机变量(,)XY的概率密度(34)0,012( ,)0 xyxyefx y其 他求(1)二维随机变量(,)X Y的边缘概率密度 ; (2)X的概率密度。4设总体,0U，待定参数0。12,nXXX是来自总体的样本。 (1)求的极大似然估计；（2）求的矩估计?； （3）证明：矩估计量?为参数的无偏估计。（14分）5（共 10 分）某中学入学考试中，设考生的数学考试成绩服从正态分布，从中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 任取 36 位考生的成绩，其平均成绩为66.5 分，标准差为 15分。(1) 问在 0.05的显著性水平下，是否认为全体考生的数学平均成绩为70 分？(2)给出全体考生的数学平均成绩在置信水平为0.95下的置信区间。答案一 10.5 ；2. 25667； 3 . （-1， 4） ；4. 2; 5. 其他，,0, 10,11)(yyyp6. 2()n. 二1. B; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C. 三1 解：设iAi第 个 人 射 中 ， （ i=1,2,3），由题意知123()0.5,()0.6;()0.7PAP APA（1）又设 B0=三人都射不中 ；B1=一人射中 ；B2=恰有两人射中 ；B3=三人同时射中 ，C=鸟坠地 0123()0,()0.2,()0.6,()1,P C BP C BP C BP C B0()0.06,P B1()0.29,P B2()0.44,P B3()0.21P B（2）由全概公式30()()()02.53(2iiiP CP BP C B分 ）2解： （1）由于()1xX dxAedx021xAedx故12A（2）(01)P11100111()221211xxeedxe（ 分 ）（ 分 ）（ 分 ）（3）0110122()111210 222222xxxxxxxxxxe dxexFxedxe dxedxex（分 ）（ 分 ）（分 ）3 （1）(34)300123()(,11)01xyxxxedyefxfx y dy（ 分 ）（ 分 ）（ 分 ）其 他名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - ( 34)400124()(,1101)xyyyyedxefxfx y dy其 他（ 分 ）（ 分 ）（ 分 ）(4)00,0()(,)12,022zzxzfzfx zx dxedxz（分 ）（分 ）0,12120,043zeezzz4似然函数为nL1)(，ln)(lnnL令0)(lnndLd解得iniX1max?（2） 因为2EX，故矩估计量得X2?niniinEXnXEE112222?。5 解 ： （ 1） 设 考 生 的 数 学 考 试 成 绩 作 为 总 体2(,)XN, 由 题 意 知6 6 . 5 ,1 5XS。01:70,:70.HH构造统计量XTSn且4.13615|705.66| T而0.97512(1)(35)2.0301tnt，即12(1)Ttn故可以认为这次全体考生的数学平均成绩为70分。（2）因为XTSn(1)t n故查表满足12(1)1XPtnSn的临界值得到置信水平为0.95 的区间111122(1),(1)nnSSXtnXtnnn即区间57525.71,42475.61。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 一、 填空题（共 20 分，每小题 4 分）1. 设事件,A B仅发生一个的概率为0.3, 且()()0.5,PAP B则,A B至少有一个发生的概率为。2.设离散型随机变量X的分布函数为022()23513xFxxx则X的分布律为3. 设随机变量X服从参数为3的泊松分布，用切比雪夫不等式估计得到(|3 |4)PX。4. 若随机变量1, 6U, 则方程210 xx有实根的概率为。5. 设1234,XXXX是来自正态总体)4,0(N的一个简单随机样本，则当a ,b ,时统计量221234(2)(34)Xa XXbXX服从2分布。二、 选择题（共 20 分，每小题 4 分）1若对任意的随机变量X，EX存在，则)(EXEE等于（） 。A0 BX CEX D2)(EX2 设A和B是任两个概率不为0 的不相容事件， 则下列结论中肯定正确的是 （ ）（A）A和B不相容（B）A和B相容（C）()()()P ABP A P B（D）()()P ABP A3. 设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球， 取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（） 。A22)(babB)1)()1(bababbC11babD)(bab4. 在下列函数中，可以作为随机变量的概率密度函数的是（） A. 2,01()0,xxfx其 他B2,01( )0,xxfx其 他名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - Ccos,0()0,xxfx其 他D2,0( )0,0 xexfxx5若21),5,2(),3(,YXNYPX,且22YXZ，则 DZ=( ) A158B1528C1513D15223三、 计算证明题( 共 60分 ) 1（10分） 设有 2 台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率为0.03 ，第二台机床出废品的概率为0.06 ，加工出来的零件混放在一起，并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。（1） 求任取一个零件是废品的概率（2） 若任取的一个零件经检查后发现是废品，则它是第二台机床加工的概率。2（14分）若 D是以点（ 0，0） ， （-1，1） ， （1，1）为顶点的三角形内部区域，二维随机变量（,XY）在区域 D内服从均匀分布（1） 求出（,XY）的联合概率密度函数（4分）（2）1()2P Yx（4 分）（3） 求ZXY概率密度的函数（6 分）3（12 分）假设生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线每件产品的组装时间平均为5 分钟， 各件产品的组装时间彼此独立。试用中心极限定理求：（1） 组装 100 件产品需要 6 到 10 小时的概率；（6 分）（2） 以 95% 的概率在 8 个小时之内最多可以组装多少件产品？（6 分）(9974.0)8.2(,(1)0.8413,(2)0.9772,(1.65)0.95,(3)0.9987 )4设总体X的概率密度为其他，01011),(12xxxf其中1是未知参数，),(21nxxx是总体X的样本观测值，求：(1) 的矩估计（4 分）(2) 的极大似然估计L，并问L是的无偏估计吗？ 请说明理由。 （8 分）5（12 分）机器自动包装某食品，设每袋食品的净重服从正态分布，规定名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 每袋食品的标准质量为500g。某天开工后，为了检查机器是否正常工作，从包装好的食品中随机抽取9 袋检查，测得净重为497, 507, 510, 475, 488, 524, 491, 515, 512 在下列两种情况下检验包装机是否工作正常（显著性水平为0.05） 。(1)若2未知，该选用什么统计量，什么分布？(2)若2=16，通过 Excel 计算得到以下表格，问判断包装机是否工作正常。z-检验 : 双样本均值分析变量1变量2平均502.1111111500已知协方差161E-11观测值91假设平均差0Z1.583333333P(Z=z) 单尾0.056672755z 单尾临界1.644853627P(Z=0.05p, 不拒绝0H(或则，z=1.5833333331.959963985即观测值落在接受域不拒绝0H）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 一. 填空题（共 20 分，每空格 4 分）1. 设事件 A,B 相互独立，且5.0)(,2.0)(BPAP，则)(BABP2. 设随机变量的分布函数为 F(x) ，则18的分布函数为3. 设是,上均匀分布的随机变量，cos;sin，求,的相关系数r =4设随机变量的期望E与方差D都等于，又3)4)(3(E，则5. 设离散型随机变量的分布函数为010107.0100)(xxxxF则的分布律为。二、选择题（共 16 分，每小题 4 分）1设总体),(2N，（nXXX,21）是的样本，niiXnX11是的样本均值，以下 ( )是总体方差2的无偏估计 . A2121XXnnii B21211XnnXnniiC21211XXnnii D212111XnnXnnii2设),5(),1 ,0(2N,相互独立 , 则5（）A.t(4) B.t(5) C.F(2) D.)5(23. 设X),(2N，Y)(E，则不正确的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - A 1)(YXE B221)(YXD C 222222)(YXE D 222EX，222EY4. 设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球， 取后不放回，从中取两次，则第二次取出黑球的概率为（） 。A)(baa B11baa C)1)()1(babaaa D22)(baa三、判断题（共 4 分，每小题 2 分。对，错）1.( ) 设X)1,0(N，则21)0()0(XPXP2.( ) 未知参数的置信水平为1的置信区间是唯一的四、 （共 10 分）如果 A、B、C 两两独立，且ABC=1.如果 P(A)=P(B)=P(C)=y, 计算()P ABC，并求 y 的最大值2.如果 P(A)=P(B)=P(C ） 21,且169)(CBAP,求 P(C) 五、（共 10 分）一台机器制造直径为的轴，另一台机器制造内径为的轴套，设,的密度函数为2500,0.490.51; 0.510.53(,)0,xyp x y其 它(1) 求的概率密度函数(2) 如果轴套内径比轴的直径大于0.004, 但不大于 0.036, 二者能配合成套，现随机选取，问二者配合成套的概率？六、（共 10 分）设二维随机变量),(的联合密度为其它,00,0,),(43yxkeyxpyx1. 求常数k? 2. 求相应的分布函数？3. 求(01, 02)P?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 七、（共 10 分）如果在 1500 件产品中有 100件不合格品，从中任意抽取15 件进行检查，求从中查出的不合格品数的数学期望？八、（共 10 分）为检验饮用水合格率，随机抽取50 升，化验每升水中 A种细菌的个数（一升水中 A细菌的个数服从poisson 分布）化验结果如下A细菌的个数 / 升0 1 2 3 4 5 6 升数17 20 10 2 1 0 0 平均每升水中 A 细菌的个数为多少才能使出现上述情况的概率为最大（用极大似然估计的方法）？九、（共 10 分）如下是某厂随机选取的20 只配件装配时间（分）9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.2 10.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7 设装配时间总体服从正态分布22(,),N m sm s均未知。 是否可以认为装配时间的均值m显著大于 10？（取0.05a =）备查的临界值通过 Excel 计算得到以下表格：列 1平均10.2标准误差0.114017543中位数10.15众数9.6标准差0.509901951方差0.26峰度-0.817841244偏度0.521388375区域1.6最小值9.6最大值11.2求和204观测数20答案：一14/9；2. )81(yF; 3. 0; 4. 3; 5. 7.0)10(P,3.0)0(P975.0)20(975.0t)19(95.0t95.0196 2086 17291 16449 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 二D， B， B， A 三 对，错四(1)由于 A、B、C 两两独立 ,则满足222()()(),()()(),()()(),PABPA PByP BCP B P CyPACP A P Cy又ABC则()0PABC, 2()()()()()2000.5PABCP APABPACP ABCyyy,故 y 的最大值为0.5. (2) 2()()()()()()()()93()3()()0.25,16P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABCP CP CP C而另外的一个解()0.750.5P C舍去 . 五 解：(1) ()()(,)yxzFzPzpx y dxdy当0z时，()0Fz；当00.02z时，0.510.5120.510.510.51()(,)25002500(0.51)1250zxzzyxzFzp x y dxdydxdyzxdxz当0.020.04z时，0.530.510.530.490.510.530.510.530.49()(,)250025002500(0.51)25000.02(0.04)1250(0.04)zzxzyxzzFzp x y dxdydxdydxdyzxdxzzz当0.04z时，()1Fz的概率密度函数2500,00.02( )502500,0.020.040,zzp zzz其 他名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 0.0360.020.0360.0040.0040.0222(0.0040.036)( )2500(502500)(0.02)(0.004)25000.96Pp z dzzdzz dzhx时3400340034(,)1212(1)(1)xytsxytstsFx yedtdsedtedsee-=-蝌蝌（3）(01, 02)P3811(1, 2)(0, 2)(1, 0)(0, 0)1FFFFeee-=-+=-+七 解：设11 2150iiiih?=? ?第 个 产 品 为 不 合 格，第 个 产 品 为 合 格则ih的分布律为故115iE h =。设x为查得的不合个品数，则1niixh=?Ex=1。八 解：设一升水中A细菌的个数 Pxl（）分布ih1 0 p 1151415名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 故0 1ePkkllx-=k（=k） =， ， ，！又E xl=，故求l的极大似然估计似然函数1iixnniiieeLxxlllll-=?=?ixni=1（） =！两边取对数，对l求导，令其为 0 解1lx=九 解：0110HHmm：，：10 构造 T 统计量10/xttsna-=（ n-1 ）n=20,查得0.050.05(201)(19)1.7291tt-=. 算得10.2,0.5099xs=知的 T 统计量观测值为10.2101.7540.5099 /20t-=1.7291 故拒绝0H.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -