2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 疑难规律方法 .docx

www.ks5u.com1直线与方程要点精析一、直线的倾斜角x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，直线的倾斜角的取值范围为0<180.解读(1)直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线这样定义可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角(2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到与直线重合时所转过的角(3)不同的直线可以有相同的倾斜角(4)直线的倾斜角直观地描述了直线相对x轴正方向的倾斜程度二、直线的斜率我们把直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率即ktan .经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.解读(1)斜率坐标公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后顺序可以同时颠倒(2)所有的直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，但并不是说该直线不存在，而此时直线垂直于x轴(3)斜率和倾斜角都是反映直线相对于x轴正向的倾斜程度的，通常情况下求斜率比求倾斜角方便(4)当x1x2，y1y2时直线没有斜率三、两条直线平行的判定对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2k1k2.解读(1)利用上述公式判定两条直线平行的前提条件有两个，一是两条直线不重合，二是两条直线的斜率都存在(2)当两条直线的斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90，此时也有l1l2.四、两条直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直，即l1l2k1k21.解读(1)利用上述公式判定两条直线垂直的前提条件是两条直线都有斜率(2)两条直线中，若一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线也垂直.2直线方程中的“缺陷”一、斜截式中斜率“缺陷”例1已知直线方程为3xmy60，求此直线的斜率与此直线在y轴上的截距错解由3xmy60，得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.剖析忘记讨论当m0时，直线的斜率并不存在正解当m0时，直线可化为x2，此时直线的斜率不存在，在y轴上的截距也不存在；当m0时，可得my3x6，即直线的斜截式方程为yx，得出此直线的斜率为，在y轴上的截距为.评注在直线的斜截式方程ykxb中，非常直观地表示了该直线的斜率为k，在y轴上的截距为b.研究直线的斜率与在y轴上的截距问题，需要将一般式方程转化为直线的斜截式方程来处理但要注意当y的系数含有参数时要分系数为0和系数不为0两种情况进行讨论二、两点式中分式“缺陷”例2已知直线l过点A(1,2)，B(a,3)，求直线l的方程错解由两点式，得直线l的方程为.剖析忽视了a1，即直线与x轴垂直的情况，若a1，则不成立正解当a1时，直线l的方程为x1；当a1时，直线l的方程为.综上所述，知直线l的方程为x(a1)(y2)10.评注一般地，过P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点的直线方程，不能写成，而应写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0.三、截距式中截距“缺陷”例3求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程错解设直线的方程为1.因为直线过点(2,4)，所以1.解得a2.故所求的直线方程为1，即xy20.剖析直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解正解当直线的截距均不为0时，同错解；当直线的截距均为0时，直线过原点，此时直线的斜率为k2，直线的方程为y2x，即2xy0.故所求的直线方程为2xy0或xy20评注事实上，当题中出现“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m(m>0)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程，都要考虑“截距为0”的情况四、一般式中系数“缺陷”例4如果直线(m1)x(m24m3)y(m1)0的斜率不存在，求m的值错解因为直线的斜率不存在，所以m24m30.解得m3或m1.所以当m3或m1时，直线的斜率不存在剖析由于方程AxByC0表示直线，本身隐含着(A，B不同时为0)这一条件当m1时，方程(m1)x(m24m3)y(m1)0即为0x0y0，它不表示直线，应舍去正解因为直线的斜率不存在，所以m24m30，且m10.解得m3.所以当m3时，直线的斜率不存在评注方程AxByC0(A，B不同时为0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线3掌握两条直线的位置关系三个突破口在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型下面举例说明题型一根据直线平行、垂直求参数值的问题给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的取值例1已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.试求m为何值时，l1与l2：(1)平行；(2)垂直分析(1)由“两直线axbyc0与mxnyd0平行且”或“两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比”，通过解方程求出m的值；(2)由“两直线axbyc0与mxnyd0垂直()()1”即可求解解(1)若l1l2，则且，解得m1.所以当m1时，l1l2.(2)若l1l2，则()()1，解得m.所以当m时，l1l2.评注如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点利用此法只需把直线方程化为一般式即可题型二有关直线相交的问题有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交例2若直线5x4y2m10与直线2x3ym0的交点在第四象限，求实数m的取值范围分析可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标由于交点在第四象限，所以交点的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而可求出m的取值范围解根据题意，由可得这两条直线的交点坐标为(，)因为交点在第四象限，所以解得<m<2.所以实数m的取值范围是(，2)评注本题考查直线交点的求法，又由于交点在第四象限，因此又考查了解不等式的能力题型三有关距离的问题在平面直角坐标系中，与直线有关的距离问题主要有两类：(1)点到直线的距离；(2)两平行线间的距离这两类距离可由相应的距离公式求得：其中点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式是d(应用此公式时应注意把直线方程化为一般式方程)；两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20的距离为d(应用此公式应注意两点：(1)把直线方程化为一般式方程；(2)使x，y的系数分别对应相等)例3求两平行线l1：2x3y80，l2：4x6y10的距离分析用上述平行线距离公式时，首先需要把两直线方程中的x，y的系数化为分别对应相等，然后用公式可求出距离解把l1：2x3y80变形为l1：4x6y160.利用公式，可得l1与l2的距离为d.4直线系方程的类型及应用在求直线方程的时候，要利用两直线的斜率关系，或利用两直线的交点坐标，通过解方程的途径来获解而在一些有关平行或垂直的问题，或是过有关两已知直线交点的问题中，利用相应的直线系方程，能简化解题过程，提高解题效率一、直线系方程的类型1平行直线系：与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10(CC1)2垂直直线系：与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10.3交点直线系：若直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20交于点P，则过交点P的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线l2)4过定点P(a，b)的直线系方程可设为m(xa)(yb)0(m为参数)二、直线系方程的应用1平行或垂直的直线系方程的应用例1已知正方形的中心为G(1,0)，一边所在的直线方程为x3y50，求其他三边所在的直线方程解正方形的中心G到已知边的距离为d.设正方形与已知直线平行的一边所在的直线方程为x3yc0，则d，解得c7或c5(舍去)故所求一边的直线方程为x3y70.又由于正方形另两边所在的直线与已知直线垂直，故设另两边所在的直线方程为3xym0.则d，解得m19或m23.因此正方形另两边所在的直线方程为3xy90或3xy30.综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为x3y70,3xy90,3xy30.评注利用平行或垂直的直线系，可免去求斜率的麻烦，直接套用公式即可在运用直线系方程时，要注意通过图形的几何性质，得出所设方程的参数2过交点的直线系方程的应用例2在平面直角坐标系中，ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c,0)，设P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F，一同学已正确求得OE的方程为xy0，求直线OF的方程解由截距式可得直线AB：1，直线CP：1，点F为直线AB与直线CP的交点，故过F点的直线系方程可设为l：10.又直线l过原点(0,0)，代入方程得1，故所求直线OF的方程为xy0.评注本例通过设出过交点的直线系方程，简化了求交点的烦琐过程，大题小做，直观简洁3过定点的直线系方程的应用例3已知直线(a2)y(3a1)x1，若直线不过第二象限，求实数a的取值范围解直线方程化为(3xy)a(x2y1)0.由得即无论a为何实数，直线总过定点P.设直线的斜率为k，直线OP的斜率为kOP.由图象可知，当直线的斜率k满足kkOP时，直线与y轴的交点不会在原点的上方，即直线不经过第二象限故由kkOP，解得a(2，)又当a2时满足题意，故实数a的取值范围是2，)评注过定点的直线系的特征是直线方程中有一个参数本例通过直线过定点P，运用数形结合的思想，只考虑直线斜率满足的条件将问题巧妙转化解出5活用两点间的距离公式已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则该两点之间的距离可表示为|AB|.两点间的距离公式是整个解析几何中几个最重要的公式之一，是平面解析几何的基础，在数学学习与生产生活中都有着广泛的应用因此应熟练掌握公式并且灵活运用一、判断三角形的形状例1已知ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(1,3)，C(3,0)求证：ABC是直角三角形分析求出每两个点之间的距离，用勾股定理验证证明|AB|2，即|AB|2，|AB|220，同理|AC|25，|BC|225.|AB|2|AC|2|BC|2，ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形评注在顶点坐标已知的情况下欲判断三角形是直角三角形，只需要求出边长再用勾股定理验证即可二、求点的坐标例2已知点A(3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P使得|PA|PB|，并求出|PA|的值分析由于点P在x轴上，可设P(x,0)，再利用条件|PA|PB|即可解决解设P(x,0)，则有|PA|，|PB|.由|PA|PB|，可得，解得x，从而得P，且|PA|.评注应熟练掌握在坐标轴上的点的坐标的设法三、证明三点共线问题例3已知A(1，1)，B(3,3)，C(4,5)三点，求证：这三点在同一条直线上分析要证A，B，C三点在同一条直线上，可通过几何方法进行证明而在直角坐标系中解决此类问题，可能会更简单一些，只需证|AC|AB|BC|即可，要确定|AC|，|AB|，|BC|的长，只需利用两点间的距离公式即可证明|AB|2，|BC|，|AC|3.|AB|BC|3，|AC|3，|AB|BC|AC|，即A，B，C三点共线评注在平面直角坐标系中证明几何问题时，应注意图形的特点，充分运用两点间的距离公式进行运算，从而解决问题四、证明平面几何问题例4如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，试用坐标法证明：|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.分析要想用坐标法证明几何问题，首先必须建立平面直角坐标系，确定各点的坐标，利用两点间的距离公式进行计算在建立平面直角坐标系时，要注意图形的特点，使建系后点的坐标表示尽量简便证明建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x，y)，C(x1，y1)，则A(0,0)，B(x1,0)，D(0，y1)，|AM|，|BM|，|CM|，|DM|.|AM|2|CM|2x2y2(xx1)2(yy1)2，|BM|2|DM|2x2y2(xx1)2(yy1)2，|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2.即如果四边形ABCD是长方形，则对任一点M，等式|AM|2|CM|2|BM|2|DM|2都成立评注用坐标法证明几何问题时，首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数法进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系6圆的两种方程的区别与联系圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；而二次方程x2y2DxEyF0，当D2E24F>0时，表示圆心为，半径r的圆，叫做圆的一般方程二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a、b、r(或D、E、F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点：一、二者确定圆的条件不同例1圆心P在直线yx上，且与直线x2y10相切的圆，截y轴所得的弦长|AB|2，求此圆的方程解圆心P在直线yx上，可设P的坐标为(k，k)，设圆的方程为(xk)2(yk)2r2(r>0)作PQAB于Q，连接AP，在RtAPQ中，AQ1，APr，PQk，r.又r，整理得2k23k20，解得k2或k.当k2时，圆的半径为r，故圆的方程为(x2)2(y2)25.当k时，圆的半径为r，故圆的方程为22.因此所求圆的方程为(x2)2(y2)25或22.例2已知ABC的各顶点坐标为A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆的方程分析可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程解设过A、B、C三点的圆的方程是x2y2DxEyF0，将A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)代入可得，解得D4，E2，F20，其外接圆的方程为x2y24x2y200.评注圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单二、二者的应用方面不同例3若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线yx(x0)相切，求这个圆的方程分析利用“半径为1的圆与y轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口解由题意知圆心的横坐标及半径为1，设圆心纵坐标为b，则圆的方程为(x1)2(yb)21，圆与射线yx(x0)相切，1，解得b，圆的方程为(x1)2(y)21.评注圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用7探究圆的切线探究1已知点M(x0，y0)是圆x2y2r2上一点，l是过点M的圆的切线，求直线l的方程解设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则OMMP.kOMkMP1，即1.整理，得x0xy0yxy.xyr2，切线l的方程为x0xy0yr2.当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用结论1过圆x2y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.探究2求过圆C：(xa)2(yb)2r2上一点M(x0，y0)的切线l的方程解设点P(x，y)是切线l上的任意一点，则CMMP.kCMkMP1，即1.整理，得(x0a)(xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y0b)2.(x0a)2(y0b)2r2，切线l的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.当点M在直线xa和yb上时，可以验证上述方程同样适用结论2过圆(xa)2(yb)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.探究3求过圆C：x2y2DxEyF0上一点M(x0，y0)的切线l的方程解把圆C：x2y2DxEyF0化为标准方程，得22(D2E24F)由结论2可知切线l的方程为(x)(y)(D2E24F)整理，得x0xy0yDEF0.切线l的方程为x0xy0yDEF0.结论3过圆x2y2DxEyF0上一点M(x0，y0)的切线l的方程为x0xy0yDEF0.8圆弦长的求法一、利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|.例1求过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长解设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为yx.解方程组得或|AB| 2.评注解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法二、利用勾股定理若弦心距为d，圆的半径为r，则弦长|AB|2.例2求直线x2y0被圆x2y26x2y150所截得的弦长|AB|.解把圆x2y26x2y150化为标准方程为(x3)2(y1)225，所以其圆心为(3,1)，半径r5.因为圆心(3,1)到直线x2y0的距离d，所以弦长|AB|24.三、利用弦长公式若直线l的斜率为k，与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|x1x2|.例3求直线2xy20被圆(x3)2y29所截得的弦长|AB|.解设直线与圆相交时的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，整理，得5x214x40.则x1x2，x1x2.|AB|.评注通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y(或x)转化为关于x(或y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解9圆与圆相交的三巧用圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相交时求公切线的条数一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程例1已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_分析求两个圆的相交弦所在的直线问题，如果先求出这两个圆的交点，然后再求出AB的直线方程，则运算量大，而且易出错，因此可通过将两个圆方程的二次变量消去，得到二元一次方程即为所求解析两圆方程作差，得x3y0.答案x3y0评注求两圆的公共弦所在的直线方程，只需将两圆作差即可二、圆与圆相交，求公共弦的垂直平分线方程例2圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是_分析关于两圆公共弦的垂直平分线方程问题，关键是要善于将AB的垂直平分线问题转化为两个圆的圆心连线所在的直线问题解析由平面几何知识，知AB的垂直平分线就是两圆的圆心连线，即求过(2，3)与(3,0)两点的直线的方程可求得直线的方程为3xy90.答案3xy90评注通过将问题转化，不但可简化运算的程序，而且有利于更好地掌握两个圆的位置关系三、求圆与圆相交时公切线的条数问题例3已知圆A：(x1)2(y1)24，圆B：(x2)2(y2)29，则圆A和圆B的公切线有_条分析判断两个圆的公切线有多少条，关键是判断两个圆的位置关系，通过确定两个圆的位置关系就可判断两个圆的公切线的条数解析因为圆心距|AB|，R3，r2，且Rr325，Rr321，所以有Rr<|AB|<Rr，即两圆相交所以两圆的公切线有两条答案2评注判断两个圆的位置关系时，除了考虑两个圆的半径之和与两个圆的圆心距外，还要考虑两个圆的半径之差与两个圆的圆心距10与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题例1圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差为_分析利用数形结合法求出最大距离与最小距离后再作差解析由x2y24x4y100配方得(x2)2(y2)218，即圆心为C(2,2)，半径r3，则圆心到直线的距离d5，所以圆上的点到直线的最大距离为dr8，最小距离为dr2，则圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为826.答案6评注一般地，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r(r<d)，则圆上的点到直线的距离的最大值、最小值分别为dr和dr.例2在RtABC中，C90，AC8，BC6，P是ABC内切圆上的动点，试求点P到ABC的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值分析以C点为坐标原点建立坐标系，设出定点和动点坐标，建立函数关系，然后转化为函数的最值问题来处理解以点C为原点，使A、B分别位于x轴、y轴的正半轴上，建立平面直角坐标系如图所示，则ABC各顶点是A(8,0)，B(0,6)，C(0,0)，内切圆半径r2.内切圆圆心坐标为(2,2)，内切圆方程为(x2)2(y2)24.设P(x，y)是圆上的动点，则S|PA|2|PB|2|PC|2(x8)2y2x2(y6)2x2y23x23y216x12y1003(x2)2(y2)24x76344x76884x.点P在内切圆上，0x4，Smax88，Smin72.评注本题通过坐标法将问题转化为函数的最值问题，体现了最值问题的一般解决思路，值得注意的是，求最值问题一定要结合函数的定义域来进行11妙用对策简解“圆”的问题在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运算，减少运算量现举例介绍求解圆问题的三条妙用对策简解一、合理选用方程要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷如果问题中给出的圆心坐标关系，或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程例1求圆心在直线2xy30上，且过点A(5,2)，B(3，2)的圆的方程解设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r>0)因为圆过点A(5,2)，B(3，2)，所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上易得线段AB的垂直平分线方程为y(x4)又因为圆心在直线2xy30上，所以由解得即圆心为(2,1)又圆的半径r.所以圆的方程为(x2)2(y1)210.二、数形结合，充分运用圆的几何性质求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等例2已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240，若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程. 解如图所示，|AB|4，D是AB的中点，CDAB，|AD|2，|AC|4.在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式2，得k.此时直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所以所求直线的方程为x0或3x4y200.评注在直线与圆的位置关系中，直线与圆相交时研究与弦长有关的问题是一个重点内容解决这类弦长问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形三、设而不求，整体代入对于圆的一些综合问题，比如弦的中点问题，常运用整体思想整体思想就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系灵活运用整体代入、整体运算、整体消元(设而不求)、整体合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美例3已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0，设l与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)当直线l不垂直于x轴时，依题意，得x(y11)25，x(y21)25.由，可得(x1x2)(x1x2)(y1y22)(y1y2)所以.而直线恒过点(1,1)，所以.所以，即x2x(y1)20，即(x)2(y1)2.当直线l垂直于x轴时，点M(1,1)也适合方程(x)2(y1)2.综上所述，点M的轨迹方程是(x)2(y1)2.评注本题中设出A，B两点的坐标，但求解过程中并不需要求出来，只是起到了桥梁的作用，简化了解题过程这种设而不求，整体处理的技巧，常能起到减少运算量、提高运算效率的作用12“三注意”避免“三种错”有关圆方程的求解一直是高考考查的重点和热点，而其错解问题一直困扰着同学们，常见的错解主要有：“忽视隐含条件致错”、“忽视多解过程致错”、“忽视检验结论致错”三种下面就如何从三个角度避免错解进行例说，以助同学们一臂之力一、注意条件，避免忽视隐含条件致错圆方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即r，r>0，否则，易造成增解或漏解例1若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C：(x3m)2(y4m)225(m4)2相切，则点A在圆C的_(填“外部”、“内部”、“上面”)，m的取值范围是_错解因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部因为点A在圆的外部，则有(43m)2(24m)2>25(m4)2，因此有240m<380，解得m<.故填外部，m<.剖析此题的错解在于忽视了圆方程的半径一定要大于0的隐含条件应注意条件25(m4)2>0.正解因为过点A与圆有两条切线，可见点A必在圆的外部因为点A在圆的外部，则有(43m)2(24m)2>25(m4)2，因此有240m<380，解得m<.再结合圆的条件中半径必须大于0，即有25(m4)2>0，所以m4，因此m的取值范围是m<且m4.答案外部m<且m4二、注意过程，避免忽视多解过程致错有关圆方程的问题在求解的过程中要特别注意增解的情况，因为决定圆方程的条件一般是两个：“圆心”、“半径”，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生例2圆心在x轴上，半径等于5，且经过原点的圆的方程是_错解因为圆心在x轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)因此圆的方程为(x5)2y225.剖析造成以上错解的原因是在解题过程中忽视了多种情况的存在性正解因为圆心在x轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)或(5,0)因此圆的方程有两个，即(x5)2y225或(x5)2y225.答案(x5)2y225或(x5)2y225三、注意结论，避免忽视检验结论致错圆方程的求解，对于求得的结论要注意检验，检验时要以事实为依据，对于题中的条件至结论要进行充分的挖掘，避免结论不严谨而出错例3已知RtABC的斜边为AB，点A(2,0)，B(4,0)，求点C满足的方程错解设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半，如图，这样直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，则半径为3，即得所求圆的方程为(x1)2y29.剖析因为忽视结论的检验，没有注意到点C是直角三角形的顶点，即C点不能在直线AB上，因此造成错解正解设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，如图所示，则半径为3，即得圆的方程为(x1)2y29.但是顶点C不能在直线AB上，因此y0，也就是要除去两个点，即(2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x1)2y29(除去点(2,0)，(4,0)以上三种错解均错于细节之处，但造成的后果却是严重的，因此对于圆方程的破解既要掌握一般的常规方法，又要注意圆方程求解时的三个重要方面：一是注意隐含条件；二是注意多种情况；三是注意对个别点、线等特殊位置的检验只有掌握好这些细节问题才能顺利破解有关圆方程的综合问题13解析几何中数学思想的应用一、数形结合思想数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化例1已知点P(x，y)在圆O：x2y21上，求(x2)2(y3)2的最小值分析从(x2)2(y3)2的几何意义展开思维，通过数形结合，辅之以临界点来求解解如图，设点M(2,3)，则(x2)2(y3)2表示|PM|2.因为|MO|2(2)23213>1，所以点M在圆O外连接MO并延长，顺次交圆O于D，E两点，则|MD|PM|ME|，即|MO|r|PM|MO|r.所以|PM|的最小值为|MO|r1，即(x2)2(y3)2的最小值为(1)2142.评注本例从运动变化的角度出发(让点P在圆上运动)，在运动中寻觅最值取得的条件，从而使问题获解二、方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的例2过已知点(3,0)的直线l与圆x2y2x6y30相交于P，Q两点，且OPOQ(其中O为原点)，求直线l的方程分析由条件OPOQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则1.由P，Q在圆及直线上，可借助方程求解解设直线l的方程为xay30(a0)，则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的坐标满足方程组消去y，得x22x630，即x2x30.所以x1x2.由方程组消去x，得(3ay)2y2(3ay)6y30，即(a21)y2(7a6)y150.所以y1y2.因为OPOQ，所以1，即x1x2y1y20.由，得0.整理，得a26a80.解得a2或a4.故直线l的方程为x2y30或x4y30.评注本题巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决三、转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题例3求圆(x2)2(y3)24上的点到直线xy20的最大距离与最小距离分析圆