2022年浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题 .pdf

常考知识点及相应习题汇总一、棱锥1、正三棱锥定义：正三棱锥是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。性质：1 底面是等边三角形。2 侧面是三个全等的等腰三角形。3 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。4. 常构造以下四个直角三角形（见图）：说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。练习 1：1、三棱锥A BCD的棱长全相等, E是 AD 中点 , 则直线 CE与直线 BD 所成角的余弦值为( )(A)63(B)23(C)633(D)212、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为( )A223B2C23D4233、侧棱长为2a 的正三棱锥其底面周长为9a，则棱锥的高为（）A、aB、2aC、32aD、327a4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这个正三棱柱有如下判断：11/ BCAB； 1AC与 BC是异面直线；1AB与 BC所成的角的余弦为42；1BC与CA1垂直 . 其中正确的判断是_.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页5、在正三棱锥PABC中，6,5ABPA。 （1）求此三棱锥的体积V； （2）求二面角PABC的正弦值。6、正三棱锥 V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60的二面角。求（ 1）棱锥的侧棱长（2）侧棱与底面所成的角的正切值。2、正四面体定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。它有 4 个面， 6 条棱， 4 个顶点。正四面体是最简单的正多面体。正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。性质：练习 2：1、在正四面体ABCP中，如果EF、分别为PC、AB的中点， 那么异面直线EF与PA所成的角为( )(A)090(B)060(C)045(D)030精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3、正四棱锥定义：底面是正方形， 侧面为 4 个全等的等腰三角形且有公共顶点，顶点在底面的投影是底面的中心。三角形的底边就是正方形的边。性质：（1）正四棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）；（2）正四棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、 侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形；（3）正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等；（4） 正四棱锥的侧面积： 如果正棱锥的底面周长为c， 斜高为 h ， 那么它的侧面积是s=1/2ch 练习 3：1、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为2:6，则侧面与底面的夹角为（） 。（A）12（B）6（ C）4（D）32、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是( ) (A) 各侧面是正三角形 (C) 各侧面三角形的顶角为45 度 (B) 底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上3、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2 倍，则侧面与底面所成的角等于（）A30B 45C60D754、在正四棱锥PABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线PA与 BC所成角的正切值为；5、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，求斜高与棱锥高之比相邻两个侧面所成二面角的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4、棱锥定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。概念：棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥的对角面 ; （棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面）性质：1棱锥截面性质定理及推论定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。推论 1：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。推论 2：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。2一些特殊棱锥的性质侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心（外心），同时侧棱与底面所成的角都相等。侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为 ，则有 S底=S侧 cos 。练习 41、三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ABC是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中直角三角形有（）(A)个(B)个(C)至多个(D)个或个2、正n棱锥的侧面积是底面积的2 倍，则侧面与底面所成二面角的度数为（）(A)3(B)2(C)6(D)与n的取值有关3、 如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下） 为 1:8:27 ，则这时棱锥的高被分成上、中、下三段之比为（）（A） 1:)12(3:)23(33 (B) 1:32:33 (C)1:21:31 (D)1:1:1 4、已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为 ( ) A.2 1 B.2 1 C.1 (2-1) D.1 (32-1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5、三棱锥 V-ABC的三条侧棱两两为300角，在 VA上取两点 M、N，VM6，VN8，用线绳由自 M 向 N 环绕一周，线绳的最短距离是.6在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面 ABCD，PD=DC ，E 为 PC 中点 （1）求证： PA 平面 EDB （2）求 EB和底面 ABCD成角正切值7如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA 底面 ABCD ，且 PA=AD=2a ，AB=a， ABC=60（ 1）求证平面PDC 平面 PAC （2）求异面直线PC与 BD 所成的角的余弦值8、AB为圆 O的直径，圆O在平面内， SA ， ABS=30o,P 在圆周上移动（异于A、B） ，M为 A在 SP上的射影，( ) 求证：三棱锥S ABP的各面均是直角三角形；（）求证： AM 平面 SPB ；9、三棱锥V ABC的底面是腰长为5 底边长为 6 的等腰三角形，各个侧面都和底面成450的二面角，求三棱锥的高PDABCEABCDP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页习题答案：练习 1： 1.A 2.C3.A 4. 5.393, 1346、解： （1）过 V点作 V0面 ABC于点 0，VEAB于点 E 三棱锥VABC是正三棱锥O 为 ABC的中心则 OA=aa332332，OE=aa632331又侧面与底面成60 角 VEO=60 则在 RtVEO中； V0=OEtan60=2363aa在 RtVAO中， VA=6211273422222aaaaAOVO即侧棱长为a621练习 2：1.C练习 3：1.D 2.A 3.C 4. 2 5、（1）32； （2）-arccos31；练习 4：1、D 2、A 3、D 4、 D 510 6 、（2）55arctan7 （2）73arccos8、略9、解：过点V作底面 ABC的垂线，垂足为O 各个侧面和底面成450的二面角点 O为三角形ABC的内心设 OD x，则有4621)655(21xx23三棱锥的高VO为23CABVDO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页二、棱柱定义：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面。分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂直。直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。平行六面体 :底面是平行四边形的棱柱。直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体。对角线的求法：由棱柱的三条棱长的平方的和的开方。性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。练习题：1如图：在正三棱柱111CBAABC中，1BBE，截面11ACECA侧面. 求证：1EBBE；若111BAAA，求平面ECA1与平面111CBA所成锐二面角的度数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页2已知三棱柱111CBAABC的底面是边长为1 的正三角形，451111CAABAA，顶点A到底面111CBA和侧面CB1的距离相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积3、在正三棱柱A1B1C1ABC中， AA1=AB=a ， D是 CC1的中点， F是 A1B的中点 .( ) 求证： DF平面 ABC ； （） 求证： AFBD ；4 已知：如图，直棱柱ABCA B C的各棱长都相等，D 为 BC中点， CE CD于 E（1）求证： CE 平面 ADC (2)求二面角DAC C的平面角的大小EDABCABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页5、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面 ABC为等腰直角三角形，90ACB，AC=1， C点到 AB1的距离为CE=23，D 为 AB 的中点 . （1）求证： AB1平面 CED ；（2）求异面直线AB1与 CD之间的距离； （ 3）求二面角B1ACB 的平面角 .6、在直三棱柱ABC A1B1C1中， BC=A1C1，AC1A1B，M ， N分别是 A1B1，AB的中点。（1）求证：面ABB1A1面 AC1M ； （2）求证： A1BAM ； （3）求证：面AMC1面 NB1C 答案：1解：在截面ECA1内，过 E作CAEG1， G 是垂足面11ACECA侧面， EG侧面CA1取 AC 的中点F，连结 BF，FG，由 AB=BC ，得BF AC CAABC1侧面面， BF侧面1AC，得 BFEG BF 、 EG确定一个平面，交侧面1AC于 FG CABE1/ 侧面， BE FG， 四 边 形 BEGF 是 平 行 四 边 形 ， BE = FG 1/ AABE， 1/ AAFG，FGCCAA1； FCAF， 112121BBAAFG， 即121BBBE， 故1BBBEA1C1B1ADBCEACBA1C1B 1 MN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页 分别延长 CE、11BC交于点 D，连结DA111/ CCEB，1112121CCBBEB111121CBDCDB，又1111CBBA，9011CDA，即111CADA1111BCACC面，即11CA是CA1在平面DCA11上的射影，根据三垂线定理，得CADA1111CCA是二面角的平面角111111CABAAACC9011CCA4511CCA， 即所求二面角为452解：作AO平面 A1B1C1，O 为垂足（12） AA1B1=AA1C1=450O 在 C1A1B1的平分线上连结 A1O 并延长交B1C1于 D1点A1C1=A1B1A1D1B1C1A1A B1C1BB1 B1C1四边形 BB1C1C 为矩形取 BC中点 D，连结 AD DD1DD1/BB1B1C1DD1又 B1C1 A1D1B1C1平面 A1D1DA平面 A1ADD1平面 B1C1CB过 A 作 ANDD1，则 AN平面 BB1C1CAN=AO四边形 AA1D1D 为A1D1=DD1231DD231AA2326123222312侧S4、(2)510arcsin5、 （1）略； （2）21； （3）arctan2；6、证明：（1）三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱AA1面 A1B1C1 AA1C1M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页BCA1C1， M是 A1B1的中点C1M A1B1又 AA111111BBAA,面AAABAA1B1MACAABBABBA11111面面，面（2）AMBAABBAMCACBA111111，面，CNBAMCMMCAMCNBMCCNMCABBACNABBAMCCNBAMNBAMMANBABBANM) 3(1111111111111111平面，又平面，平面同理可证平面，由平面，是平行四边形，四边形的中点，分别是、三、正方体、长方体练习题：1.棱长为 a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DD1与 BC1之间的距离为 ( )Aa B22ac2aD3a2正方体的棱长为，P为1DD的中点，O为底面ABCD的中心，则1DD与平面PAO所成角的正切值为(A)22(B)2(C)22(D)以上皆非3 设长方体的三条棱长分别为cba,， 若其所有棱长之和为，一条对角线的长度为，体积为，则cba111为(A)411(B)114(C)211(D)1124.长方体的表面积为222cm,所有棱的总长度为cm24,则长方体的对角线的长度是( )A.cm14B.cm11C.cm12D.cm135如图在正方形ABCDA1B1C1D1中， M 是棱 DD1的中点， O 为底面ABCD的中点， P为棱 A1B1上任意一点，则直线OP 与直线 AM 所成的角的大小为（）A4B3C2D与 P点位置有关ACBA1C1B1MN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页6如图，在长方体1111DCBAABCD中，3,4,61AAADAB，分别过BC、11DA的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为111DFDAEAVV，CFCBEBVV11113。若1:4:1:321VVV，则截面11EFDA的面积为( )(A)104(B)38(C)134(D)167如右图，正方体1111DCBAABCD中，FE、是异面线段DA1和AC的中点，则EF和1BD的关系是A相交不垂直B相交垂直C平行直线D异面直线8如图在正方形ABCD A1B1C1D1中，M 是棱 DD1的中点， O 为底面 ABCD的中点， P 为棱 A1B1上任意一点， 则直线 OP 与直线 AM 所成的角的大小为 （）A4B3C2D与 P点位置有关9长方体全面积为24cm2，各棱长总和为24cm，则其对角线长为cm. 10正方体的表面积为m ，则正方体的对角线长为11长方体1111DCBAABCD中，1ADAB，21BB，E为1BB的中点(1)求证：AE平面EDA11；(2)求二面角11AADE的正切值；(3)求三棱椎EDCA11的体积D1C1A1B1ABCDEFE1F1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页C1D1B1CDABA112. 在正方体1111ABCDA B C D中， （1）求证：平面1A BD平面11ACC A；（2）求直线1A B与平面11ACC A所成的角。13. 如图，在正方体1111DCBAABCD中，FE、分别是1BB、CD的中点 . （1）证明：FDAD1； （2）求直线AE与FD1所成的角；（3） 证明：平面AED平面11FDA. 14. 如图，在长方体1111ABCDA B C D中，112ABADAA，点G为1CC上的点，且CG114CC。 （1）求证：1CD平面ADG； （2）求二面角CAGD的大小（结果用反余弦表示） 。D1C1B1A1DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页15.已知在正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F分别是 D1D、 BD的中点， G 在棱 CD上，且 CG =CD41 （1）求证： EF B1C； （2）求 EF与 C1G 所成角的余弦值；（3）求二面角FEG C1的大小（用反三角函数表示）16 如图，在正方体1111DCBAABCD中，FE、分别是1BB、CD的中点 . （1）证明：FDAD1(2)求直线AE与FD1所成的角；（3）证明：平面AED平面11FDA. 答案： 1、A 2B 3A 4.A 5 C 6.C 7.D 8 C 9.3210、2m211解（ 1） ：221AEEA（12） AA1=2 A1EAE又 AEA1D1 AE 平面 A1D1E（2）取 AA1中点 F，过 F作 FPAD1 EF 平面 AA1D1D FPAD1 EP AD1 FPE即为 E-AD1-A1的平面角在 RtAA1D1中，可求55PF5tanFPEFFPE（3） EF/C1D1 EF/平面 AC1D1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页VA-C1D1E =VE-AC1D1 =VF-AC1D1 =1CV-AFD111131DCAFDS=1)2141(31=6112. 030 13. 900 14. arccos101015. 175113arctan16解：1111DCBAABCD是正方体，AD面1DC又FD1面1DC，FDAD1 取 AB 中点 G，连结GA1、FG易证11AGFD是平行四边形FDGA11/设GA1与 AE交于点 H，1AHA（或其补角）是AE与FD1所成的角E是1BB的中点，RtAGA1RtABE，GAHAGA1，1AHA90，即 AE与FD1所成的角为90 由知FDAD1，由得FDAE1，AAEAD，FD1面 AEDFD1面11FDA，面AED面11FDA四、二面角1 二面角l内一点P到平面,和棱l的距离之比为1:3 : 2，则这个二面角的平面角是_度2已知 E是正方体1AC的棱BC的中点，则二面角111CEBD的正切值是（）A5B25C3D233.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定4已知等边三角形ABC的边长为1，沿BC边上的高将它折成直二面角后，点A到直线BC的距离是（）A1 B414C22D23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页5已知 E是正方体1AC的棱BC的中点，则二面角111CEBD的正切值是（）A5B25C3D236. 如图，二面角l的平面角为120，,ACBDACl,BDl，3ACBD，4CD。 （1）求AB的长； （2）求直线AB与CD所成的角。7. 如图，已知四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面 PDC为正三角形，且平面PDC 底面ABCD ， E 为 PC 的中点 . （1）求证： PA/平面 EDB； （2）求证：平面 EDB平面 PBC ； （3）求二面角DPBC 的大小 .8. 如图，四棱锥PABCD中， PB 底面 ABCD ，CDPD.底面 ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC，AB=AD=PB =3.点 E在棱 PA上，且 PE =2EA.(1) 求异面直线PA与 CD所成的角；(2) 求证： PC 平面 EBD；(3) 求二面角 ABED 的大小（用反三角函数表示）.答案： 1900或 1500 2.B 3. B 4、 B 5、 B 6.43 arctan4337. arctan6 8. 060 arctan5DCBAl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页