2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.2 函数的单调性与最值 .docx
2.2函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，>0f(x)在D上是增函数，<0f(x)在D上是减函数(2)对勾函数yx(a>0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()题组二教材改编2P39B组T1函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案1，)(或(1，)3P31例4函数y在2,3上的最大值是_答案24P44A组T9若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案(，2解析由题意知，2，)m，)，m2.题组三易错自纠5函数y的单调递减区间为_答案(2，)6若函数f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则a的值为_答案6解析由图象(图略)易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是，令3，得a6.7函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)函数y的单调递减区间为()A(1，) B.C. D.答案A解析由2x23x1>0，得函数的定义域为(1，)令t2x23x1，则y，t2x23x122，t2x23x1的单调递增区间为(1，)又y在(1，)上是减函数，函数y的单调递减区间为(1，)(2)函数yx22|x|3的单调递减区间是_答案1,0，1，)解析由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x<0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3的单调递减区间为1,0，1，)命题点2解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上的单调性解函数f(x)ax2(1<a<3)在1,2上单调递增证明：设1x1x22，则f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10,2x1x24，1x1x24，1.又因为1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增引申探究如何用导数法求解本例？解因为f(x)2ax，因为1x2，1x38，又1a3，所以2ax310，所以f(x)0，所以函数f(x)ax2(其中1a3)在1,2上是增函数思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接跟踪训练 (1)(2017郑州模拟)函数y的单调递增区间为()A(1，) B.C. D.答案B解析易知函数yt为减函数，t2x23x1的单调递减区间为.函数y的单调递增区间是.(2)函数y(x3)|x|的单调递增区间是_答案解析y(x3)|x|作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为.题型二函数的最值1函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_答案3解析由于yx在R上单调递减，ylog2(x2)在1，1上单调递增，所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3.2已知函数f(x)则f(x)的最小值是_答案26解析当x1时，f(x)min0，当x1时，f(x)min26，当且仅当x时取到最小值，又260，所以f(x)min26.3已知函数f(x)(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a_.答案解析由反比例函数的性质知函数f(x)(a>0，x>0)在上单调递增，所以即解得a.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值题型三函数单调性的应用命题点1比较大小典例 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，f(x2)f(x1)(x2x1)<0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Ac>a>b Bc>b>a Ca>c>b Db>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，因为aff，且2<<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式典例 已知函数f(x)为(0，)上的增函数，若f(a2a)>f(a3)，则实数a的取值范围为_答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3<a<1或a>3，所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)命题点3求参数范围典例 (1)(2018郑州模拟)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3(2)已知f(x)是(，)上的减函数，则a的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案(1)C(2)C解析(1)y1，由题意知得a3.a的取值范围是a3.(2)由f(x)是减函数，得a，a的取值范围是.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小(2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域(3)利用单调性求参数依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值跟踪训练 (1)如果函数f(x)满足对任意x1x2，都有>0成立，那么a的取值范围是_答案解析对任意x1x2，都有0.所以yf(x)在(，)上是增函数所以解得a2.故实数a的取值范围是.(2)(2017珠海模拟)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上单调递增，且f0，则不等式f()>0的解集为_答案解析由题意知，ff0，f(x)在(，0)上也单调递增f()f或f()f，或0，解得0x或1x3.原不等式的解集为.1函数yx26x10在区间(2,4)上是()A递减函数 B递增函数C先递减再递增 D先递增再递减答案C解析作出函数yx26x10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的2(2017河南中原名校第一次质检)函数y的单调递增区间为()A. B.C. D.答案A解析由x2x60，得2x3，故函数的定义域为(2,3)，令tx2x6，则y，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数tx2x6在(2,3)上的单调递减区间利用二次函数的性质可得tx2x6在定义域(2，3)上的单调递减区间为，故选A.3下列函数中，在区间(1,1)上为减函数的是()Ay Bycos xCyln(x1) Dy2x答案D解析y与yln(x1)在区间(1,1)上为增函数；ycos x在区间(1,1)上不是单调函数；y2xx在(1,1)上为减函数4已知函数ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则实数a的取值范围是()A(0,1 B1,2C1，) D2，)答案C解析要使ylog2(ax1)在(1,2)上是增函数，则a>0且a10，即a1.5(2017天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为()Aa<b<c Bb<a<cCc<b<a Dc<a<b答案C解析f(x)在R上是奇函数，afff(log25)又f(x)在R上是增函数，且log25log24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.故选C.6设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A1,2 B1,0C1,2 D0,2答案D解析当x0时，f(x)(xa)2，f(0)是f(x)的最小值，a0.当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x1时取“”要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20，解得1a2，a的取值范围是0a2.故选D.7已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为_答案3，)解析设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)8设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是_答案0,1)解析由题意知g(x)函数g(x)的图象如图所示，其单调递减区间为0,1)9设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数，即即a1.10已知函数f(x)若f(x)在(0，)上单调递增，则实数a的取值范围为_答案(1,2解析由题意，得12a20，则a2，又yaxa (x>1)是增函数，故a>1，所以a的取值范围为1<a2.11已知函数f(x)，x0,2，求函数的最大值和最小值解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1<x2，且f(x1)f(x2).由0x1<x22，得x2x1>0，(x11)(x21)>0，所以f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).12函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值解f(x)422a2，当0，即a0时，函数f(x)在0,2上是增函数f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当0<<2，即0<a<4时，f(x)minf2a2.由2a23，得a(0,4)，舍去当2，即a4时，函数f(x)在0,2上是减函数，f(x)minf(2)a210a18.由a210a183，得a5.a4，a5.综上所述，a1或a5.13已知函数f(x)x|2xa|(a0)在区间2,4上单调递减，则实数a的值是_答案8解析f(x)x|2xa|(a0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是，所以解得a8.14已知f(x)不等式f(xa)>f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，2)解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减，x22x3<3，f(x)在R上单调递减，由f(xa)>f(2ax)得到xa<2ax，即2x<a，2x<a在a，a1上恒成立，2(a1)<a，a<2，实数a的取值范围是(，2)15函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设函数f(x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；ff(x)；f(1x)1f(x)则ff_.答案解析由，令x0，可得f(1)1.由，令x1，可得ff(1).令x，可得ff.由结合f，可知f，令x，可得ff，因为<<且函数f(x)在0,1上为非减函数，所以f，所以ff.16已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，任取1x1<x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)，1x1<x2，x1x2>1，2x1x21>0.又x1x2<0，f(x1)<f(x2)，f(x)在1，)上是增函数，f(x)在1，)上的最小值为f(1).(2)在区间1，)上，f(x)>0恒成立，则即等价于a大于函数(x)(x22x)在1，)上的最大值(x)(x1)21在1，)上单调递减，当x1时，(x)取得最大值(1)3.a>3，故实数a的取值范围是(3，)
