2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：2.5　指数与指数函数 .docx

2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a>0，m，nN*，且n>1)于是，在条件a>0，m，nN*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 (a>0，m，nN*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a>0，b>0，r，sQ.2指数函数的图象与性质yaxa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数知识拓展1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a>0，a1)的图象越高，底数越大3指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(nN*)()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若aman(a0，且a1)，则mn.()(5)函数y2x在R上为单调减函数()题组二教材改编2P59A组T4化简(x0，y0)_.答案2x2y3P56例6若函数f(x)ax(a>0，且a1)的图象经过点P，则f(1)_.答案解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4P59A组T7已知a，b，c，则a，b，c的大小关系是_答案c<b<a解析yx是减函数，>>0，即a>b>1，又c<01，c<b<a.题组三易错自纠5计算：0 _.答案2解析原式12.6若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由题意知0a211，即1a22，得a1或1a.7函数y823x(x0)的值域是_答案0,8)解析x0，x0，3x3，0<23x238，0823x<8，函数y823x的值域为0,8)题型一指数幂的运算1.(a>0)的值是_答案解析.2计算：10(2)10_.答案解析原式21，1010201.3(2017兰州模拟)化简：_.( a>0)答案a2解析原式a2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二指数函数的图象及应用典例 (1)函数f(x)1e|x|的图象大致是()答案A解析f(x)1e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有A.(2)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_答案1,1解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可知，如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1,1思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练 (1)已知实数a，b满足等式2 018a2 019b，下列五个关系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或ab0.(2)方程2x2x的解的个数是_答案1解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用典例 (1)(2017河南百校联考)已知f(x)2x2x，a，b，则f(a)，f(b)的大小关系是_答案f(b)f(a)解析易知f(x)2x2x在R上为增函数，又ab.f(a)f(b) (2)设函数f(x)若f(a)<1，则实数a的取值范围是_答案(3,1)解析当a<0时，不等式f(a)<1可化为a7<1，即a<8，即a<3，a>3.又a<0，3<a<0.当a0时，不等式f(a)<1可化为<1.0a<1，综上，a的取值范围为(3,1)命题点2与指数函数有关的复合函数的单调性典例 (1)已知函数f(x)2|2xm|(m为常数)，若f(x)在区间2，)上单调递增，则m的取值范围是_；(2)函数f(x)的单调减区间为_答案(1)(，4(2)(，1解析(1)令t|2xm|，则t|2xm|在区间上单调递增，在区间上单调递减而y2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有2，即m4，所以m的取值范围是(，4(2)设ux22x1，yu在R上为减函数，所以函数f(x)的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，所以f(x)的减区间为(，1(3)函数f(x)4x2x1的单调增区间是_答案0，)解析设t2x(t>0)，则yt22t的单调增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上单调递增，所以函数f(x)4x2x1的单调增区间是0，)命题点3指数函数性质的综合应用典例 已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)当a1时，f(x)，令ux24x3(x2)27.则u在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yu在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3的值域为R，则必有a0.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练 (1)已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1 D3答案B解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，8,1，即81，即3a0，实数a的取值范围是3,0)(2)(2017江淮十校第三次联考)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3，当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，)上单调递增，f(bx)<f(cx)，当x0时，3x2x1，f(x)在(，1)上单调递减，f(bx)<f(cx)，综上，f(bx)f(cx)指数函数底数的讨论典例 已知函数yb(a，b为常数，且a>0，a1)在区间上有最大值3，最小值， 试求a，b的值错解展示：现场纠错解令tx22x(x1)21，x，t1,0若a>1，函数f(t)at在1,0上为增函数，at，ba，依题意得解得若0<a<1，函数f(t)at在1,0上为减函数，at，ba，依题意得解得综上知，a2，b2或a，b.纠错心得在研究指数型函数的单调性或值域问题时，当底数含参数时，要对底数分类讨论1函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa>1，b<0Ba>1，b>0C0<a<1，b>0D0<a<1，b<0答案D解析由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.2设2x8y1,9y3x9，则xy的值为()A18 B21 C24 D27答案D解析2x8y123(y1)，x3y3，9y3x932y，x92y，解得x21，y6，xy27.3(2017河南南阳、信阳等六市一模)已知a，b(0,1)(1，)，当x0时，1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab答案C解析当x0时，1bx，b1.当x0时，bxax，当x0时，x1.1，ab.1ba，故选C.4(2018届吉林实验中学月考)设alog2，b，cln ，则()Ac<a<b Ba<c<bCa<b<c Dbac答案C解析log2<0,0<<1，ln >1，a<b<c.5已知f(x)3xb(2x4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A9,81 B3,9C1,9 D1，)答案C解析由f(x)过定点(2,1)可知b2，因为f(x)3x2在2,4上是增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)9.故选C.6若函数f(x)a|2x4|(a>0，a1)满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增，所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减故选B.7已知函数f(x)ax(a>0，且a1)，且f(2)>f(3)，则a的取值范围是_答案(0,1)解析因为f(x)axx，且f(2)>f(3)，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以>1，解得0<a<1.8不等式>x4的解集为_答案(1,4)解析原不等式等价为>2x4，又函数y2x为增函数，x22x>x4，即x23x4<0，1<x<4.9若直线y12a与函数y2|ax1|(a>0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_答案解析(数形结合法)当0<a<1时，作出函数y2|ax1|的图象，由图象可知0<2a<1，0<a<；同理，当a>1时，解得0<a<，与a>1矛盾综上，a的取值范围是.10当x2,2时，ax<2(a>0，且a1)，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析当x2,2时，ax<2(a>0，且a1)，若a>1，yax是增函数，则有a2<2，可得<a<，故有1<a<；若0<a<1，yax是减函数，则有a2<2，可得a>或a<，故有<a<1.综上知a(1，)11(2017安徽江淮十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_答案e解析由题意得，f(x)当x1时，f(x)exe(当x1时取等号)，当x1时，f(x)e|x2|e2xe，因此x1时，f(x)有最小值f(1)e.12已知函数f(x)bax(其中a，b为常量，且a>0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx均为减函数，所以yxx也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值.所以m.即m的取值范围是.13已知yf(x)是定义在R上的奇函数且当x0时，f(x)，则此函数的值域为_答案解析设t，当x0时，2x1，0<t1，g(t)t2t2.0g(t)，故当x0时，f(x).yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x).故函数的值域为.14已知函数f(x)2x，函数g(x) 则函数g(x)的最小值是_答案0解析当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当x0时，g(x)f(x)2x为单调减函数，所以g(x)g(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.15若函数f(x)ax(a0，且a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.答案解析由函数g(x)在0，)上为增函数，得14m0，即m.当a1时，函数f(x)在1,2上单调递增，最小值为a1m，最大值为a24，解得a2，m，与m矛盾；当0a1时，函数f(x)在1,2上单调递减，最小值为a2m，最大值为a14，解得a，m，满足m，所以a.16已知定义在R上的函数f(x)2x.(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围解(1)当x<0时，f(x)0，无解；当x0时，f(x)2x，由2x，得222x32x20，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x2或2x，2x>0，x1.(2)当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t1>0，m(22t1)恒成立，t1,2，(22t1)17，5，故实数m的取值范围是5，)