2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.8　圆锥曲线的综合问题 第1课时 .docx

9.8圆锥曲线的综合问题最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有>0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；<0直线与圆锥曲线相离(2)若a0，b0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合2圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x2x1|y2y1|.3圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参列方程(组)消参求值，或围绕函数思想求范围、最值或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题知识拓展过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. (3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与抛物线y22px只有一个公共点，则l与抛物线相切()(2)设点P(x0，y0)为双曲线1上的任一点，则|x0|a.()(3)椭圆1上的点到焦点距离的最大值是ac.()(4)直线与椭圆只有一个交点直线与椭圆相切()(5)过点(2,4)的直线与椭圆y21只有一条切线()(6)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y22px(p>0)上，且直线AB过抛物线的焦点，则y1y2p2.()题组二教材改编2P71例6过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条答案C解析过(0,1)与抛物线y24x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点3P80A组T8已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_答案4解析由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即当m0时，|AB|有最小值4.题组三易错自纠4过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条答案B解析设该抛物线的焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAxBxAxB13>2p2.所以符合条件的直线有且只有两条5(2017江西省南昌市三模)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为_答案6已知双曲线1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x22py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|c，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析抛物线的准线方程为y，焦点为F，a22c2.设抛物线的准线y交双曲线于M，N两点，即1，解得xa，2a2c.又b2c2a2，由，得2.11，解得1.双曲线的渐近线方程为yx.第1课时范围、最值问题题型一范围问题典例 (2016天津)设椭圆1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围解(1)设F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xB，从而yB.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直线MH的方程为yx.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM.在MAO中，由MOAMAO，得|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化简，得xM1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练 (2018开封质检)已知椭圆C：1(a>b>0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e.又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为点(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)联立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故k2，则m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)>0，得0<m2<2，显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)设原点O到直线的距离为d，则SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范围可得OMN面积的取值范围为(0,1)题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值典例 过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析设直线AB的倾斜角为，可得|AF|，|BF|，则|AF|BF|4.命题点2数形结合利用几何性质求最值典例 在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值典例 (2017山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解(1)由题意知e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k2)x24k1x10.由题意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2| .由题意可知，圆M的半径r为r|AB|，由题设知k1k2，所以k2，因此直线OC的方程为yx.联立方程得x2，y2，因此|OC|.由题意可知，sin.而，令t12k，则t1，(0,1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值为.综上所述，SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解跟踪训练(2018邢台模拟)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将AB的中点M代入直线方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，则t2.则|AB|，且O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故AOB面积的最大值为.1(2017河北武邑中学模拟)已知P(x0，y0)是椭圆C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若<0，则x0的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由题意可知：F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)yxy3<0，点P在椭圆上，则y1，故x3<0，解得<x0<，即x0的取值范围是.2斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.3过抛物线y2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析记点A的横坐标是x1，则有|AF|x1|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由<得1<cos ，22(1cos )<4，<1，即|AF|的取值范围是.4(2018长春质检)已知F1，F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案C解析由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e>1，所以1<e3.故选C.5(2018届云南昆明一中摸底)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B.C. D1答案A解析由题意可得F，设P(y0>0)，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选A.6(2017九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则AOB面积的最小值为()A. B2 C2 D4答案B解析设P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在抛物线上，所以y1，y2.因为y，则过点A，B的切线分别为y(xx1)，y(xx2)均过点P(x0，1)，则1(x0x1)，1(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的两根，则x1x22x0，x1x24，设直线AB的方程为ykxb，联立得x24kx4b0，则x1x24b4，即b1，|AB|x1x2|，O到直线AB的距离d，则SAOB|AB|d2，即AOB的面积的最小值为2，故选B.7(2017泉州质检)椭圆C：y21(a>1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|BF2|的最大值为_答案7解析因为椭圆C的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦点弦性质，知当ABx轴时，|AB|取最小值21，因此|AF2|BF2|的最大值等于817.8(2018届贵州黔东南州联考)定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为_答案解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2x的焦点为F，抛物线的准线为x，所求的距离d，所以(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号)9(2017泉州模拟)椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则F1PQ的内切圆面积的最大值是_答案解析令直线l：xmy1，与椭圆方程联立消去x，得(3m24)y26my90，可设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y2，y1y2.可知|F1F2|y1y2|12，又，故3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l4a8，则内切圆半径r，其面积最大值为.10(2018日照模拟)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_答案6解析点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左焦点F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值为6.11已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，得椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22，因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0<x4)因为4(0<x4)，当且仅当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.12(2018商丘模拟)如图，O为坐标原点，椭圆C1：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为弦AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值解(1)因为e1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因为AB不垂直于y轴，且过点F1(1,0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m2>0，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)<0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而0<2m22，故当m0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.13(2018郑州模拟)设双曲线C：1(a>0，b>0)的一条渐近线与抛物线y2x的一个交点的横坐标为x0，若x0>1，则双曲线C的离心率e的取值范围是()A. B(，)C(1，) D.答案C解析不妨联立yx与y2x，消去y得x2x，由x0>1，知<1，即<1，故e2<2，又e>1，所以1<e<，故选C.14(2017资阳模拟)过抛物线y24x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为()A16 B32C48 D64答案B解析由抛物线的几何性质可知：|AC|，|BD|，S|AC|BD|8p232，据此可得，点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为32.15(2018石家庄模拟)已知双曲线：1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交于B，C两点，记BAC，若的离心率为，则()A BC D答案B解析e，ca，b2c2a2a2，双曲线方程可变形为x2y2a2.设B(x0，y0)，由对称性可知C(x0，y0)，点B(x0，y0)在双曲线上，xya2.A(a,0)，(x0a，y0)，(x0a，y0)，(x0a)(x0a)ya2xy0，即.故选B.16(2017郑州质检)已知椭圆C1：1与双曲线C2：1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e1的取值范围为_答案解析椭圆C1：1，am2，bn，cm2n，e1.双曲线C2：1，am，bn，cmn，由条件知m2nmn，则n1，e1.由m>0得m2>2，<，>，1>，即e>，而0<e1<1，<e1<1.