2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案：第一章 2 第二课时 排列的应用 .doc

第二课时排列的应用 无限制条件的排列问题例1由数字1,2,3,4可组成多少个无重复数字的正整数？思路点拨可分别求出一位数、二位数、三位数、四位数的个数，再求和精解详析第一类：组成一位数有A4个；第二类：组成二位数有A12个；第三类：组成三位数有A24个；第四类：组成四位数有A24个根据加法原理，一共可以组成412242464个正整数一点通对于无限制条件的排列问题，可直接根据排列的定义及排列数公式列式求解若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解1从4种蔬菜品种中选3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？解：从4种蔬菜品种中选3种，分别种在3块不同土质上，对应于从4个元素中取出3个元素的排列数因此不同的种植方法数为A43224.故共有24种不同的种植方法2(1)有3名大学毕业生到5个招聘雇员的公司应聘，每个公司至多招聘一名新雇员，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，共有多少种不同的招聘方案？(2)有5名大学毕业生到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这三个公司都完成了招聘工作，问共有多少种不同的招聘方案？解：(1)将5个招聘雇员的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A54360种(2)将5名大学毕业生看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3个招聘雇员的公司，则本题仍为从5个不同的元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案有A54360种.元素“在”与“不在”型排列问题例27名同学站成一排(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？思路点拨这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则精解详析(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外 6名同学，共有A654321720种排法(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A种，再在余下的5个位置排另外5名同学的排法有A种，共有AA215432240种排法(3)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种，共有AA54543212 400种排法法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A种，中间5个位置有A种，共有AA2 400种排法一点通(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先(2)从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置3电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的产品广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有()A48种B24种C720种 D120种解析：分两步：第一步先排首尾，第二步再排中间4个位置，则NAA22448.答案：A4用0,1,2这3个数字，可以排成_个无重复数字的3位数解析：组成3位数，相当于将3个元素排在三个位置，但0不能在首位，首位的排法有A，而其余两位排法有A，由分步乘法原理知，共有AA4种排法答案：45由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的六位数，其中小于50万，又不是5的倍数的数有多少个？解：法一：因为首位和个位上不能排0和5，所以先从1,2,3,4中任选2个排在首位和个位，有A种排法，再排中间4位数有A种排法，由分步乘法计数原理，共有AA1224288个符合要求法二：六个数位的全排列共有A个，其中有0排在首位或个位上的有2A个，还有5排在首位或个位上的也有2A个，其中不合要求的要减去，但这两种情况都包含0和5分别在首位或个位上的排法2A种，所以有A4A2A288个符合要求.元素“相邻”与“不相邻”型排列问题例3(8分)喜羊羊家族的四位成员，与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照张合影(排成一排)(1)要求喜羊羊的四位成员必须相邻，有多少排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少排法？思路点拨相邻元素可看作一个集团利用捆绑法，不相邻元素利用插空法精解详析(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，与灰太狼、红太狼排队共有A种排法，又因四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有AA144种排法(4分)(2)第一步将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法，第二步让灰太狼、红太狼插四位成员形成的空(包括两端)，有A种排法，共有AA480种排法(8分)一点通(1)相邻问题用捆绑法解决，即把相邻元素看成一个整体作为一个元素与其他元素排列但不要忘记再对这些元素“松绑”，即对这些元素内部全排列(2)不相邻问题用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相邻的元素插入空中排列6(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120C144 D168解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题意的排法种数为14424120，选B.答案：B7(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种解析：将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻，A，C相邻有CAB，BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2A12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有481236种答案：3684名男同学和3名女同学站成一排(1)3名女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)男生与女生相间排列的方法有多少种？解：(1)3名女同学是特殊元素，优先安排，共有A种排法；由于3名女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法由分步乘法计数原理，共有AA720种不同的排法(2)先将男生排好，共有A种排法；再在这4名男生的中间及两头的5个空当中插入3名女生，有A种排法故符合条件的排法共有AA1 440种(3)不妨先排男生，有A种排法，在4名男生形成的3个间隔共有3个位置安排3名女生，有A种，因此共有AA种排法，故4名男生3名女生相间的排法共有AA144种解有限制条件的排列问题的基本思路1含有特殊元素或特殊位置的排列，通常优先安排特殊元素或特殊位置；2当限制条件超过两个(包括两个)，若互不影响，则直接按分步解决，若相互影响，则首先分类，在每个分类中再分步解决；3某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，即用“捆绑法”；4某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空位，即用“插空法” 16个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()AAB3ACAA DAA解析：甲、乙、丙3人站在一起有A种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A种，共有AA种答案：D2(北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24 B18C12 D6解析：若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2A12，根据分类加法计数原理得总个数为61218.答案：B3由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有()A56个 B57个C58个 D60个解析：首位为3时，有A24个；首位为2时，千位为3，则有AA15个，千位为4或5时有AA12个；首位为4时，千位为1或2有AA12个，千位为3时，有AA15个由分类加法计数原理知，共有符合条件的数字2451212558(个)答案：C4(辽宁高考)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120C72 D24解析：剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座， 因此任何两人不相邻的坐法种数为A43224.答案：D5(大纲全国卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A种方法再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A种不同的方法故所有不同的排法共有AA2420480(种)法二：6人排成一行，所有不同的排法有A720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有AA240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720240480(种)答案：4806有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次，A，B两位学生去问成绩，老师对A说：“你的名次不知道，但肯定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”请你分析一下，这五位学生的名次排列共有_种不同的可能解析：先安排B有1种方法，再安排A有3种方法，最后安排C，D，E共A种方法由分步乘法计数原理知共有3A18种方法答案：187由A，B，C等7人担任班级的7个班委(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担任，有多少种分工方案？解：(1)先安排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，共有AA720种分工方案(2)7人的任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有AAA3 600种8如图，某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞蓬是由太阳光的七种颜色组成的，七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种？解：如图，对8个区域进行编号，任选一组对称区域(如1与5)同色，用7种颜色涂8个区域的不同涂法有7！种，又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的，通过旋转后5,6,7,8,1,2,3,4与1,2,3,4,5,6,7,8是同一种涂色，即重复染色2次，故此种图案至多有2 520种