2022年必修五不等式知识点.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载不等式的基本学问（一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：1 对称性：abbac2 传递性：ab ,bcacbc；ab,cdacbd 同向可加 3 加法法就：aba4 乘法法就：acbcab,c0acbc；ab,c0ab0,c0d0acbd 同向同正可乘 5倒数法就：11ab,abab6 乘方法就：ab0anbnnN*且n17 开方法就：ab0nanbnN*且n1 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判定符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式 1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：x2,b24ac,就cx 1、x2且x 1设相应的一元二次方程ax2bx0a0的两根为不等式的解的各种情形如下表：y0bxcyax20bxcyax20bxcax2二次函数yax2bxc有两相异实根有两相等实根（a0）的图象一元二次方程名师归纳总结 2 axbxc0x 1,x2x 1或x2x 2x 1xx 2b无实根第 1 页,共 6 页a0的根2a0xxx 1xxbR 2 axbxc a0 的解集2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2ax bx c 0x x 1 x x 2 a 0 的解集2、简洁的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （1）分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并留意 奇穿 过 偶 弹 回 ；（ 3 ） 根 据 曲 线 显 现 f x 的 符 号 变 化 规 律 , 写 出 不 等 式 的 解 集 ；2 3如： x 1 x 1 x 2 03、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正,最终用标根法求解；解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母；f x 0f x g x 0;f 0f x g x 0Ag x g x g x 04、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“ 分别变量法” 转化为最值问题如不等式fxA在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D上fxmin如不等式fxB在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间D 上fxmaxB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧全部点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判定方法由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的全部点 x, y ,把它的坐标（x, y 代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以 只需在此直线的某一侧取一特别点（ x0, y0 ,从 Ax0+By0+C的正负即可判定 Ax+By+C 0 表示直线哪一侧的平面区域 . （特别地,当 C 0 时,常把 原点 作为此特别点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件 ：在上述问题中,不等式组是一组变量 是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件线性目标函数 ：x、y 的约束条件,这组约束条件都关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、 y 的解析式,叫线性 目标函数线性规划问题 ：一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满意线性约束条件的解（x,y）叫可行解由全部可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）查找线性约束条件,列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；解（3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优（四）基本不等式 ab a b21如 a,bR,就 a 2+b 22ab,当且仅当 a=b 时取等号 .2假如 a,b 是正数,那么 a bab 当且仅当 a b 时取 " " 号 .22变形：有:a+b 2 ab；aba b,当且仅当 a=b 时取等号 .23假如 a,b R+,a·b=P 定值 ,当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;2假如 a,b R+,且 a+b=S 定值 ,当且仅当 a=b 时,ab 有最大值 S. 4注：（ 1）当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们的积的最小值,正所谓“ 积定和最小,和定积最大”（2）求最值的重要条件“ 一正,二定,三取等”4. 常用不等式 有：（1）a22b2a2bab1 a21 b 依据目标不等式左右的运算结构选用 ；（2） a、b、cR,a2b2c2abbcca （当且仅当 abc 时,取等号） ；（3）如ab0,m0,就b abm m（糖水的浓度问题） ；a不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1.对于实数a,b,c中,给出以下命题：b如ac2bc2,就ab；0,b0；如ab,就ac2bc2；如ab0,就a2abb2；如ab0 就11；ab如ab0 ,就ba；如ab0 ,就ab；ab如cab0 ,就caacb；如ab ,11,就aab其中正确的命题是_ 题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式）（二）解不等式名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载题型三：解不等式2.解不等式x1x220；解不等式3.4.解不等式2 x52x31x5.不等式ax2bx120的解集为 x|-1 x2 ,就 a =_, b=_6.关于x的不等式axb0的解集为 ,1,就关于x的不等式axb0的解集为x27. 解关于 x 的不等式ax2a1x10题型四：恒成立问题8.关于 x 的不等式 a x2+ a x+10 恒成立,就a 的取值范畴是 _ 如不等式x22mx2m10对 0x1 的全部实数 x 都成立,求 m 的取值范畴 . 9.名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10.已知x0,y0且1 x9学习必备x欢迎下载m 的取值范畴；1,求使不等式ym恒成立的实数y（三）基本不等式aba2b题型五：求最值11.（直接用）求以下函数的值域112.（1）y 3x 2 1 2x 2（2）yxx（配凑项与系数）（1）已知x5,求函数yx4x2415的最大值；4x（ 2）当时,求y82 x 的最大值；求函数yx25的值域；2 x4名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 13.（条件不等式）学习必备欢迎下载（1）如实数满意ab2,就3a3b的最小值是 . （2）已知x0,y0,且1 x91,求 xy 的最小值；y（四）线性规划题型八：目标函数求最值名师归纳总结 14.满意不等式组2xx,y30,求目标函数k3xy的最大值第 6 页,共 6 页7xy80y0- - - - - - -
