2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.4　二次函数与幂函数 .docx

2.4二次函数与幂函数知识梳理1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质2幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质诊断自测1概念思辨(1)当<0时，幂函数yx是定义域上的减函数()(2)关于x的不等式ax2bxc>0恒成立的充要条件是()(3)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(4)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P44T9)函数y(x23x10)1的递增区间是()A(，2)B(5，)C. D.答案C解析由于x23x10>0恒成立，即函数的定义域为(，)，设tx23x10，则yt1是(0，)上的减函数，根据复合函数单调性的性质，要求函数y(x23x10)1的递增区间，即求tx23x10的单调递减区间，tx23x10的单调递减区间是，则所求函数的递增区间为.故选C.(2)(必修A1P78探究) 若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是()Ad>c>b>aBa>b>c>dCd>c>a>bDa>b>d>c答案B解析幂函数a2，b，c，d1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.3小题热身(1)(2017济南诊断)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A.B1 C.D2答案C解析由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.故选C.(2)函数f(x)x2axa在0,2上的最大值为1，则实数a等于()A1B1C2D2答案B解析解法一：(分类讨论)当对称轴x1，即a2时，f(x)maxf(2)43a1，解得a1符合题意；当a>2时，f(x)maxf(0)a1，解得a1(舍去)综上所述，实数a1.故选B.解法二：(代入法)当a1时，f(x)x2x1在0,2上的最大值为f(2)71，排除A；当a1时，f(x)x2x1在0,2上的最大值为f(2)1，B正确；当a2时，f(x)x22x2在0,2上的最大值为f(2)101，排除C；当a2时，f(x)x22x2在0,2上的最大值为f(0)f(2)21，排除D.故选B.题型1幂函数的图象与性质(2017长沙模拟)已知函数f(x)x，则()Ax0R，使得f(x)<0Bx0，)，f(x)0Cx1，x20，)，使得<0Dx10，)，x20，)使得f(x1)>f(x2)根据幂函数的性质逐项验证答案B解析由函数f(x)x，知：在A中，f(x)0恒成立，故A错误；在B中，x0，)，f(x)0，故B正确；在C中，x1，x20，)，x1x2，都有>0，故C错误；在D中，当x10时，不存在x20，)使得f(x1)>f(x2)，故D不成立故选B.(2018荣城检测)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_用数形结合法答案(0,1)解析作出函数yf(x)的图象如图则当0<k<1时，关于x的方程f(x)k有两个不同的实根方法技巧在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数，对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解见典例2.冲关针对训练1在同一直角坐标系中，函数f(x)xa(x>0)，g(x)logax的图象可能是()答案D解析因为a>0，所以f(x)xa在(0，)上为增函数，故A错误；在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错误；在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错误；在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符故选D.2幂函数yxm22m3(mZ)的图象如图所示，则实数m的值为()A1<m<3B0C1D2答案C解析函数在(0，)上单调递减，m22m3<0，解得1<m<3.mZ，m0,1,2.而当m0或2时，f(x)x3为奇函数，当m1时，f(x)x4为偶函数，m1.故选C.题型2求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式本题采用待定系数法求解解设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.条件探究若本例条件变为：已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解f(2x)f(2x)对xR恒成立，f(x)的对称轴为x2.又f(x)图象被x轴截得的线段长为2，f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的图象过点(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.方法技巧求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式一般选择规律如下：冲关针对训练1(2018辽宁期末)已知函数f(x)x22ax1a在区间0,1上的最大值为2，则a的值为()A2B1或3C2或3D1或2答案D解析函数f(x)x22ax1a的对称轴为xa，图象开口向下，当a0时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是减函数，f(x)maxf(0)1a，由1a2，得a1；当0<a1时，函数f(x)x22ax1a在区间0，a上是增函数，在a,1上是减函数，f(x)maxf(a)a22a21aa2a1，由a2a12，解得a或a，0<a1，两个值都不满足；当a>1时，函数f(x)x22ax1a在区间0,1上是增函数，f(x)maxf(1)12a1aa，a2.综上可知，a1或a2.故选D.2若二次函数f(x)ax2bxc(a0)，满足不等式f(x)2x>0的解集为x|1<x<3，方程f(x)6a0有两个相等的实数根，试确定f(x)的解析式解因为f(x)2x>0的解集为(1,3)，设f(x)2xa(x1)(x3)，且a<0，所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实数根，所以(24a)24a9a0，解得a1或a.由于a<0，舍去a1.所以f(x)x2x. 题型3二次函数的图象与性质角度1二次函数图象的识别不等式ax2xc>0的解集为x|2<x<1，则函数yax2xc的图象大致为()根据二次函数的图象及根与系数的关系逐项验证答案C解析由不等式ax2xc>0的解集为x|2<x<1可得a<0，且方程ax2xc0的两个实数根分别为2,1，故21，21，解得a1，c2，故函数yax2xcx2x2(x1)(x2)，其图象大致为C.故选C.角度2二次函数的最值问题已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()Aa22a16Ba22a16C16D16答案C解析令f(x)g(x)，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28，即x22axa240，解得xa2或xa2.f(x)与g(x)的图象如图由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a2)，H2(x)的最大值为g(a2)，ABf(a2)g(a2)(a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)2a2816.故选C.角度3二次函数中的恒成立问题已知函数f(x)ax2bx1(a，bR)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>xk在区间3，1上恒成立，试求k的范围解(1)由题意得f(1)ab10，a0，且1，a1，b2.f(x)x22x1，单调减区间为(，1，单调增区间为1，)(2)解法一：f(x)>xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1>k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减g(x)ming(1)1.k<1，即k的取值范围为(，1)解法二：f(x)>xk在区间3，1上恒成立，转化为x2x1k>0在区间3，1上恒成立，设g(x)x2x1k，则g(x)在3，1上单调递减，g(1)>0，得k<1.角度4二次函数的零点问题已知二次函数f(x)x22bxc(b，cR)(1)若f(x)0的解集为x|1x1，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)0，且关于x的方程f(x)xb0的两个实数根分别在区间(3，2)，(0,1)内，求实数b的取值范围解(1)设x1，x2是方程f(x)0的两个根由根与系数的关系得即所以b0，c1.(2)由题，知f(1)12bc0，所以c12b.记g(x)f(x)xbx2(2b1)xbcx2(2b1)xb1，则<b<，即实数b的取值范围为.方法技巧1识别二次函数图象的策略解答二次函数的图象问题应从开口方向、对称轴、顶点坐标及图象与坐标轴的交点在坐标系上的位置等方面着手讨论或逐项排除见角度1典例2二次函数在闭区间上的最值问题的类型及求解策略(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成见角度2典例3二次不等式恒成立问题的求解思路(1)一般有两个解题思路；一是分离参数；二是不分离参数(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.见角度3典例4解决一元二次方程根的分布问题的方法常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析冲关针对训练1(2017浙江模拟)已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为()A，B1，C2,3D1,2答案B解析由于函数f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt，函数f(x)x22tx1在区间(，1上单调递减，t1.则在区间0，t1上，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需1(t21)2，解得t .又t1，1t .故选B.2(2017南京模拟)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为(，0，若关于x的不等式f(x)>c1的解集为(m4，m1)，则实数c的值为_答案解析函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为(，0，0，即a24b0，b.关于x的不等式f(x)>c1的解集为(m4，m1)，方程f(x)c1的两根分别为m4，m1，即方程x2axc1两根分别为m4，m1，方程x2axc1根为x，两根之差为2(m1)(m4)5，c.1.(2017昆明质检)若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A0,4BC. D.答案D解析二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，由图得m.故选D.2(2017浙江高考)若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关答案B解析设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点，则mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，显然此值与a有关，与b无关故选B.由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为Mk，mk，而(Mk)(mk)Mm，故与b无关随着a的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值在变化，故与a有关故选B.3(2018枣庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x22x，如果函数g(x)f(x)m(mR)恰有4个零点，则m的取值范围是_答案(1,0)解析函数g(x)f(x)m(mR)恰有4个零点可化为函数yf(x)的图象与直线ym恰有4个交点，作函数yf(x)与ym的图象如图所示，故m的取值范围是(1,0)4(2018皖南模拟)已知函数f(x)x22x1，如果使f(x)kx对任意实数x(1，m都成立的m的最大值是5，则实数k_.答案解析设g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由题意知g(x)0对任意实数x(1，m都成立的m的最大值是5，所以x5是方程g(x)0的一个根，即g(5)0，可以解得k(经检验满足题意)基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017江西九江七校联考)幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上为增函数，则m的值为()A1或3B1C3D2答案B解析由题意知m24m41且m26m8>0m1，故选B.2(2018吉林期末)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()Aa>BaCa<0Da0答案D解析当a0时，函数f(x)2x3为一次函数，是递增函数；当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间(，4)上不可能是单调递增的，故不符合；当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴4，解得a，又a<0，故a<0.综合得a0.故选D.3如果函数f(x)x2bxc对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，那么()Af(2)<f(0)<f(2)Bf(0)<f(2)<f(2)Cf(2)<f(0)<f(2)Df(0)<f(2)<f(2)答案D解析由f(1x)f(x)知f(x)图象关于x对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f(0)<f(2)<f(2)故选D.4(2018聊城检测)若二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，则f(x)的表达式为()Af(x)x2x1Bf(x)x2x1Cf(x)x2x1Df(x)x2x1答案D解析设f(x)ax2bxc(a0)，由题意得故解得则f(x)x2x1.故选D.5(2018雅安诊断)如图是二次函数yax2bxc图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b2>4ac；2ab1；abc0；5a<b.其中正确的是()ABCD答案B解析因为图象与x轴交于两点，所以b24ac>0，即b2>4ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图象，当x1时，y>0，即abc>0，错误；由对称轴为x1，知b2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，正确故选B.6(2018济宁模拟)设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为()A4B2C1D3答案D解析由解析式可得f(4)164bcf(0)c，解得b4.f(2)48c2，可求得c2.f(x)又f(x)x，则当x0时，x24x2x，解得x11，x22.当x>0时，x2，综上可知有三解故选D.7二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意的xR都有f(x)f(4x)成立，若f(12x2)<f(12xx2)，则实数x的取值范围是()A(2，)B(，2)(0,2)C(2,0)D(，2)(0，)答案C解析由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x2，图象在对称轴左侧为减函数而12x2<2,12xx22(x1)22，所以由f(12x2)<f(12xx2)，得12x2>12xx2，解得2<x<0.故选C.8已知对任意的a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是()A1<x<3Bx<1或x>3C1<x<2Dx<2或x>3答案B解析f(x)x2(a4)x42a(x2)a(x24x4)记g(a)(x2)a(x24x4)，由题意可得即解得x<1或x>3.故选B.9已知函数f(x)ex1，g(x)x24x3，若有f(a)g(b)，则b的取值范围为()A2，2 B(2，2)C1,3D(1,3)答案B解析由题可知f(x)ex1>1，g(x)x24x3(x2)211，若有f(a)g(b)，则g(b)(1,1，即b24b3>1，解得2<b<2.故选B.10已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则xi()A0BmC2mD4m答案B解析由f(x)f(2x)知函数f(x)的图象关于直线x1对称又y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线x1对称，所以这两函数的交点也关于直线x1对称不妨设x1<x2<<xm，则1，即x1xm2，同理有x2xm12，x3xm22，又xixmxm1x1，所以2xi(x1xm)(x2xm1)(xmx1)2m，所以xim.故选B.二、填空题11(2017湖北孝感模拟)函数f(x)ax22x1，若yf(x)在区间内有零点，则实数a的取值范围为_答案(，0解析f(x)ax22x10，可得a21.若f(x)在内有零点，则f(x)0在区间内有解，当x<0或0<x时，可得a0.所以实数a的取值范围为(，012(2018九江模拟)已知f(x)x22(a2)x4，如果对x3,1，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为_答案解析因为f(x)x22(a2)x4，对称轴x(a2)，对x3,1，f(x)>0恒成立，所以讨论对称轴与区间3,1的位置关系得：或或解得a或1a4或<a<1，所以a的取值范围为.13(2017北京丰台期末)若f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，其中abc，对于下列结论：f(b)0；若b，则xR，f(x)f(b)；若b，则f(a)f(c)；f(a)f(c)成立的充要条件为b0.其中正确的是_(请填写序号)答案解析f(b)(ba)(bb)(bb)(bc)(bc)(ba)(bc)(ba)，因为abc，所以f(b)0，正确；将f(x)展开可得f(x)3x22(abc)xabbcac，又抛物线开口向上，故f(x)minf.当b时，b，所以f(x)minf(b)，正确；f(a)f(c)(ab)(ac)(ca)(cb)(ac)(ac2b)，因为abc，且2bac，所以f(a)f(c)，正确；因为abc，所以当f(a)f(c)时，即(ac)(ac2b)0，所以abc或ac2b，故不正确14对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_答案解析函数f(x)的图象如图所示设ym与yf(x)图象交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3.由yx2x2，得顶点坐标为.当y时，代入y2x2x，得2x2x，解得x(舍去正值)，x1.又yx2x图象的对称轴为x，x2x31，又x2，x3>0，0<x2x3<2.又0<x1<，0<x1x2x3<，<x1x2x3<0.三、解答题15(2018中山月考)设二次函数f(x)ax2bx(a0)满足条件：f(x)f(2x)；函数f(x)的图象与直线yx相切(1)求f(x)的解析式；(2)若不等式f(x)>2tx在|t|2时恒成立，求实数x的取值范围解(1)由知f(x)ax2bx(a0)的对称轴方程是x1，b2a.函数f(x)的图象与直线yx相切，方程组有且只有一解，即ax2(b1)x0有两个相等的实根(b1)20，b1，2a1，a.函数f(x)的解析式为f(x)x2x.(2)>1，f(x)>2tx等价于f(x)>tx2.x2x>tx2在|t|2时恒成立等价于一次函数g(t)xt<0在|t|2时恒成立，即解得x<3或x>3.实数x的取值范围是(，3)(3，)16已知函数f(x)ax2bxc(a>0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由a1，c0，得f(x)x2bx，从而|f(x)|1在区间(0,1上恒成立等价于1x2bx1在区间(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又x的最小值为0，x的最大值为2.2b0.故b的取值范围是2,0