2019版高考数学（文）高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.8　函数与方程 .docx

28函数与方程知识梳理1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)三个等价关系(3)存在性定理2一元二次方程根的分布情况设x1，x2是一元二次方程ax2bxc0(a，b，cR，且a>0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且m<n<p)3二分法(1)定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)<0，给定精确度；求区间(a，b)的中点c；计算f(c)a若f(c)0，则c就是函数的零点；b若f(a)f(c)<0，则令bc(此时零点x0(a，c)；c若f(c)f(b)<0，则令ac(此时零点x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复.诊断自测1概念思辨(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)若f(x)在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内没有零点()(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(必修A1P88T2)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.BC. D.答案A解析函数f(x)ex4x3，f(x)ex4>0，函数f(x)ex4x3在(，)上为增函数，且f(0)e032<0，f2<0，f1>0，ff<0，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为.故选A.(2)(必修A1P92T2)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表：x123456f(x)823568则函数f(x)存在零点的区间有()A区间2,3和3,4B区间3,4，4,5和5,6C区间2,3，3,4和4,5D区间1,2，2,3和3,4答案D解析由已知条件可得： f(1)8<0，f(2)2>0，f(3)3<0，f(4)5>0.可得f(1)f(2)<0，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，函数f(x)的图象是连续不断的，由零点判定定理可知：函数的零点在区间1,2，2,3和3,4故选D.3小题热身(1)(2013重庆高考)若a<b<c，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析a<b<c，f(a)(ab)(ac)>0，f(b)(bc)(ba)<0，f(c)(ca)(cb)>0，由函数零点存在判定定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在一个零点；又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内故选A.(2)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D(4，)答案C解析易知f(x)是单调递减函数f(1)6log216>0，f(2)3log222>0，f(3)2log23>0，f(4)log242<0，选项中包含f(x)零点的区间是(2,4)故选C.题型1函数零点所在区间的判断(2017乌鲁木齐一模)函数f(x)ex2x3的零点所在的一个区间是()A. B C. D.本题用定义法答案C解析fe23e4<0，f(0)2<0，fe2<0，f(1)e1>0，fe23e>0，因为ff(1)<0，所以零点在区间上故选C.已知函数f(x)ln xx2的零点为x0，则x0所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)用定义法或数形结合法答案C解析解法一：f(x)ln xx2在(0，)上是增函数又f(1)ln 112<0，f(2)ln 20ln 21<0，f(3)ln 3>0.故f(x)的零点x0(2,3)故选C.解法二：由f(x)0得ln xx2.作h(x)ln x，g(x)x2的图象，如图由图象可知x0(2,3)故选C.方法技巧判断函数零点所在区间的三种方法1解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上2定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点见典例1,2.3图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断见典例2.冲关针对训练1(2018福州质检)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案B解析解法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围作图如右：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.解法二：易知f(x)ln xx2在(0，)上为增函数，且f(1)121<0，f(2)ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点故选B.2已知f(x)若函数g(x)f(x)k有两个零点，则两零点所在的区间为()A(，0)B(0,1)C(1,2)D(1，)答案D解析在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图，由图易得若函数g(x)f(x)k有两个零点，即函数f(x)的图象与直线yk有两个交点，则k的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2)和(2，)内故选D.题型2函数零点个数的判定(2017南昌期末)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4本题用数形结合法答案B解析令f(x)2x|log0.5x|10，得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图). 由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f(x)有2个零点故选B.(2017郑州模拟)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x<2时，f(x)x3x，则函数g(x)f(x)a在区间4,4上的零点个数为4，则a的取值范围是()AB0C(0,6)D或(0,6)本题用数形结合法答案D解析画出函数yf(x)在区间4,4的图象及ya的图象，可知a，0<a<6.故选D.条件探究若本典例2的条件变为：f(x)是定义域为R上的奇函数，且f(x4)f(x)f(2)，x(0,2)时，f(x)2x23x1，则函数f(x)在4,4上有几个零点？解因为f(x4)f(x)f(2)，令x2，则f(2)f(2)f(2)，所以f(2)0.又函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(2)f(2)0，所以f(2)0，所以f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(0)0，f(4)0，f(4)0.当x(0,2)时，令f(x)2x23x10，得x或x1，即f(1)0，f0.所以f(1)0，f0，所以f(3)0，f0，f(3)0，f0.综上，函数f(x)在4,4上有13个零点方法技巧确定函数零点个数的方法及思路1解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质3数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点见典例1,2.提醒：用数形结合法确定零点个数时，关键是准确画出函数的图象，前提是熟悉基本初等函数的图象画法冲关针对训练1(2017西城区模拟)函数f(x)2xlog2|x|的零点个数为()A0B1C2D3答案C解析函数f(x)2xlog2|x|的零点个数，即为函数y2x的图象和函数ylog2|x|的图象的交点个数如图所示：数形结合可得，函数y2x的图象和函数ylog2|x|的图象的交点个数为2.故选C.2(2018山东实验中学诊断)若函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x1)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数为()A6B7C8D9答案C解析因为函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x1)，所以函数yf(x)(xR)是周期为2的周期函数又x1,1时，f(x)1x2，所以作出函数yf(x)(xR)与yg(x)的图象由图知，函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5内的零点的个数为8.故选C.题型3函数零点的应用角度1已知函数零点所在区间求参数的取值范围已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1，1内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.BC. D用数形结合法(或用分离系数法)答案A解析解法一：由题意画出f(x)的图象，如图所示令g(x)f(x)mxm0，得f(x)m(x1)，所以g(x)f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点，可转化为yf(x)与ym(x1)的图象在(1,1上有且仅有两个不同的交点ym(x1)是过定点(1,0)的一条直线，m是其斜率由数形结合知，符合题意的直线位于l1(x轴)与l2之间和l3与l4(切线)之间因为l4与yf(x)相切，所以3m(x1)有两个相等的实根，即m(x1)23(x1)10有两个相等的实根，即94m0，解得m.设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，易求k10，k2，k32，所以m.故选A.解法二：当x(1,0时，由g(x)0得3m(x1)，m23，g(x)有两个零点，求m的值域，可得m.g(x)有一个零点，求m的值域，m2，)，当x(0,1时，由g(x)0得xm(x1)，m1，g(x)有一个零点，求m的值域，可得m.g(x)有两个零点，求交集得m.综合上述，m.故选A.角度2已知函数零点个数求参数的取值范围(2018沈阳模拟)已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.BC. D用数形结合法答案D解析由yf(x)g(x)0得f(x)f(2x)b，设F(x)f(x)f(2x)，则F(2x)f(2x)f(x)，所以F(2x)F(x)，F(x)关于直线x1对称当0<x1时，F(x)f(x)f(2x)2x2(2x)2；当x0时，F(x)f(x)f(2x)2x(2x2)2x2x22，作出函数F(x)的图象如图所示，由图象可知，当F(x)b有4个零点时<b<2.故选D.角度3利用函数零点比较大小(2018广州一模)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式成立的是()Af(a)<f(1)<f(b)Bf(a)<f(b)<f(1)Cf(1)<f(a)<f(b)Df(b)<f(1)<f(a)用零点存在性定理答案A解析函数f(x)，g(x)均为定义域上的单调递增函数，且f(0)1<0，f(1)e1>0，g(1)1<0，g(e)e1>0，所以a(0,1)，b(1，e)，即a<1<b，所以f(a)<f(1)<f(b)故选A.方法技巧已知函数有零点(方程有根)，求参数的取值常用的方法1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围2分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再数形结合求解见角度1,2典例冲关针对训练1(2018昆明统考)已知函数f(x)满足f(x)f，当x1,3时，f(x)ln x，若在区间内，曲线g(x)f(x)ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是()A.BC. D答案C解析当x时，1,3，f(x)fln x，所以f(x)作出其图象，如图所示设x1,3时，直线yax与yln x的图象相切，其切点为(x0，y0)，则a，所以x0，所以y01，所以1ln ，所以a.又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为，可知曲线g(x)f(x)ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是.故选C.2(2017湖北二模)已知函数f(x)2xx1，g(x)log2xx1，h(x)log2x1的零点依次为a，b，c，则()Aa<b<cBa<c<bCb<c<aDb<a<c答案A解析作y2x，ylog2x，yx1的图象令函数f(x)2xx10，可知x<0，即a<0；令g(x)log2xx10，则0<x<1，即0<b<1；令h(x)log2x10，可知x2，即c2，显然a<b<c.故选A.1(2017全国卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a()AB C.D1答案C解析f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C.2(2017山东高考)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A(0,12，)B(0,13，)C(0，2，)D(0，3，)答案B解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当0m1时，1，如图，当x0,1时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；(2)当m1时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)故选B.3(2017南昌十校二模)已知函数f(x)2x21，函数g(x)则函数y|f(x)|g(x)的零点的个数为()A3B4C5D6答案C解析函数y|f(x)|g(x)的零点的个数，即|f(x)|g(x)0的根的个数，可得|f(x)|g(x)，画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图所示，观察函数的图象，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5.故选C.4(2017山西检测)已知f(x)则方程ff(x)3的根的个数是()A6B5C4D3答案B解析令f(x)t，则方程f f(x)3即为f(t)3，解得te3或e3，当f(x)e3时，解得x或xee3或xee3；当f(x)e3时，解得x(舍)或xee3或xee3，则方程ff(x)3有5个实根故选B.基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2017临汾三模)已知函数f(x)，g(x)：x0123f(x)2031x0123g(x)2103则函数yfg(x)的零点是()A0B1C2D3答案B解析由题意，g(x)1，x1.故选B.2(2017衡水调研)方程|x22x|a21(a>0)的解的个数是()A1B2C3D4答案B解析a>0，a21>1，而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点故选B.3若函数f(x)2ax2x1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是()A(1,1)B1，)C(1，)D(2，)答案C解析当a0时，函数的零点是x1，不合题意当a0时，若>0，f(0)f(1)<0，则a>1.若0，即a，函数的零点是x2，不合题意故选C.4(2017浙江嘉兴测试)已知函数f(x)xcosx，则f(x)在0,2上的零点个数为()A1B2C3D4答案C解析函数f(x)xcosx的零点个数为xcosx0xcosx的根的个数，即函数h(x)x与g(x)cosx的图象的交点个数如图所示，在区间0,2上交点个数为3.故选C.5(2017河南新乡三模)若函数f(x)log2(xa)与g(x)x2(a1)x4(a5)存在相同的零点，则a的值为()A4或B4或2C5或2D6或答案C解析g(x)x2(a1)x4(a5)(x4)x(a5)，令g(x)0，得x4或xa5，则f(4)log2(4a)0或f(a5)log2(2a5)0，解得a5或a2.故选C.6(2017河南十所名校联考)设函数f(x)xln x，则函数yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点答案D解析令f(x)0得xln x作出函数yx和yln x的图象，如图，显然yf(x)在内无零点，在(1，e)内有零点故选D.7(2017东城区期末)已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)<0，f(x2)<0Bf(x1)<0，f(x2)>0Cf(x1)>0，f(x2)<0Df(x1)>0，f(x2)>0答案B解析设g(x)，由于函数g(x)在(1，)上单调递增，函数h(x)2x在(1，)上单调递增，故函数f(x)h(x)g(x)在(1，)上单调递增，所以函数f(x)在(1，)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，)上f(x2)>0.故选B.8(2017江西赣州一模)函数f(x)，g(x)满足：对任意xR，都有f(x22x3)g(x)，若关于x的方程g(x)sinx0只有5个根，则这5个根之和为()A5B6C8D9答案A解析由f(x22x3)g(x)及yx22x3的图象关于直线x1对称知g(x)的图象关于直线x1对称，由g(x)sinx0，知g(x)sinx，因为ysinx的图象也关于直线x1对称，g(x)sinx0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.故选A.9(2017山东济宁模拟)定义在，上的函数f(x)满足f(x)f，且当x时，f(x)ln x，若函数g(x)f(x)ax在上有零点，则实数a的取值范围是()A.Bln ，0C. D.答案B解析令x1，则，因为f(x)f，且当x时，f(x)ln x，所以f(x)fln x，则f(x)在坐标系中画出函数f(x)的图象如图：因为函数g(x)f(x)ax在上有零点，所以直线yax与函数f(x)的图象有交点由图得，当a取满足题意的最小值时，直线yax与f(x)的图象相交于点(，ln )，此时ln aln ，由图可得，实数a的取值范围是ln ，0故选B.10.(2016天津高考)已知函数,f(x)(a>0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.BC. D答案C解析要使函数f(x)在R上单调递减，只需解之得a，因为方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，所以直线y2x与函数y|f(x)|的图象有两个交点，如图所示易知y|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为1，又12，故由图可知，直线y2x与y|f(x)|的图象在x>0时有一个交点；当直线y2x与yx2(4a3)x3a(x<0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则整理可得4a27a30，解得a1(舍)或a.而当3a2，即a时，直线y2x与y|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a.故选C.二、填空题11(2017河北模拟)若函数f(x)ln (x1)的零点在区间(k，k1)(kZ)上，则k的值为_答案3解析易知函数f(x)ln (x1)在其定义域上连续，f(3)ln 21<0，f(4)ln 3>0，故f(3)f(4)<0，故函数的零点在区间(3,4)上，故k3，故答案为3.12函数f(x)的零点个数是_答案2解析当x0时，令x220，解得x(正根舍)，所以在(，0上有一个零点当x>0时，f(x)2>0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 2<0，f(3)ln 3>0，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.13已知a是实数，函数f(x)2a|x|2xa，若函数yf(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析由题意易知a0，令f(x)0，即2a|x|2xa0，变形得|x|x，分别作出函数y1|x|，y2x的图象，如图所示由图易知，当0<<1或1<<0，即a<1或a>1时，y1和y2的图象有两个不同的交点，所以当a<1或a>1时，函数yf(x)有且仅有两个零点，即实数a的取值范围是(，1)(1，)14已知函数yf(x)(xR)对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称若h(x)是g(x)关于f(x)3xb的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_答案(2，)解析函数g(x)的定义域是2,2，根据已知得f(x)，所以h(x)2f(x)g(x)6x2b.h(x)>g(x)恒成立，即6x2b> 恒成立，即3xb>恒成立，令y3xb，y，则只要直线y3xb在半圆 x2y24(y0)上方即可，由>2，解得b>2(舍去b<2)，故实数b的取值范围是(2，)三、解答题15已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a.(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根，因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根(2)依题意，要使yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，只需即解得<a<.故实数a的取值范围为a.16(2017江西模拟)已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)若g(x)m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)x>0时，g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则yg(x)m就有零点m的取值范围是2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x>0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e2>2e，即m>e22e1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)