2018版高中数学人教B版必修一学案：2.1.4　函数的奇偶性 .doc

2.1.4函数的奇偶性学习目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.知识链接1.关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.2.如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形.3. 观察函数f(x)x和f(x)的图象(如图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？答案图象关于原点对称.预习导引1.函数奇偶性的定义(1)奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数.(2)设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数.2.奇、偶函数图象的对称性(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.解决学生疑难点要点一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数.(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称.当x>0时，x<0，f(x)1(x)1xf(x)；当x<0时，x>0，f(x)1(x)1xf(x).综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数.规律方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性.(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数的奇偶性.跟踪演练1(1)下列函数为奇函数的是()A.y|x| B.y3xC.y D.yx214(2)若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案(1)C(2)A解析(1)A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.(2)f(x)ax2bxc是偶函数，f(x)f(x)，得b0.g(x)ax3cx.g(x)a(x) 3c(x)g(x)，g(x)为奇函数.要点二利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如下图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为_.答案(2,0)(2,5)解析因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于原点对称.由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(2,0)(2,5).规律方法给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象.作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(x0，y0)，关于y轴的对称点为(x0，y0).跟踪演练2设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_.答案 x|5x2，或2x5解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解.当x0,5时，f(x)0的解为2x5，所以当x5,0时，f(x)0的解为5x2.f(x)0的解是5x2或2x5.要点三利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数f(x)(xR)是奇函数，且当x0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式.解当x0，x0，f(x)2(x)12x1.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x1.又f(x)(xR)是奇函数，f(0)f(0)，即f(0)0.所求函数的解析式为f(x)规律方法1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x0的情形.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0.2.利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式.跟踪演练3(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x0时，f(x)x22x，则函数f(x)在R上的解析式是()A.f(x)x(x2)B.f(x)x(|x|2)C.f(x)|x|(x2)D.f(x)|x|(|x|2)(2)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)等于()A.2 B.0 C.1 D.2答案(1)D(2)A解析(1)f(x)在R上是偶函数，且x0时，f(x)x22x，当x0时，x0，f(x)(x)22xx22x，则f(x)f(x)x22xx(x2).又当x0时，f(x)x22xx(x2)，因此f(x)|x|(|x|2).(2)当x0时，f(x)x2，f(1)122.f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.1.函数f(x)x2(x0)的奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案D解析函数f(x)x2(x0)的定义域为(，0)，不关于原点对称，函数f(x)x2(x0)为非奇非偶函数.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A.yx1 B.yx3C.y D.yx|x|答案D解析由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由yx|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数.3.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)的解析式为()A.f(x)x1 B.f(x)x1C.f(x)x1 D.f(x)x1答案B解析设x0，则x0.f(x)x1，又函数f(x)是奇函数.f(x)f(x)x1，f(x)x1(x0).4.已知函数yf(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)0的所有实根之和是()A.0 B.1 C.2 D.4答案A解析由偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.5.若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.答案4解析由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)为偶函数，则a40，即a4.1.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个条件，f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0).3.(1)若f(x)0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.