2022年恩施州巴东一中高中数学选修教案研究性课题杨辉三角.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 讨论性课题：杨辉三角 教学目标 : 学问目标 : 进一步探究杨辉三角的基本性质及数字排列规律,形成学问网络；才能目标 : 培育同学发觉问题、提出问题、解决问题的才能,重点培育创新才能；情感目标： 明白我国古今数学的宏大成就,增强爱国情感教学重点： 杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求；教学难点 :杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求；教学方法 : 引导探究 课时支配 : 2 课时 教学过程 一、课题引入 1引言 : 为什么要讨论杨辉三角？ 教学意图 讨论杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等学问后,连续讨论杨辉三角的性质,进一步探究杨辉三 角的基本性质及其中包蕴的数量关系,培育发觉问题、分析问题、解决问题的才能同时复习 巩固所学学问,发觉学问间的联系（2）通过探究杨辉三角,不断培育创新才能（创新是进展的不竭动力）（3）明白古今数学家的宏大成就,进行爱国主义训练；2什么是杨辉三角？ 教学意图 复习杨辉三角二项式（ a+b）n绽开式的二项式系数,当n 依次取 1,2,3时,列出的一张表,叫做二项式系数表,因它形如三角形,南宋的杨辉对其有过深化讨论,所以我们又称它为杨辉三角（如图）3介绍杨辉古代数学家的杰出代表 教学意图明白数学家杨辉及其成就, 增强民族骄傲感杨辉,杭州钱塘人；中国南宋末年数学家,数学训练家著作甚多,他 编著的数学书共五种二十一卷,著有详解九章算法 十二卷 （1261 年）、日 用算法二卷、 乘除通变本末三卷、 田亩比类乘除算法二卷、续古摘 奇算法 二卷其中后三种合称 杨辉算法 ,朝鲜、 日本等国均有译本出版,流传世界；“ 杨辉三角” 显现在杨辉编著的详解九章算法一书中,此书仍说明表内 除“ 一” 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书,且我国北宋数学家贾宪（约公元 明我国发觉这个表不晚于 11 世纪11 世纪）已经用过它,这表在欧洲,这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡第一发觉的（Blaise Pascal, 1623 年1662 年） , 他们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说,杨辉三角的发觉要比欧洲早 500年左右,由此可见我国古代数学的成就是特别值得中华民族骄傲的二、问题讨论观看杨辉三角所包蕴的数量关系名师归纳总结 1 1 1 1 11 1 1 1 第 1 页,共 7 页1 2 3 3 5 4 6 10 4 1 10 5 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1 1杨辉三角基本性质 教学意图介绍杨辉三角包蕴的基本规律Crr.n .r.（1）表中每个数都是组合数,第n 行的第 r+1 个数是nn（ 2）三角形的两条斜边上都是数字r C nCr1Cr1n1n1 ,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是（3）杨辉三角具有对称性（对称美）,即 C n rC n n r（4）杨辉三角的第 n 行是二项式（ a+b）n绽开式的 二项式系数 ,即n 0 n 1 n 1 1 r n r r n n a b C n a C n a b C n a b C n b 5 当 n 为偶数时 ,第 n 行有奇数项 ,中间一项最大 ;当 n 为奇数时 ,第 n 行有偶数项 ,中间两项相等且最大这条性质就是二项式系数的性质 2下面 , 师生一起连续探究杨辉三角包蕴的数量关系,形成学问网络2杨辉三角好玩的数字排列规律 教学意图培育同学观看力,留意观看方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多种角度观看（横看成岭侧成峰,远近高低各不同！）问题 1：杨辉三角的第 1,3,7,15,行,即第 2 K-1k 是正整数 行的各个数字有什么特点？分析：观看可知,它们均为奇数第 2 K行除两端的 1 之外都是偶数 . 延长：除两端的 1 之外,哪些行的各个数字是 3 的倍数？分析：第 3、9、, 、3 kk 是正整数 行；问题 2：杨辉三角第 5 行中,除去两端的数字 1 以外,行数 5 整除其余全部的数你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数是什么数？ 教学意图连续“ 横” 看分析：如 2,3,7,11 等行行数是质数 素数 . 问题 3：运算杨辉三角中各行数字的和,看有何规律：第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行112 2 12142 3 133182 4 14641162 5 15101051322第 n 行0 C nC1C2CrCn1Cnn 2n 行的和 2 n 小 1向右（左）上方作一条和左斜边平行nnnnn分析：第n 行数字的和为2n前 n 行 含第 0 行 全部数的和为2 n 1,它恰好比第问题 4：从杨辉三角中一个确定的数的“ 左（右）肩”动身,的射线,在这条射线上的各数的和等于这个数 教学意图 再引导同学“ 斜” 向看例如： 1012 34,名师归纳总结 2013610,第 2 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 教学意图 引导同学得出一般性的结论一般地, 在第 m条斜线上 （从右上到左下） 前 n 个数字的和,等于第 m+1条斜线上的第 n 个数依据这一性质,猜想以下数列的前 n 项和：111 1C 1n（第 1 条斜线）1 21 23 C n 1C n（第 2 条斜线）136 C n 21C n 3（第 3 条斜线）3 41410 C n 1C n（第 4 条斜线）CrCr1Cr2Cr1Cr1nr（第 r+1 条斜线）rrrnn问题 5：第 1 条斜线上的数字构成了常数列1,1,1, , 1, ；第 2 条斜线上的数字依次构成等差数列1,2,3, 4, ；二阶等差数列（其一阶差分数列是等差数列）1,3,6,10, ；三阶等差数列（其二阶差分数列是等差数列）1,4,10,20, ；,问题 6：如图,写出斜线上各行数字的和,有什么规律？ 教学意图 连续换一角度“ 斜” 向看 1,1,2,3,5, 8,13, 21,34,此数列 a n 满意 , a 1=1,a2=1, 且 an=an-1+an-2 n 3 这就是闻名的斐波那契数列 教学意图 以下介绍斐波那契“ 兔子繁衍问题” 增强趣味 性 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出 了一个饶好玩味的问题：假定一对刚诞生的兔子一个月就能长成大兔子,再过一个月就开头生下一对小兔 子,并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌,且均无死亡问一对刚诞生的小兔 一年内可以繁衍成多少对兔子？结论 ：兔子繁衍问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数 1,1, 2,3,5,8,13, , ,正好 是刚生的兔子, 第一个月后的兔子 其次个月后的兔子,第三个月后的兔子, , n 个月后的兔子的对数 “ 兔 13 个）,即 233子繁衍问题” 的答案就是第 12 行右下侧的数（第3同学自主探究：4与杨辉三角有关的应用 1 杨辉三角与弹子嬉戏（先介绍我国现代数学家华罗庚） 教学意图 介绍我国现代数学家华罗庚的成就、学习其 为科学献身的精神、增强爱国情感 华罗庚（ 1910-1985 ）是一位具有世界声誉的数学家,我国进入世界闻名数学行列最杰出的代表；撰写了不少高质量的10 部专著、 200 篇论文和 10 余部科普著作；由于他的奉献, 有很多定理、 引理、不等式与方法等都用他的名字命名为了推广优选法, 华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久,取得了明显的经济效益和社会效益,为我国经济建设作出了重大奉献在他的科普著作 从杨辉三角谈起中,对杨辉三角的构成,提出了一种好玩的看法 教学意图 下面介绍弹子嬉戏问题,本节的重要内容如图,在一块倾斜的木板上,钉上一些正六角形小木块,在它们中间留下一些通道,从上部的漏斗直通到下部的长方形框子；把小弹子倒在漏斗里,它第一会通过中间的一个通道落到第名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二层六角板上面 （有几个通道就算第几层）,以后,再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去, ,以此类推,算一算：C0C1C2r C nCn1Cn2nnnnnn个弹子通过n+1 层通道,落到各长方形框里的可能情形；分析：弹子从每一通道通过时可能情形是：它挑选左右两通道可能性是相等的,而其他任一个通道的可能情形,应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和；可以设想,第1 层只有条通道,通过的概率是 1 1第 2 层有条通道,每条通过的概率依次是1122第 3 层有 3 个通道,每条通过的概率从左到右依次是1 ,42 ,414第 4 层各通道通过的概率从左到右依次是1 ,3 23 ,3 23 ,3 223照这样运算第n+1 层有 n+1 个通道,弹子通过各通道的概率将是？引导同学写出此“ 概率三角形”数,分母是 2 n；（引导同学课后仿第（2）杨辉三角与“ 纵横路线图”,分析与杨辉三角的 关系 ：第 n 行各概率的分子是杨辉三角中的1 章复习小结例 1 解答） 教学意图杨辉三角又一实际应用, 学以致用“ 纵横路线图” 是数学中的一类好玩的问题图1 是某城市的部分街道图,纵横各有五条路,假如从A处走到 B处 只能由北到南,由西向东 ,那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转 45 度,使 A在正上方,B在正下方,然后在交叉点标上相应的杨辉三角数好玩的是,B 处所对应的数70,正好是答案 4 C 870 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数,就是从A 到达该点的方法数由此看来,杨辉三角与纵横路线图问题有自然的 联系（3）杨辉三角与“ 堆垛术”（三角垛,正方垛,） 教学意图 介绍我国古代数学的宏大成就堆垛术,引导同学自行探究数将圆弹堆成三角垛：底层是每边 n 的三角形,向上逐层每边少一个圆弹,顶层是一个圆弹,求总5展现同学探究成果通过投影仪展现同学探究结果,提高学习趣味性, 其次, 通过点评提高探究水平,培育创新才能6教学小结：古代数学家杨辉,通过“ 弹子嬉戏” 明白现代数学家华罗庚,增强爱国情感；系统探究杨辉三角包蕴的数字排列规律,培育观看、探究及创新才能；展现部分探究成果,相互沟通学习7作业 1 求弹子嬉戏中,弹子落入各长方形框的可能数目名师归纳总结 2 P.74 习题 1、2 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 杨辉三角形训练n1（06 湖北卷） 将杨辉三角中的每一个数r C 都换成n1r,1 Cn就得到一个如下图所示的分数三角形,成为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出n1rn1x11,其中1 C1 CnCr nnnx； 令an111111n13, 就3123060nC3 n1 Cni m n；解填 r1, 1/2.此题考查考生的类比归纳及推理才能,第一问对比杨辉三角的性质通过观看、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“ 脚下” 两数的和,故此时x r 1,其次问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和,即 a n3 C 12 0 4 C 13 1 5 C 14 2 nC 1n n1 3 n 1 1C n n 2 依据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 1n 1,就由每一行中的任一数都等于其“ 脚下” 两数的和,结合给出的n 1 C n数表可逐次向上求和为 12,故 a n 12 n 1 1C n n 1,从而 limx a n limx 12 n 1 1C n n 1 12；2、（07 湖南理 15）将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行, ,第 n 次全行的数都为 1 的是第行；第61 行中 1 的个数是第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 ,图 1 【答案】 2n1, 32 1 的是第 2n1行；n66 2163,【解析】由不完全归纳法知,全行都为故第 63 行共有 64 个 1,逆推知第 3. （2022 浙江卷理） 观看以下等式：1 C 55 C 53 22,62 行共有 32 个 1,第 61 行共有 32 个 1；1 C 175 C 171 C 131 C 95 C 99 C 97 23 2,5 C 139 C 1313 C 1311 25 2,9 C 1713 C 1717 C 1715 27 2, 由以上等式估计到一个一般的结论：名师归纳总结 对于nN*,1 C 4n15 C 4 n19 C 4n14 nC 4 n11n,二项指数分别第 5 页,共 7 页1答案：24n11n22n1【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题,结论由二项构成,其次项前有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为24 n1,22n1,因此对于n* N ,1 C 4 n15 C 4 n19 C 4 n14 nC 4 n124n11n22n1）14、如图 2 所示的三角形数阵叫“ 莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, 第 n行有 n 个数且两端的数均为1n2, 每个数是它下n一行左右相邻两数的和 , 如11行第 4 个数 从左往右数 为11,1 211,1 311, 就第102236412A1B1C1D112608405043605、杨辉三角的第8 行是： 1 7 21 35 35 21 7 1,其中 7,21,35 三个相邻的数成等差数列,你仍能在杨辉三角中找出其他在同一行中成等差数列的相邻三个数吗？6、如下列图的数阵叫“ 莱布尼兹调和三角形”,他们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n个数且两端的数均为1 nn2,每个数是它下一行左右相3邻两数的和,如：111 1 ,2 211 1 ,6 311, ,就第n n3行第123412个数字是 【答案】nn2n2,17、给出如下三角形数表, 此数表满意 : 1 第 n 行首尾两数均为n+1; 2 表中数字间的递推关系类似于杨辉三角形, 即除了“ 两腰” 上的数字以外 , 每一个数都等于它上一行左右“ 两肩” 上的两数之和, 第n 行第 n 个数是 _. 【答案】n2n2. 1 28、如右图 , 它满意 : 1 第 n 行首尾两数均为n ; 2 2 2 表中的递推关系类似杨辉三角, 就第 n 行n2第 2 个数是3 4 3 _ 4 7 7 4 【答案】n2n26 5 11 14 11 5 216 25 25 16 6 9、如下列图的三角形数阵叫“ 莱布尼兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的, 第 n 行有 n 个数且两端的数均为n 2 , 每个数是它下一行左右相邻两数的和, 如 = += += +, , 就第10 行第3 个数 从左往右数 为. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页