2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第2章 第05节 指数与指数函数 .doc

第五节指数与指数函数考点高考试题考查内容核心素养指数函数2016全国卷T85分指数式、对数式比较大小数学运算2016全国卷T75分指数式比较大小数学运算命题分析本节在高考中命题热点有三个：一是考查简单指数式的运算及比较大小问题，二是与其他知识结合考查指数型函数图像的识别与应用，三是考查指数型函数单调性的应用题型以选择题、填空题为主，分值5分.1正整数指数函数函数yax(a0，a1，xN)，叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N.2分数指数幂(1)定义一般地，给定正实数a，对于任意给定的整数m、n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bnam，我们把b叫作a的次幂，记作ba，它就是分数指数幂(2)规定：分数指数幂与根式的关系正分数指数幂的根式形式：a(a0)；负分数指数幂的根式形式：a(a0，m，nN且n1)；0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3指数幂的运算性质若a，b0，m，nR，则(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)(ab)nanbn.4指数函数的图像与性质a>10<a<1图像定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；当x>0时，0<y<1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数提醒：(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数(2)指数函数yax(a>0， a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.(3)指数函数图像在坐标系中的位置如下图所示，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)2a2b2ab.()(2)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(3)若am<an(a>0且a1), 则m<n.()(4)函数y2x在R上为单调减函数()答案： (1)(2)(3)(4)2化简 (x<0，y<0)得()A2x2yB2xyC4x2yD2x2y解析：选D2x2|y|2x2y.3函数f(x)3x1的值域为()A(1，)B(1，)C(0,1)D1，)解析：选B3x0，3x11，即函数f(x)3x1的值域为(1，)4函数f(x)ax21(a>0，且a1)的图像必经过点()A(0,1)B(1,1)C(2,0)D(2,2)解析：选D由f(2)a012，知f(x)的图像必过点(2,2)5(教材习题改编)若3x1>2x2，则x的取值范围是_解析：因为3x1>2x2，即23x1>2x23x1>x22x<3x<.答案： x<指数幂的运算明技法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答注意：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数提能力【典例】 计算：(1)0.5(0.008)(0.02)(0.32)；(2)(1)0.解：(1)原式252.(2)原式21(2)1(2)1.刷好题(金榜原创)化简的结果是()ABCD解析：选A依题意知x<0，故.指数函数的图像明技法指数函数的图像及应用(1)与指数函数有关的函数图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称、翻折变换得到其图像(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解提能力【典例】 (1)(2017黄山调研)函数f(x)(0<a<1)的图像大致是()(2) (2018衡水模拟)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_解析：(1)由题意得f(x)又0<a<1，结合图像可知选D(2)曲线|y|2x1与直线yb的图像如图所示由图像可得，如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则1b1.故b的取值范围是1,1答案：(1)D(2)1,1母题变式1 若将本例(2)中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线yb有两个公共点，求b的取值范围解：曲线y|2x1|与直线yb的图像如图所示由图像可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)母题变式2 若将本例(2)改为：函数y|2x1|在(，k上单调递减，求k的取值范围解：因为函数y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以k0，即k的取值范围为(，0刷好题1若函数yaxb1(a0且a1)的图像经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围分别是_解析：因为函数yaxb1(a0且a1)的图像经过第二、三、四象限，所以即答案：a(0,1)b(，0)2方程2x2x的解的个数是_解析：方程的解可看作函数y2x和y2x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解答案：1指数函数性质的综合析考情指数函数的性质特别是单调性， 备受高考命题专家的青睐高考常以选择题或填空题的形式出现， 考查幂值大小比较、解简单不等式、判断指数函数单调性以及求指数函数的最值等问题， 难度偏小， 属中低档题提能力命题点1：比较指数幂大小问题【典例1】 (2018大连检测)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aa<b<cBa<c<bCb<a<cDb<c<a解析：选C由指数函数y0.6x在(0，)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数yx0.6在(0，)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b<a<c，故选C命题点2：解简单的指数不等式或方程【典例2】(2014全国卷)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_解析：当x<1时，由ex12，得x<1；当x1时，由x2，解得1x8，综合可知x的取值范围为x8.答案：(，8命题点3：与指数函数有关的函数最值(值域)问题【典例3】 (2018武威检测)已知0x2，则y4x32x5的最大值为_解析：令t2x，0x2，1t4，又y22x132x5，yt23t5(t3)2，1t4，t1时，ymax.答案：命题点4：与指数函数有关的单调性问题【典例4】 已知函数f(x)a|x1|(a>0，且a1)的值域为1，)，则f(4)与f(1)的大小关系是_解析：|x1|0，函数f(x)a|x1|(a>0，且a1)的值域为1，)，a>1.由于函数f(x)a|x1|在(1，)上是增函数，且它的图像关于直线x1对称，则函数在(，1)上是减函数，故f(1)f(3)，f(4)>f(1). 答案：f(4)>f(1)悟技法指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法(2)简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 (如奇偶性、单调性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论刷好题1下列各式比较大小正确的是()A1.72.5>1.73B0.61>0.62C0.80.1>1.250.2D1.70.3<0.93.1解析：选BA中，函数y1.7x在R上是增函数，2.5<3，1.72.5<1.73.B中，y0.6x在R上是减函数，1<2，0.61>0.62.C中，0.811.25，问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小y1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，1.250.1<1.250.2，即0.80.1<1.250.2.D中， 1.70.3>1,0<0.93.1<1，1.70.3>0.93.1.2(2018蚌埠检测)设偶函数f(x)满足f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)>0()Ax|x2或x4Bx|x0或x4Cx|x0或x6Dx|x2或x2解析：选Bf(x)为偶函数，当x0时，f(x)f(x)2x4.f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x0.3(2018承德模拟)已知函数f(x)axb(a>0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a>1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0<a<1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得解得所以ab.答案：