2022年必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 平面对量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.懂得两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算 .2.能依据向量的坐标运算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式 .3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直学问点一 平面对量数量积的坐标表示如 ax1,y1,bx2,y2,就 a· bx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和摸索已知两个非零向量ax1,y1,bx2,y2,怎样用a 与 b 的坐标表示a· b？上述结论是怎样推导的？答案 推导： ax1iy1 j,bx2iy2 j,a·bx 1iy1 j · x2iy2 jx1x2i2x1y2i·jx2y1 j·iy1y2 j2.又 i·i1, j·j 1,i·j j·i 0,a·bx1x2y1y2.学问点二 平面对量的模1向量模公式：设 ax1,y1,就 |a|x 21y 21.2两点间距离公式：如 Ax 1,y1,Bx2,y2,就|AB |x2x1 2 y2y1 2.摸索 设 Ax1,y1,Bx2,y2为平面内任意两点,试推导平面内两点间的距离公式答案 推导： AB OB OAx2,y2x1,y1x2x1,y2y1,|AB |x2x1 2 y2y1 2.学问点三 平面对量夹角的坐标表示设 a,b 都是非零向量,ax1,y1,b x2,y2, 是 a 与 b 的夹角,依据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos a·b |a|b|x 2 1y x1x2y1y21·2 x 2 2y 22 .特殊地,如 ab,就有 x1x2y1y20；反之,如 x1x2y1y20,就 ab.名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 摸索 1已知向量 a2,1,b1,x,ab 就 x_. 2如 a3,0,b5,5,就 a 与 b 的夹角为 _3已知 A1,2,B2,3,C 2,5,就 ABC 的外形是 _三角形答案 12 23 4 3直角题型一 平面对量数量积的坐标运算 例 1 已知 a 与 b 同向, b1,2,a· b10.1求 a 的坐标；2如 c2, 1,求 ab· c及a· bc.解 1设 ab,2 >0,就有 a· b410,2,a2,42b· c1× 22× 10,a· b1× 22× 410,ab· c0a 0,a· bc102, 120, 10跟踪训练 1 已知 a3, 2,b4,k,如 5a b · b3a 55,试求 b 的坐标解a3, 2,b4,k,5ab11, 10kb3a5,k6,5ab · b3a11, 10k · 5,k6 55k10k 6 55,k10 k60,k 10 或 k 6,b4, 10或 b4, 6名师归纳总结 题型二平面对量的夹角问题1a 与 b 的夹角为直第 2 页,共 11 页例 2已知 a1,2,b1,分别确定实数 的取值范畴,使得：角； 2a 与 b 的夹角为钝角；3a 与 b 的夹角为锐角解设 a 与 b 的夹角为 ,就 a· b1,2 · 1,12.1由于 a 与 b 的夹角为直角,所以cos 0,所以 a· b0,所以 120,所以 1 2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2由于 a 与 b 的夹角为钝角,所以 cos <0 且 cos 1,所以 a· b<0 且 a 与 b 不反向由 a· b<0 得 12<0,故 <1 2,由 a 与 b 共线得 2,故 a 与 b 不行能反向所以 的取值范畴为,1 2 .3由于 a 与 b 的夹角为锐角,所以 cos >0,且 cos 1,所以 a· b>0 且 a,b 不同向由 a· b>0,得 >1 2,由 a 与 b 同向得 2.所以 的取值范畴为1 2,2 2, 跟踪训练 2 已知 a1, 1, b,1,如 a 与 b 的夹角 为钝角,求 的取值范畴解a1, 1,b ,1,|a|2,|b|12,a·b1.a,b 的夹角 为钝角1<0,即<1,212 1,221 0.<1 且 1. 的取值范畴是 , 11,1题型三平面对量数量积坐标形式的综合运用|与例 3已知在ABC 中, A2, 1、B3,2、C3, 1,AD 为 BC 边上的高,求 |AD点 D 的坐标解 设 D 点坐标为 x,y,就AD x2,y 1,BC 6, 3,BD x3,y2,D 在直线 BC 上,即 BD 与BC 共线,存在实数 ,使 BD BC ,即x3,y26, 3名师归纳总结 x 3 6.第 3 页,共 11 页y 2 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x32y2,即 x 2y1 0.又 ADBC,AD ·BC 0,即x2,y1 · 6, 30, 6x23y10.即 2xy 30.x1由 可得,y1即 D 点坐标为 1,1,AD 1,2|AD |1 2 225,即 |AD |5,D1,1跟踪训练 3 在平面直角坐标系内,已知三点 A1,0,B0,1,C2,5,求：1AB ,AC 的坐标；2|AB AC |的值；3cosBAC 的值解 1AB 0,1 1,01,1,AC 2,51,0 1,52由于 AB AC 1,1 1,52, 4,所以 |AB AC |22 422 5.3由于 AB·AC 1,1 · 1,54,AB 2,|AC |26,cosBACAB|AB|AC·AC|2×4262 13 . 13当心“ 角” 下陷阱名师归纳总结 例 4已知 a1,3,b2,设 a 与 b 的夹角为 ,要使 为锐角,求 的取值范畴第 4 页,共 11 页错解由于 为锐角,所以cos >0,由 a·b|a|b|cos 知,只需 a· b>0,即 1× 23>0,即>2 3.错因分析此题误以为两非零向量a 与 b 的夹角为锐角等价于a· b>0,事实上,两向量的夹- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 角 0, ,当 0 时,有 cos 1>0,对于非零向量a 与 b 有 a· b>0.两非零向量a 与 b的夹角为锐角的等价条件是 a· b>0 且 a 不平行于 b.正解 由 为锐角, 得 cos >0 且 0,由 ab|a| · | b|cos ,而|a|、|b|恒大于 0,所以 a· b>0,即 1× 23>0,即 >2 3；如 a b,就 1× 2× 30,即 6,但如 a b,就 0 或 ,这与 为锐角相冲突,所以 6.综上, >2 3且 6.1已知 a3, 1,b1, 2,就 a 与 b 的夹角为 A. 6B. 4C. 3D. 22已知向量a 1,n,b 1,n,如 2a b 与 b 垂直,就 |a|等于 A1 B.2 C2 D43已知向量m1,1,n2,2,如 mnmn,就 等于 A 4 B 3 C 2 D 14已知平面对量a2,4,b 1,2,如 c aa·bb,就 |c|_.5已知 a4,3 ,b1,21求 a 与 b 的夹角的余弦；2如ab2ab,求实数 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1已知向量 a 5,6,b6,5,就 a 与 b A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向2已知 a3,2,b 1,0,向量 ab 与 a2b 垂直,就实数 的值为 A1 7 B.1 7 C1 6 D.1 63平面对量 a 与 b 的夹角为 60°, a2,0,|b|1,就 |a2b|等于 A. 3 B2 3 C4 D 124已知 OA 2,1,OB 0,2,且 AC OB ,BC AB ,就点 C 的坐标是 A2,6 B2, 6C2,6 D2,65已知向量 a 2,1,a·b10,|ab|5 2,就 |b|等于 A. 5 B. 10 C5 D256已知向量 a 1,2,b2, 3如向量 c 满意 ca b,cab,就 c 等于 A. 9,7 B. 7 3, 7C. 7 3, 7 D. 7 9, 7二、填空题7已知 a3,3,b1,0,就 a2b ·b_.8如平面对量 a1, 2与 b 的夹角是 180°,且 |b|4 5,就 b_.9如 a2,3, b4,7,就 a 在 b 方向上的投影为 _10 设 a 2 , x, b 4,5 ,如 a 与 b 的夹角 为钝角,就 x 的取值范畴是_三、解答题名师归纳总结 11在 ABC 中, AB 2,3,AC 1,k,如 ABC 是直角三角形,求k 的值第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12已知平面对量 a1, x, b2x3, xxR1如 ab,求 x 的值；2如 a b,求 |a b|.13已知三个点 A2,1,B3,2,D1,4,1求证： AB AD；2要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当堂检测答案1答案 B解析|a|10,|b|5,a· b 5.cosa,ba·b |a|b|10×552 . 2又 a,b0, ,a 与 b 的夹角为 4.2答案 C解析2ab ·b2a·b|b|22 1n21n2n230,n± 3.|a|12 n22.3答案 B解析 由于 mn23,3,mn 1, 1,由mnmn,可得 mn · mn23,3 · 1, 1 260,解得 3.4答案 8 2解析a 2,4,b1,2,a·b2× 1 4× 26,ca6b,c2a2 12a·b36b22012× 636× 5128.|c| 8 2.5解 1a·b 4× 13× 22,|a|4 232 5,|b|12225,cos a·b |a|b| 2 5 52 25 . 52ab4,32,2ab7,8,又ab2ab,ab · 2 ab748320,52 9 .课时精练答案一、挑选题1答案 A解析 a· b 5× 66× 50,ab.名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2答案 A解析 由 a3,2,b1,0,知 ab31,2,a 2b1,2又ab · a2b0,314 0,1 7.3答案 B解析 a2,0,|b|1,|a| 2,a·b2× 1× cos 60 °1.|a2b|a24× a·b4b22 3.4答案 D解析 设 Cx,y,就 AC x2,y1,BC x,y 2,AB 2,1由AC OB ,BC AB ,得2 x 2 0,x 2,解得2xy20,y 6.点 C 的坐标为 2,65答案 C解析|ab|5 2,|ab|2a22a·bb252× 10b25 22,|b| 5.6答案 D解析 设 cx,y,就 cax1,y2,又ca b,2y23x10.又 cab, x,y · 3, 13xy0.解得 得 x7 9,y 7 3.二、填空题名师归纳总结 7答案13,第 9 页,共 11 页解析a2b1,a2b ·b1× 13× 01.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8答案 4,8解析由题意可设ba, 2,<0,就|b|2242 5280, 4,b 4a 4,89答案65 55 5,解析设 a、b 的夹角为 ,就 cos 2× 4 3× 72 2324 272故 a 在 b 方向上的投影为5 65 |a|cos 13×55 .或直接依据a· b |b|运算 a 在 b 方向上的投影10 答案 x<8 5且 x 5解析 为钝角, cos a·b |a|b|<0,即 a·b 85x<0,x<8 5.a b 时有 4x100,即 x5 2,2时, a2, 5 2 1 2b,当 x5a 与 b 反向,即 .故 a 与 b 的夹角为钝角时,x<8 5且 x 5 2.三、解答题名师归纳总结 11解AB 2,3,AC 1,k,第 10 页,共 11 页BC AC AB 1,k3如 A90°,就 AB·AC 2× 13× k0,k 2 3；如 B90°,就 AB ·BC 2× 13k30,k11 3；如 C90°,就 AC ·BC 1× 1kk30,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k3±213.故所求 k 的值为2 3或11 3或3±213.12 解1ab,a·b0,即 1× 2x 3x× x0,解得 x 1 或 x 3.2a b,1× xx2x30,解得 x 0 或 x 2.又|ab|ab2|a|22a·b|b|2,|ab|2 或 2 5.13 1证明 A2,1, B3,2,D1,4,AB 1,1,AD 3,3,又 AB·AD 1× 31× 30,AB AD ,即 ABAD.2解 AB AD ,四边形 ABCD 为矩形,AB DC .设 C 点坐标为 x,y,就 AB 1,1,DC x1,y4,x 11,x0,得y 41,y5.C 点坐标为 0,5名师归纳总结 由于 AC 2,4,BD 4,2,4 5.第 11 页,共 11 页所以 AC·BD 88 16>0,|AC |2 5,|BD |2 5.设AC 与BD 夹角为 ,就cos AC·BD|AC | · |16 204 5>0,|解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为- - - - - - -