2019届高考数学大一轮复习讲义：第六章　数列 第3讲　等比数列及其前n项和.3 .doc

6.3等比数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，G2ab，G，称G为a，b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列an的单调性(1)满足或时，an是递增数列(2)满足或时，an是递减数列(3)当时，an为常数列(4)当q<0时，an为摆动数列题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(6)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()题组二教材改编2已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_.答案解析由题意知q3，q.3在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.题组三易错自纠4若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值为_答案解析1，a1，a2,4成等差数列，3(a2a1)41，a2a11.又1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b144，且b21q2>0，b22，.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，11.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB210 KB)答案48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n64210216，n16.即病毒共复制了16次所需时间为16348(分钟).题型一等比数列基本量的运算1(2018开封质检)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2等于()A2 B1 C. D.答案C解析由an为等比数列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故选C.2(2018届河北衡水中学二调)设正项等比数列an的前n项和为Sn，且<1，若a3a520，a3a564，则S4等于()A63或120 B256C120 D63答案C解析由题意得解得或又<1，所以数列an为递减数列，故设等比数列an的公比为q，则q2，因为数列为正项数列，故q，从而a164，所以S4120.故选C.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解题型二等比数列的判定与证明典例 (2018潍坊质检)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.引申探究若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，n2，(*)又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)，当n1时(*)式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证跟踪训练(2016全国)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.(1)证明由题意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是ann1.(2)解由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.题型三等比数列性质的应用1已知数列an为等比数列，且a2a3a4a64，则tan等于()A.BCD答案B解析由等比数列的性质可得a2a3a4a64，a34，a7a3q4<0，结合a64可得a78，结合等比数列的性质可得a4a6a3a732，即tantan tantan .故选B.2(2017云南省十一校跨区调研)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于()A40 B60C32 D50答案B解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260，故选B.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN)思想方法指导(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3，4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1(nN)3分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n6分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.8分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.10分故对于nN，有Sn.12分1(2017福建漳州八校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5 C31 D33答案D解析设等比数列an的公比为q，则由已知得q1.S32，S618，得q38，q2.1q533，故选D.2(2017武汉市武昌区调研)设公比为q(q>0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1等于()A2 B1C.D.答案B解析由S23a22，S43a42，得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍去)或q，将q代入S23a22中得a1a13a12，解得a11，故选B.3(2018届河南洛阳联考)在等比数列an中，a2，a16是方程x26x20的根，则的值为()ABC.D或答案D解析由a2，a16是方程x26x20的根，可得a2a166，a2a162，显然两根同为负值，aq162，即有a2，则的值为a9.故选D.4(2017安阳一中模拟)已知数列an的前n项和Sn3n2，nN，则()Aan是递增的等比数列Ban是递增数列，但不是等比数列Can是递减的等比数列Dan不是等比数列，也不单调答案B解析Sn3n2，Sn13n12，anSnSn13n2(3n12)23n1(n2)，当n1时，a1S11不适合上式ana11，a26，当n2时，3.数列an从第二项起构成首项为6，公比为3的等比数列综上可得，数列an是递增数列，但不是等比数列5(2017广元模拟)等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10等于()A5 B9 Clog345 D10答案D解析由等比数列的性质知a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a69，则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510.6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里 B96里 C48里 D24里答案B解析设等比数列an的首项为a1，公比为q，由题意得378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里，故选B.7已知an是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S23，S415，则a3_.答案4解析S4S2a3a412，S2a1a23，q24，q2或q2(舍去)，a3a4a3(1q)3a312，a34.8在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_答案4解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4，得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，q21(舍去)，a6a2q41224.9已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和为_答案2n1解析设等比数列的公比为q，则有解得或又an为递增数列，数列an的前n项和为2n1.10已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN)，则通项an_.答案解析anSn1，an1Sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，又a1，数列an是首项为，公比为的等比数列，则ann1.11(2016全国)已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意，得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以an10，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.12已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解(1)anan1n，an1an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1a2，a2，b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列bnn1.(2)由(1)可知，an2an，a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列，T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.13(2017新乡三模)若数列an1an是等比数列，且a11，a22，a35，则an_.答案解析a2a11，a3a23，q3，an1an3n1，ana1a2a1a3a2an1an2anan1133n2，a11，an.14设数列an的前n项和为Sn，且a11，anan1(n1,2,3，)，则S2n3_.答案解析由题意，得S2n3a1(a2a3)(a4a5)(a2n2a2n3)1.15设an是等比数列，公比q，Sn为an的前n项和，记Tn，nN，设为数列Tn的最大项，则n0_.答案4解析由等比数列的前n项和公式得Sn，则Tn，令()nt，则Tn，当且仅当t，即t4时等号成立，即()n4，n4时，Tn取得最大值16(2017武汉市武昌区调研)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan(nN)，则数列Sn的前9项和为_答案解析因为Sn(1)nan，所以Sn1(1)n1an1(n2)两式相减得SnSn1(1)nan(1)n1an1，即an(1)nan(1)nan1(n2)，当n为偶数时，ananan1，即an1，此时n1为奇数，所以若n为奇数，则an；当n为奇数时，ananan1，即2anan1，所以an1，此时n1为偶数，所以若n为偶数，则an.所以数列an的通项公式为an所以数列Sn的前9项和为S1S2S3S99a18a27a36a43a72a8a9(9a18a2)(7a36a4)(3a72a8)a9.