2018版高中数学人教版A版必修五学案：§1.1.2　余弦定理（二） .docx

11.2余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题知识点一余弦定理及其推论1a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C2cos A，cos B，cos C3在ABC中，c2a2b2C为直角，c2>a2b2C为钝角；c2<a2b2C为锐角知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是_(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形；(4)已知一个三角形的三条边，解三角形答案(2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1在ABC中，cos2，其中a，b，c分别是角A，B，C的对边，则ABC的形状为()A直角三角形B等腰三角形或直角三角形C等腰直角三角形D正三角形答案A解析方法一在ABC中，由已知得，cos B，化简得c2a2b2.故ABC为直角三角形方法二原式化为cos B，cos Bsin Csin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，sin Bcos C0，B(0，)，sin B0，cos C0，又C(0，)，C，即ABC为直角三角形反思与感悟一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用跟踪训练1在ABC中，B60，b2ac，则三角形一定是()A直角三角形 B等边三角形C等腰直角三角形 D钝角三角形答案B解析由余弦定理cos B，代入得，a2c22ac0，即(ac)20，ac.又B60，ABC是等边三角形题型二正弦、余弦定理的综合应用例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.(1)证明：sin Asin Bsin C；(2)若b2c2a2bc，求tan B.(1)证明根据正弦定理，可设k(k>0)则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得：sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C，所以sin Asin Bsin C.(2)解由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B，故tan B4.反思与感悟(1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用跟踪训练2在ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值解(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B，即tan B，因为B是三角形的内角，所以B.(2)由sin C2 sin A及正弦定理得，c2a.由余弦定理及b3，得9a2c22accos，即9a24a22a2，所以a，c2.题型三利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：.证明在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，a2b2b2a22bccos A2accos B，2(a2b2)2accos B2bccos A，即a2b2accos Bbccos A，.由正弦定理得，故等式成立反思与感悟(1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异形式上一般有：左右；右左或左中右三种(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系跟踪训练3在ABC中，若acos2ccos2 ，求证：ac2b.解由题a(1cos C)c(1cos A)3b，即aacc3b，2aba2b2c22bcb2c2a26b2，整理得abbc2b2，同除b得ac2b，故等式成立例4已知钝角三角形的三边BCak，ACbk2，ABck4，求k的取值范围错解c>b>a，且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理得cos C<0.k24k12<0，解得2<k<6，k为三角形的一边长，k>0，由知0<k<6.错因分析忽略隐含条件kk2>k4，即k>2.正解c>b>a，且ABC为钝角三角形，C为钝角由余弦定理得cos C<0，k24k12<0，解得2<k<6，由两边之和大于第三边得k(k2)>k4，k>2，由可知2<k<6.误区警示在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边跟踪训练4若ABC为钝角三角形，三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是()A(1，) B(，5)C(，) D(1，)(，5)答案D解析(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且23>x，解得<x<5.(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x2>3，解得1<x<.故x的取值范围是(1，)(，5)1在ABC中，bcos Aacos B，则ABC是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D锐角三角形答案B解析由题ba，整理得a2b2，ab.2在ABC中，sin2Asin2Csin2Bsin Csin B，则A等于()A60 B45 C120 D30答案C解析由正弦定理得a2c2b2bc，结合余弦定理得cos A，又A(0，)，A120.3在ABC中，A120，AB5，BC7，则的值为()A. B. C. D.答案D解析由余弦定理BC2AB2AC22ABACcos A得7252AC225AC()，AC3或8(舍).4已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是()A(8，10) B(2，)C(2，10) D(，8)答案B解析只需让3和a所对的边均为锐角即可故，解得2<a<.5在ABC中，若b1，c，C，则a_答案1解析由余弦定理得c2a2b22abcos C，a21a3，即a2a20，解得a1或a2(舍)6已知ABC的三边长分别为2，3，4，则此三角形是_三角形答案钝角解析4所对的角的余弦为<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形 1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系2解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯