2019届高考数学大一轮复习讲义：第四章　三角函数、解三角形 4.5　两角和与差及二倍角的三角函数 第2课时 .doc

第2课时简单的三角恒等变形题型一三角函数式的化简1.等于()Asin BcosCsin Dcos答案D解析原式cos.2化简：.答案cos 2x解析原式cos 2x.3已知tan，且<<0，则.答案解析由tan，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .4已知为第二象限角，且tan tan2tan tan2，则sin.答案解析由已知可得tan2，为第二象限角，sin，cos，则sinsinsincossinsincos.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点题型二三角函数的求值命题点1给角求值与给值求值典例 (1)(2018合肥模拟)tan 70cos 10(tan 201)等于()A1 B2C1 D2答案C解析tan 70cos 10(tan 201)cos 101.(2)已知cos，<<，则的值为答案解析sin 2sin 2tan.由<<得<<2，又cos，所以sin，tan.coscos，sin ，sin 2.所以.(3)(2017合肥联考)已知，为锐角，cos，sin()，则cos.答案解析为锐角，sin .，0<<.又sin()<sin ，>，cos().coscos()cos()cossin()sin .命题点2给值求角典例 (1)设，为钝角，且sin ，cos，则的值为()A. B. C. D.或答案C解析，为钝角，sin ，cos，cos，sin ，cos()coscossin sin >0.又(，2)，.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为答案解析tan tan()>0，0<<.又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.引申探究本例(1)中，若，为锐角，sin ，cos，则.答案解析，为锐角，cos，sin ，cos()coscossin sin .又0<<，.思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角跟踪训练 (1)已知，且2sin2sin cos3cos20，则.答案解析，且2sin2sin cos3cos20，则(2sin 3cos )(sin cos)0，又，sin cos>0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos，sin ，.(2)(2017昆明模拟)计算：.答案4解析原式4.(3)定义运算adbc.若cos，0<<<，则.答案解析由题意有sin coscossin sin()，又0<<<，0<<，故cos()，而cos，sin ，于是sin sin()sin cos()cossin().又0<<，故.题型三三角恒等变形的应用典例 (2017浙江)已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcosx(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及递增区间解(1)由sin，cos，得f2222.(2)由cos 2xcos2xsin2x与sin 2x2sin xcosx，得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质，得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的递增区间为(kZ)思维升华三角恒等变形的应用策略(1)进行三角恒等变形要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性跟踪训练 (1)函数f(x)sin(x)2sin cosx的最大值为(2)函数f(x)sin2sin2x的最小正周期是答案(1)1(2)解析(1)因为f(x)sin(x)2sin cosxsin xcoscosxsinsin(x)，又1sin(x)1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，所以T.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2016天津)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性思想方法指导 (1)讨论形如yasinxbcosx型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数(2)研究yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图像解决规范解答解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tanxcosxcos4sin xcos4sin x2sin xcosx2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.5分所以f(x)的最小正周期T.6分(2)因为x，所以2x，8分由ysin x的图像可知，当2x，即x时，f(x)是减少的；当2x，即x时，f(x)是增加的10分所以当x时，f(x)在区间上是增加的，在区间上是减少的12分1(2018山东重点中学模拟)已知cos，(，2)，则cos等于()A.BC.D答案B解析cos，(，2)，cos.2.等于()A B. C. D1答案C解析原式.3(2017杭州质检)函数f(x)3sincos4cos2(xR)的最大值等于()A5 B. C. D2答案B解析由题意知f(x)sin x4sin x2cos x22，故选B.4设，且tan ，则()A3B2C3D2答案B解析由tan ，得，即sin coscoscossin ，sin()cossin.，由sin()sin，得，2.54cos 50tan 40等于()A.B.C.D21答案C解析原式4sin 40.6(2017豫北名校联考)若函数f(x)5cos x12sin x在x时取得最小值，则cos等于()A. B C. D答案B解析f(x)5cos x12sin x1313sin(x)，其中sin ，cos，由题意知2k(kZ)，得2k(kZ )，所以coscoscossin .7若cos，则sin的值是答案解析sinsincos 22cos2121.8已知方程x23ax3a10(a1)的两根分别为tan ，tan ，且，则.答案解析依题意有tan()1.又tan 0且tan 0，0且0，即0，结合tan()1，得.9已知cos4sin4，且，则cos.答案解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.10函数f(x)sin x2sin2x的最小值是答案1解析f(x)sin x2sin1，又x，x，f(x)min2sin 11.11设cos，tan ，<<，0<<，求的值解由cos，<<，得sin ，tan 2，又tan ，于是tan()1.又由<<，0<<，可得<<0，<<，因此，.12已知函数f(x)cos2xsin xcosx，xR.(1)求f的值；(2)若sin ，且，求f.解(1)fcos2sincos2.(2)因为f(x)cos2xsin xcosxsin 2x(sin 2xcos 2x)sin，所以fsinsin.又因为sin ，且，所以cos，所以f.13(2017南昌一中月考)已知，且cos，sin，则cos().答案解析，cos，sin，sin，sin，又，cos，cos()cos.14在斜ABC中，sin AcosBcosC，且tan BtanC1，则角A的值为答案解析由已知sin(BC)cosBcosC，sin BcosCcosBsinCcosBcosC，tan Btan C，又tan BtanC1，tan(BC)1，tan A1，又0<A<，A.15(2017武汉模拟)在ABC中，A，B，C是ABC的内角，设函数f(A)2sinsinsin2cos2，则f(A)的最大值为答案解析f(A)2cossinsin2cos2sin AcosAsin，因为0<A<，所以<A<.所以当A，即A时，f(A)有最大值.16已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cossin 的值解(1)由2k3x2k，kZ，得x，kZ，所以函数f(x)的递增区间为，kZ.(2)由已知，得sincos(cos2sin2)，所以sin coscossin (cos2sin2)，即sin cos(cossin )2(sin cos)当sin cos0时，由是第二象限角知，2k，kZ.此时，cossin ；当sin cos0时，有(cossin )2.由是第二象限角知，cossin <0，此时cossin . 综上所述，cossin 或.