2022年生产函数拟合 .pdf
精品资料欢迎下载题目：增加生产、 发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。用Q ，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas 生产函数：Q(K,L) = aKL， 0 , 1 （*）式中 , ，a要由经济统计数据确定。现有美国马萨诸塞州19001926 年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（* ）中的参数,，a。表 2 t Q K L t Q K L1900 1.05 1.04 1.05 1901 1.18 1.06 1.08 1902 1.29 1.16 1.18 1903 1.30 1.22 1.22 1904 1.30 1.27 1.17 1905 1.42 1.37 1.30 1906 1.50 1.44 1.39 1907 1.52 1.53 1.47 1908 1.46 1.57 1.31 1909 1.60 2.05 1.43 1910 1.69 2.51 1.58 1911 1.81 2.63 1.59 1912 1.93 2.74 1.66 1913 1.95 2.82 1.68 1914 2.01 3.24 1.65 1915 2.00 3.24 1.62 1916 2.09 3.61 1.86 1917 1.96 4.10 1.93 1918 2.20 4.36 1.96 1919 2.12 4.77 1.95 1920 2.16 4.75 1.90 1921 2.08 4.54 1.58 1922 2.24 4.54 1.67 1923 2.56 4.58 1.82 1924 2.34 4.58 1.60 1925 2.45 4.58 1.61 1926 2.58 4.54 1.64 提示：由于（ * ）式对参数, ，a是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用 MATLAB 软件中的曲线或曲面拟合命令。另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载解：方法一问题分析： 由于线性函数拟合求解较为方便准确，因此首先考虑线性函数拟合。问题处理： 由题设可知：Q(K,L) = aKL， 0 , 1 对等式两边进行取对数运算，得：Ln(Q)=Ln(a)+ *Ln(K)+*Ln(L) ，0, 1 可以令 b0=Ln（a） ，b1=，b2=，x1= Ln(K) ，x2=Ln(L) ，y= Ln(Q)那么远函数就变成了：y=b0+b1*x1+b2*x2, 0b1,b21 这样，一个非线性问题就变成了线性问题。问题解决： 使用 matlab 中的 regress函数进行多元变量线性拟合，在 matlab 中输入下列语句进行运算求解：%每年的产值z=1.05;1.18;1.29;1.30;1.30;1.42;1.50;1.52;1.46;1.60;1.69;1.81;1.93;1.95;2.01;2.00;2.09;1.96;2.20;2.12;2.16;2.08;2.24;2.56;2.34;2.45;2.58;x0=ones(27,1); %每年的资金x1=1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54; %每年的劳动力x2=1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64; %进行线性处理x3=log(x1); x4=log(x2); x=x0 x3 x4; y=log(z); %数据拟合B,BINT=regress(y,x) %作图grid on; plot3(x3,x4,y,*); hold on; t1=-1:0.1:2; t2=t1; X,Y=meshgrid(t1,t2); Z=B(1)+B(2).*X+B(3).*Y; mesh(X,Y,Z); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载由以上程序得到下列结果：B = 0.1626 0.4153 0.0619 BINT = 0.0886 0.2367 0.2987 0.5318 -0.2959 0.4196 由程序运算结果可知：a=exp（b0）=exp（B(1)）=1.1766 = B(2)=0.4153 =B(3)=0.0619 其中 、 的值符合题目的要求；而且，从图像的拟合效果来看，最终拟合结果还是满意的。此外，从程序的结果还看出，在置信度为95%的前提下，各个参数可以变动的区间由BINT的行向量表示出来了。-1012-1012-0.4-0.200.20.40.60.811.2原 始 数 据拟 合 函 数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页精品资料欢迎下载方法二问题分析：根据函数的表达式， 利用观测到的结果直接进行数据拟合，从而对系数进行求解。问题处理： 为了使观测数据便于编程求解，将K、L 两者的数据以矩阵的形式表示出来，如下所示：x=1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64 相应的 Q 的数据也用对应向量表示为：z=1.05;1.18;1.29;1.30;1.30;1.42;1.50;1.52;1.46;1.60;1.69;1.81;1.93;1.95;2.01;2.00;2.09;1.96;2.20;2.12;2.16;2.08;2.24;2.56;2.34;2.45;2.58 问题解决： 使用 matlab 中的 regress函数进行多元变量线性拟合，在 matlab 中输入下列语句进行运算求解：%使用在线函数，构造出题设函数fun=inline(b(1).*x(:,1).b(2).*x(:,2).b(3),b,x); %输入数据z=1.05;1.18;1.29;1.30;1.30;1.42;1.50;1.52;1.46;1.60;1.69;1.81;1.93;1.95;2.01;2.00;2.09;1.96;2.20;2.12;2.16;2.08;2.24;2.56;2.34;2.45;2.58; x=1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54;1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64; %设定初值 (这里用的是随机产生的)，使用 nlinfit 函数进行拟合b0=rand(3,1) b,r,=nlinfit(x,z,fun,b0) %作图plot3(x(:,1),x(:,2),z,*b); hold on; t1=1:0.05:5; t2=t1; X,Y=meshgrid(t1,t2); Z=b(1).*X.b(2).*Y.b(3); mesh(X,Y,Z); 由以上程序得到下列结果：b0 = 0.8909 0.9593 0.5472 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载b = 1.2246 0.4612 -0.1277 r = -0.1892 -0.0657 0.0060 -0.0086 -0.0402 0.0507 0.1108 0.1015 0.0033 -0.0291 -0.0759 0.0071 0.1028 0.1013 0.0345 0.0198 0.0450 -0.1984 -0.0161 -0.1914 -0.1546 -0.2409 -0.0645 0.2714 0.0135 0.1253 0.2702 根据程序所示，所取得初值为b0 =0.8909 0.9593 0.5472 a=b(1)= 1.2246 =b(2)= 0.4612 =b(3)= -0.1277 由图像看，似乎拟合的结果还行，但是 In nlinfitLMfit at 549 In nlinfit at 275 Warning: The Jacobian at the solution is ill-conditioned, and some model parameters may not be estimated well (they are not identifiable). Use caution in making predictions. In nlinfit at 351 b = 0.0000 61.8636 8.8296 结果出现了警告，提示拟合有问题。因此，用这种直接拟合的方式，初值很重要，有时能够取得不错的的结果，有时甚至霄壤之别。2.对于线性拟合和一次较好的非线性拟合，可以稍微讨论一下它们的拟合效果线性拟合中，可以使用求解的系数得到的函数式Q=1.1766*K0.4153*L0.0619，来计算数据的残差，由此计算出相应的二乘和为: r=sum(z-1.1766.*x1.0.4153.*x2.0.0619).2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载r = 0.4456 而非线性拟合中，直接使用算出的残差r 计算二乘和为r=sum(r.2) r = 0.4230 根据最小二乘法原理，非线性拟合得出的系数要比线性拟合的效果好一点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
