2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 二 极坐标系 .doc

二极_坐_标_系 1极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用表示线段OM长度，用表示射线Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对(，)就叫做点M的极坐标，记作M(，)(3)极坐标与直角坐标的区别与联系直角坐标极坐标区别点与直角坐标是“一对一”的关系由于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟一因此点与极坐标是“一对多”的关系联系直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数2极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；两种坐标系取相同的长度单位(2)互化公式，.点的极坐标例1已知点Q(，)，分别按下列条件求出点P的极坐标(1)点P是点Q关于极点O的对称点；(2)点P是点Q关于直线的对称点思路点拨确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义解(1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|OQ|，极角相差(2k1)(kZ)所以，点P的极坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)(2)由P、Q关于直线对称，得它们的极径|OP|OQ|，点P的极角满足2k(kZ)，所以点P的坐标为(，(2k1)或(，2k)(kZ)设点M的极坐标是(，)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(，)或(，)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(，)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(，)或(，)另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的1在极坐标系中，画出点A，B，C.解：如图所示2在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线的对称点的极坐标(规定>0，0,2)解：作出图形，可知A(3，)关于直线的对称点是.点的极坐标与直角坐标的互化例2(1)把点A的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(1，)化成极坐标(>0，0<2)思路点拨依据极坐标与直角坐标互化的公式解题解(1)x2cos，y2sin1，故点A的直角坐标为(，1)(2)2，tan .又因为点P在第四象限且0<2，得.因此点P的极坐标是.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析3点P的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为()A.B.C. D.解析：点P(，)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为.答案：B4若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系(1)已知点A的极坐标(4，)，求它的直角坐标；(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，2)和(0，15)，求它们的极坐标(0,02)解：(1)xcos 4cos2.ysin 4sin2.A点的直角坐标为(2，2)(2)2，tan 1.且点B位于第四象限内，点B的极坐标为(2，)又x0，y0，15，.点C的极坐标为. 一、选择题1在极坐标平面内，点M，N，G，H中互相重合的两个点是()AM和NBM和GCM和H DN和H解析：由极坐标的定义知，M、N表示同一个点答案：A2将点M的极坐标化成直角坐标是()A(5,5) B(5，5)C(5,5) D(5，5)解析：xcos 10cos5，ysin 10sin5.答案：A3在极坐标系中，12且12是两点M(1，1)和N(2，2)重合的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为1与2可相差2的整数倍答案：A4已知A，B两点的极坐标分别为和，则线段AB中点的直角坐标为()A. B.C. D.解析：AB中点的极坐标为，根据互化公式xcos cos ，ysin sin ，因此，所求直角坐标为.答案：B二、填空题5点关于极点的对称点为_解析：如图，易知对称点为.答案：6在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|_.解析：|AB|.答案：7直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于_解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小因为|AO|BO|3，AOB，所以OAB，所以ACO.答案：三、解答题8在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标解：设M(r,0)，因为A，所以 5，即r28r70.解得r1或r7.所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)9(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C，求它们的极坐标(0,02)解：(1)根据xcos ，ysin 得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根据2x2y2，tan 得A，B，C.10已知定点P.(1)将极点移至O处极轴方向不变，求P点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标解：(1)设P点新坐标为(，)，如图所示，由题意可知|OO|2，|OP|4，POx，OOx，POO.在POO中，242(2)2242cos1612244，2.又，sinOPO2，OPO.OPP，PPx.POx.P点的新坐标为.(2)如图，设P点新坐标为(，)，则4，.P点的新坐标为.