2022年椭圆知识点总结及经典习题练习 .pdf

第二部分圆锥曲线（一） - 椭圆知识点一：1、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为 椭圆即：|)|2( ,2|2121FFaaMFMF。注意： 若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；这两个定点称为椭圆的焦点 ，两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质：标准方程12222byax)0(ba12222bxay)0(ba图形性质焦点)0 ,(1cF，)0 ,(2cF),0(1cF，), 0(2cF焦距cFF221cFF221范围ax，bybx，ay对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点)0,( a，), 0(b), 0(a，)0,( b轴长长轴长 =a2，短轴长 =b2离心率) 10(eace准线方程cax2cay2焦半径01exaPF，02exaPF01eyaPF，02eyaPF注意： 椭圆12222byax，12222bxay)0(ba的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有)0(ba和) 10(eace，222cba；不同点： 两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。知识点二： 椭圆的标准方程1当焦点在x轴上时， 椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba， 其中222bac；注意： 1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；3椭圆的焦点总在长轴上 .当焦点在 x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0 ,( c；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c知识点三： 椭圆的简单几何性质椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。（3）顶点： 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0 ,(1aA，)0,(2aA，), 0(1bB，), 0(2bB线段21AA，21BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，aAA221,bBB221。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作acace22。因为)0(ca，所以e的取值范围是) 10(e。e越接近 1，则c就越接近a，从而22cab越小，因此椭圆越扁； 反之，e越接近于 0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当ba时，0c，这时两个焦点重合， 图形变为圆， 方程为ayx22。注意：椭圆12222byax的图像中线段的几何特征（如下图）：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - （1）)2(21aPFPF；ePMPFPMPF2211；)2(221caPMPM；（2）)(21aBFBF；)(21cOFOF；2221baBABA；（3）caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；规律方法：1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量cba,的几何意义椭圆标准方程中，cba,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边， b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4 方程均不为零）CBACByAx,(22是表示椭圆的条件方程CByAx22可化为122CByCAx，即122BCByACx，所以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆。 当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法： 由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共 焦 点 ， 则c 相 同 。 与 椭 圆12222byax)0(ba共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理） 、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、，有关角21PFF (21PFF21BFF) 结合起来，建立21PFPF、21PFPF之间的关系 . 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0ca，用ba、表示为) 10()(12eabe。显然：当ab越小时，) 10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，) 10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。（二）椭圆练习题一、选择题1、与椭圆9x2+4y2=36 有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( ) (A)185y80 x)D(145y20 x)C(125y20 x)B(120y25x222222222、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60 角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( ) (A)21(B)23(C)33(D)21或233、椭圆13622yx中,F1、F2为左、右焦点 ,A 为短轴一端点 ,弦 AB 过左焦点 F1,则ABF2的面积为( ) （A）3 （B）233（C）34（D）4 4、方程myx16m-2522=1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) (A)-16m25 (B)-16m29(C)29m295、已知椭圆1522myx的离心率 e=510，则 m 的值为( ) (A)3 (B)3 或(C)(D)或6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( ) (A)3倍(B)2 倍(C)2倍(D)23倍名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 7、椭圆 ax2by2ab=0(ab0)的焦点坐标为( ) (A)(0 ，ba) (B)( ba，0)(C)(0，ab) (D)( ab，0) 8、椭圆 x2+4y2=1 的离心率为( ) (A)2)D(25)C(22)B(239、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= ( ) (A)23(B)21(C)33(D)3110、曲线19y25x22与曲线1m9ym25x22(m9) 一定有( ) (A) 相等的长轴长(B)相等的焦距(C)相等的离心率(D) 相同的准线二、填空题11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆的方程为_；(2) 对称轴是坐标轴, 离心率等于23，且过点 (2 ，0) 的椭圆的方程是_12.(1) 短轴长为 6，且过点 (1 ，4) 的椭圆标准方程是_；(2) 顶点 (-6 ，0) ，(6，0) 过点 (3，3) 的椭圆方程是 _13. 已知椭圆2222ayax=1 的焦距为 4，则这个椭圆的焦点在_轴上，坐标是 _14. 已知椭圆1422ymx的离率为21，则 m= 三、解答题15、求椭圆)0(12222babyax的内接矩形面积的最大值16已知圆22yx，从这个圆上任意一点P 向y轴作垂线段 ，求线段的中点 M的轨迹 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 17ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6) 和C(0，-6) ，另两边AB、AC的斜率的乘积是 -94，求顶点 A的轨迹方程 .18. （本小题满分 15 分）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为 4，离心率为55. (1)求椭圆的标准方程；（2）若直线 l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且1659MN，求直线 l 的方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -