2022年数学物理方程与特殊函数模拟试题及参考答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思成都理工高校数学物理方程模拟试题一、填空题（ 3 分 10=30 分）1.说明物理现象初始状态的条件叫（）,说明边界上的约束情形的条件叫（）,二者统称为（）. S 为边2.三维热传导齐次方程的一般形式是： （） . 3 .在平面极坐标系下,拉普拉斯方程算符为（） . 4.边界条件uuSf是第（）类边界条件,其中n界. 5.设函数ux,t的傅立叶变换式为U,t,就方程2ua22u的傅立叶t2x2变换为 （） . ）. 6.由贝塞尔函数的递推公式有dJ0x（） . dx7.依据勒让德多项式的表达式有2P 2x1P 0x= （338.运算积分1P 2x2dx（） . 19.勒让德多项式P 1x 的微分表达式为（） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分别变量法求以下定解问题（30 分）：名师归纳总结 1.uux2u222u,00x0 ,3tx030 ,第 1 页,共 5 页t2x2,0u03t3x,ut0x0t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2.uut002u,0xu,4t40tx2x,0xx,02u3. 2u222 u16 ,0xx2,t,80（10 分）2 tux2u,0x02uut0t0,0 0x2t三、用达朗贝尔公式求解以下一维波动方程的初值问题2 2u 2 u2 a 2 cos x , x , t 0t xu t 0 sin 2 x , ut 0 0t四、用积分变换法求解以下定解问题（10 分）：2u ,1 x ,0 y 0x yu x 0 y ,1u y 0 ,1五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10 分）：名师归纳总结 J2xJ0''x1J0'x第 2 页,共 5 页x六 、 在 半 径 为1 的 球 内 求 调 和 函 数 u , 使 它 在 球 面 上 满 足ur12 cos,即所提问题归结为以下定解问题（10 分） : - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1rr2ur21sinu0 ,0r,10,r2rsinur13cos2,10.此题的 u只与,r有关,与无关 数学物理方程模拟试题参考答案一、 填空题：1.初始条件,边值条件,定解条件. 2.ua22u2u2ut2 xy2z23.1u12u0. 224. 三. 5.d2 U. a22 U2. yy02. dt26.J 1x7. 8.x . 2 . 521 . 19.1dx2dx10.ulnxx0二、试用分别变量法求以下定解问题名师归纳总结 1.解 令ux ,tXxTt,代入原方程中得到两个常微分方程：第 3 页,共 5 页T'' ta2Tt0,X''x Xx0,由边界条件得到X0 X 3 0,2 , 得 到对的 情 况 讨 论 , 只 有 当0 时 才 有 非 零 解 , 令Tnt2C;n22为特点值,特点函数Xn x Bnsinn,再解Tt,得到3232ntD;sin2nt,于是cosnn33- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思ux ,tn1Cncos2ntDnsin2ntsinnx,再 由 初 始 条 件 得 到333C n 23 0 33 x sin n3 xdxn 18 1 n 1, D n 0, 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为u x , t 18 1 n 1cos 2 n t sin n x ,n 1 n 3 32. 解 令 u x , t X x T t ,代入原方程中得到两个常微分方程：T ' t T t 0,X '' x X x 0,由边界条件得到 X 0 X 4 0,对2 2的情形争论,只有当 0 时才有非零解,令 2,得到 2 n24n 2 2 t为特点值,特点函数 X n x B n sin n,再解 T t ,得到 T n t C n ; e 16,4n 2 2 t于 是 u x , t C n e 16 s i n x n , 再 由 初 始 条 件 得 到n 1 4C n 24 0 42 x sin n4 xdxn 16 1 n 1, 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为n 2 2 tu x , t 16 1 n 1e 16 sin n x ,n 1 n 43.解 由于边界条件和自由项均与 t 无关,令 u x , t v x , t w x ,代入原 方 程 中 , 将 方 程 与 边 界 条 件 同 时 齐 次 化 ； 因 此2 2v2 4 v2 w '' x 16 4 w '' x 16 w x 2 x 2c 1 x c 2,再由边界条t x件有 w 0 0 , w 2 8,于是 c 1 ,8 c 2 0,w x 2 x 28 x .再求定解问题2 2v 2 v2 2 2 , 0 x 2 , t 0t xv x 0 ,0 v x 3 0 ,用分别变量法求以上定解问vv t 0 w x ,t t 0 0 , 0 x 2题 的 解 为 v x , t 16 1 n 323 3 1 n1 cos n t sin n x , 故n 1 n n 22 16 n 32 n n xu x , t 8 x 2 x 1 3 3 1 1 cos n t sin ,n 1 n n 2三. 解：名师归纳总结 令ux,tv x,t''w x , 代 入 原 方 程 中 , 将 方 程 齐 次 化 , 因 此第 4 页,共 5 页va22vwx2c o sa2'' wxc o s0wx 1c o s,再求定解t2x2a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2va22v,t0t22 x问题vt0sin2x1cosxw x ,vt00 ,由达朗贝尔公式得a2t到以上问sin题at1的解为1sin2xat1cosaatvx ,t2xcosxat0故2a2a2ux ,tsinxcosat1cosxcosatcosx .a2sinxcosat1cosxcosat1a2a2四. 解 ：对 y 取拉普拉斯变换Lux,yUx,p,对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到pdU1,Ux011,解这个微分方程得到dxpp2pUx,p1x11,再取拉普拉斯逆变换有ux,yyxy1p2p2p所以原问题的解为u x,yyxy1. 五. 证明 ：由公式dxnJnx xJ2xnJn1x 有xJ'nx J2nJnxJ'1xJn1x ,令n1dx1J1x ,有xJ' 1x ,所以x x又x J1xxJ'0x J1x ,J''0x J'1x ,所以J2x J''0x1J'0x. x六解：名师归纳总结 由分别变量法,令ur,Rr,得到ur,nCnrnP ncos,第 5 页,共 5 页0由 边 界 条 件 有ur13cos21CnP ncosc o sx, 令n02cos22r2,3 2x21 16x22c0P 0xc 1P 1xc2P 2x6x22c 0c 1xc2123 x21,r213cos21 6c 00 ,c 1,0c 24,故ur,4r2- - - - - - -