2018版高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案新人教A版必修4_.doc

1.2.2同角三角函数的基本关系学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它.答案3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin y，cos x.sin2cos2x2y2|OP|21.思考2由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？答案tan ，tan .梳理(1)同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21.商数关系：tan (k，kZ).(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21的变形公式sin21cos2；cos21sin2.tan 的变形公式sin cos tan ；cos .类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值为()A. B. C. D.答案D解析sin ，且为第四象限角，cos ，tan ，故选D.反思与感悟同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值.解由tan ，得sin cos .又sin2cos21，由得cos2cos21，即cos2.又是第三象限角，cos ，sin cos .命题角度2已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求角的其余三角函数值例2已知cos ，求sin ，tan 的值.解cos <0，且cos 1，是第二或第三象限角.(1)当是第二象限角时，则sin ，tan .(2)当是第三象限角时，则sin ，tan .反思与感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解.跟踪训练2已知cos ，求13sin 5tan 的值.解方法一cos <0，是第二或第三象限角.(1)若是第二象限角，则sin ，tan ，故13sin 5tan 135()0.(2)若是第三象限角，则sin ，tan ，故13sin 5tan 13()50.综上可知，13sin 5tan 0.方法二tan ，13sin 5tan 13sin (1)13sin 1()0.类型二利用同角三角函数关系化简例3已知是第三象限角，化简： .解原式 .是第三象限角，cos 0.原式2tan (注意象限、符号).反思与感悟解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3化简：(1)；(2) (为第二象限角).解(1)原式 1.(2)是第二象限角，cos 0，则原式 tan .类型三利用同角三角函数关系证明例4求证：.证明右边左边，原等式成立.反思与感悟证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).(3)比较法：即证左边右边0或1(右边0).(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.跟踪训练4求证：.证明方法一(比较法作差)0，.方法二(比较法作商)1.方法三(综合法)(1sin x)(1sin x)1sin2xcos2xcos xcos x，.类型四齐次式求值问题例5已知tan 2，求下列代数式的值.(1)；(2)sin2sin cos cos2.解(1)原式.(2)原式.反思与感悟(1)关于sin 、cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2转化为关于tan 的式子后再求值.(2)注意(2)式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式.跟踪训练5已知2，计算下列各式的值.(1)；(2)sin22sin cos 1.解由2，化简，得sin 3cos ，所以tan 3.(1)原式.(2)原式111.1.若sin ，且是第二象限角，则tan 的值等于()A. B. C. D.答案A解析为第二象限角，sin ，cos ，tan .2.已知sin cos ，则sin cos 等于()A. B. C. D.答案C解析由题得(sin cos )2，即sin2cos22sin cos ，又sin2cos21，12sin cos ，sin cos .故选C.3.化简 的结果是()A.cos B.sinC.cos D.sin答案C解析 |cos|，<<，cos<0，|cos|cos，即 cos，故选C.4.若tan 2，则sin cos .答案解析sin cos .5.已知sin ，求cos ，tan .解sin >0，是第一或第二象限角.当为第一象限角时，cos ，tan ；当为第二象限角时，cos ，tan .1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.课时作业一、选择题1.已知cos ，(，)，sin ，为第三象限角，则sin tan 等于()A. B.C. D.答案B解析cos ，(，)，sin ，是第三象限角，sin ，cos ，即tan ，则sin tan .故选B.2.已知是第二象限角，tan ，则cos 等于()A. B.C. D.答案C解析是第二象限角，cos <0.又sin2cos21，tan ，cos .3.已知A是三角形的一个内角，sin Acos A，则这个三角形是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案B解析sin Acos A，12sin Acos A，sin Acos A0，又A(0，)，sin A0，cos A0，即A为钝角.故选B.4.函数y的值域是()A.0,2 B.2,0C.2,0,2 D.2,2答案C解析y.当x为第一象限角时，y2；当x为第三象限角时，y2；当x为第二、四象限角时，y0.5.已知sin cos ，则tan 的值为()A.4 B.4 C.8 D.8答案C解析tan .sin cos ，tan 8.6.已知tan 2，则sin2sin cos 2cos2等于()A. B.C. D.答案D解析sin2sin cos 2cos2，又tan 2，故原式.7.已知，则等于()A. B.C.2 D.2答案B解析利用1sin2xcos2x，可得.二、填空题8.已知1，则在第 象限.答案二或四解析tan 21，tan 10，在第二或第四象限.9.已知R，sin 2cos ，则tan .答案 3或解析因为sin 2cos ，又sin2cos21，联立解得或故tan 或3.10.在ABC中，sin A，则角A .答案解析由题意知cos A>0，即A为锐角.将sin A两边平方，得2sin2A3cos A.2cos2A3cos A20，解得cos A或cos A2(舍去)，A.11.若sin ，tan >0，则cos .答案12.已知sin cos ，且<<，则cos sin .答案解析因为<<，所以cos <0，sin <0.利用三角函数线知，cos <sin ，cos sin .三、解答题13.已知tan ，求的值.解原式.四、探究与拓展14.若sin cos 1，则sinncosn(nZ)的值为 .答案1解析sin cos 1，(sin cos )21，又sin2cos21，sin cos 0，sin 0或cos 0.当sin 0时，cos 1，此时有sinncosn1；当cos 0时，sin 1，也有sinncosn1，sinncosn1.15.已知关于x的方程2x2(1)x2m0的两根为sin 和cos (0，)，求：(1)m的值；(2)的值(其中cot )；(3)方程的两根及此时的值.解(1)由根与系数的关系可知，sin cos ，sin cos m.将式平方得12sin cos ，所以sin cos ，代入得m.(2)sin cos .(3)由(1)得m，所以原方程化为2x2(1)x0，解得x1，x2.所以或又因为(0，)，所以或.