2022年数学椭圆的几何性质与标准方程及针对性练习高三专题复习解析几何专题.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 烟台芝罘区数学椭圆的几何性质与标准方程及针对性练习2022 高三专题复习 - 解析几何专题（ 1）第一部分：椭圆学问点一、椭圆的定义：（1）第肯定义 :平面内与两定点F 、F2距离和等于常数2a大于F1F 2）的点的轨迹叫做椭圆 . （2）其次定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e,当0e1时,点的轨迹是椭圆 . 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离. PF 22 a,2 aF 1F 20.椭圆定义的表达式：PF 1PF 22 a2 aF 1F 20;MPPF 1二、椭圆方程1. 椭圆的标准方程 : 名师归纳总结 焦点在 x轴:2 xy21ab0；焦点在 y 轴:y2x21ab0. .该性第 1 页,共 6 页a2b2a2b2a是长半轴长, b 是短半轴长,即焦点在长轴所在的数轴上,且满意a2b2c2.2.Ax2By2CA、B、C均不为零,且AB表示椭圆的条件为：2 AxBy21,x22 y1. CCCCAB所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆；当CC时,椭圆的焦点在x 轴上；A CB C当时,椭圆的焦点在y 轴上 . AB三、椭圆的几何性质（以x2y21ab0为例）a2b21. 有限性 :xa ,yb说明椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形里（封闭曲线）质主要用于求最值、轨迹检验等问题. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 对称性 :关于原点、 x 轴、 y 轴对称；3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A 1a0,、A 2a,0、B10 ,b、B20,b.4. 长轴、短轴、焦距：A 1A 2叫椭圆的长轴,A 1A 22 a ,a是长半轴长；B 1B2是短半轴长 . 叫椭圆的短轴,B 1B 22 b ,bF 1F 2叫椭圆的焦距；为2 c. 5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比 e ca2 2 2 2 2 2（2）Rt OB 2F 2 , B 2 F 2 OB 2 OF 2,即 a b c .这是椭圆的特点三角形,并且cos OF 2 B 2 的值是椭圆的离心率 . （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所在的坐标轴无关 .当 e接近于 1 时, c 越2 2 2 2接近于 a ,从而 b a c 越小,椭圆越扁；当 e接近于 0 时,c 越接近于 0,从而 b a c越大,椭圆越接近圆；名师归纳总结 6. 通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ,2 2 b. 2 c. 第 2 页,共 6 页a7. 设F 、F2为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,当P、F 1、F2三点不在同始终线上时,P、F 1、F2构成了一个三角形焦点三角形. 依椭圆的定义知：PF 1PF 22a ,F 1F 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次部分：椭圆标准方程典例椭圆的标准方程为：x2y21；一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方416三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,程；例 1：已知椭圆的焦点是F 10 ,1、求椭圆的标准方程；x 29y 24 1F20,1 ,P 是椭圆上一点,并且PF1PF 2例 求过点 3,2 且与椭圆2F1F2,求椭圆的标准方程；有相同焦点的椭圆的标准方程名师归纳总结 解：由 PF 1PF22F 1F22× 24,解：由于c 2945 ,所以设所求椭得 2a4. 又 c1,所以 b23. 圆的标准方程为x2ay 2251. 所以椭圆的标准方程是y 24x 231. 2a由点3,2 在椭圆上知9 2a4 a 251,练： 已知椭圆两个焦点为F 11,0 ,所以 a 215. F21,0 ,且 2a10 ,求椭圆标准方程答：2 x252 y241.所以所求椭圆的标准方程为2 x152 y10二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方1.程；四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方例： 1. 椭圆的一个顶点为A2,其长程；轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程例：已知中心在原点,焦点在x 轴上的解：（1 ）当A2,为长轴端点时,a2,椭圆与直线xy10交于 A 、B 两点,M 为b1,AB 中点, OM 的斜率为0.25 ,椭圆的短轴椭圆的标准方程为：x2y21；长为 2,求椭圆的方程41解： 由题意,设椭圆方程为x2y21,（2 ）当A2,为短轴端点时,b2,a2a4,xy10由x2y21,得1a2x22a2x0,a2第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xMx 12x 21aa2,2y M1xM112,a24,akOMy M111,x Ma24x2y2为所求4五、求椭圆的离心率问题；例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率名师归纳总结 解：2 c2a221e1,第 4 页,共 6 页c33c2a,y21的离心率e13 33x2练： 已知椭圆k892求 k 值答：k4或k5 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 椭圆标准方程针对性练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4 倍,就6、已知椭圆的中心在原点, 且经过点P3,此椭圆的离心率 e 等于（）a3 ,求椭圆的标准方程A1B.1C.1D.223447、 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,2、椭圆的两个焦点是F 10 ,3 和F203,一条 准 线方 程是y16, 就 此椭 圆 方程 是3（）Ax2y21B.x2y21169167C. x2y21D.x2y219167163、由椭圆x2y21的四个顶点组成的菱形916的高等于：；点 P 到两焦点的距离分别为435和235,过4、不论 k 为何实数值, 直线 y=kx+1和焦点在 x 轴的椭圆x2y21总有公共点,就P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的 一个焦点,求椭圆方程5的取值范畴是：；5、已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0,2）求 m 的值 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8、求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过椭圆标准方程针对性练习答案：名师归纳总结 A 3,2 和B23,1 两点的椭圆方程7、1、（ A ）2、（D ）第 6 页,共 6 页3、244、1y25；分析： 可设其方程为mx2ny21m0,5n0 ,且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,x215、故m56、直接可求出方程819x23y21或3x2y215101058、x2y21155- - - - - - -
