离散数学课后习题集标准答案(第三章).doc

,.证明 ：设A上定义的二元关系R为：x,y, u,vR= 对任意x,yA，因为=，所以x,y, x,yR即R是自反的。 设x,yA，u,vA，若x,y, u,vR=u,v,x,yR即R是对称的。 设任意x,yA，u,vA，w,sA，对x,y, u,vRu,v, w,sR（=）（=）=x,y, w,sR故R是传递的，于是R是A上的等价关系。3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系，证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b，使<a,b>在R之中，则R是一个等价关系。证明 ：对任意aA，必存在一个bA，使得a,bR.因为R是传递的和对称的，故有：a,bRb, cRa, cRc,aR由a,cRc, aRa,aR所以R在A上是自反的，即R是A上的等价关系。3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系，试确定下述各式，哪些是A上的等价关系，对不是的式子，提供反例证明。a）（AA）-R1；b）R1-R2；c）R12；d) r（R1-R2）（即R1-R2的自反闭包）。解 a）（AA）-R1不是A上等价关系。例如：A=a,b，R1=a,a，b,bAA=a,a，a,b，b,a，b,b（AA）-R1=a,b，b,a所以（AA）-R1不是A上等价关系。 b）设 A=a,b,c R1=a,b，b,a，b,c，c,b，a,c，c,a，a,a，b,b，c,c R2=a,a，b,b，c,c，b,c，c,b R1-R2=a,b，b,a，a,c，c,a 所以R1和R2是A上等价关系，但R1-R2不是A上等价关系。 c）若R1是A上等价关系，则 a,aR1a,aR1R1所以R12是A上自反的。若a,bR12则存在c，使得a, cR1c,bR1。因R1对称，故有b, cR1c,aR1b, aR12即R12是对称的。若a,bR12b, cR12,则有a,bR1R1b, cR1R1（$e1）（a, e1R1e1, bR1) （$e2）（b, e2R1e2, cR1）a,bR1b, cR1（R1传递）a,cR12即R12是传递的。故R12是A上的等价关系。 d）如b）所设，R1和R2是A上的等价关系，但 r（R1-R2）=（R1-R2）IA =a,b, b,a, a,c，c,a，a,a，b,b, c,c不是A上的等价关系。3-10.8 设C*是实数部分非零的全体复数组成的集合，C*上的关系R定义为：(a+bi)R(c+di)ac>0,证明R是等价关系，并给出关系R的等价类的几何说明。证明：(1)对任意非零实数a，有a2>0(a+bi)R(a+bi)故R在C*上是自反的。(2) 对任意(a+bi)R(c+di)ac>0,因ca=ac>0(c+di)R(a+bi),所以R在C*上是对称的。(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0cu>0若c>0，则a>0u>0 au>0若c<0，则a<0u<0 au>0所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。3-10.9 设和是非空集合A上的划分，并设R和R分别为由和诱导的等价关系，那么细分的充要条件是R R。证明：若细分。由假设aRb，则在中有某个块S，使得a,bS，因细分，故在中，必有某个块S，使S S，即a,bS，于是有aRb,即R R。反之，若R R，令S为H的一个分块，且aS，则S=aR=x|xRa但对每一个x，若xRa，因R R，故xRa，因此x|xRa x|xRa即aR aR设S=aR,则S S这就证明了细分。3-10.10 设Rj是表示I上的模j等价关系，Rk是表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。证明：由题设Rj=<x,y>|xy(modj)Rk=<x,y>|xy(modk)故<x,y>Rjx-y=cj (对某个cI)<x,y>Rkx-y=dk (对某个dI)a)假设I/Rk细分I/Rj，则Rk Rj因此<k,0>Rk<k,0>Rj故k-0=1k=cj (对某个cI)于是k是j的整数倍。b)若对于某个rI，有k=rj则：<x,y>Rkx-y=ck (对某个cI) x-y=crj (对某个c,rI)<x,y>Rj因此，Rk Rj，于是I/Rk细分I/Rjfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owghfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirghaoghaa;owgfjasasdhgaowirgha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