2022年数值分析部分思考题答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 数值分析部分摸索题答案5、解：（1）局部收敛性： 设有错很正常,不要吐槽就好. kx0,f x C2a b ,如 x为f x 在a b 上的根, 且fx就存在 x 的某邻域U收x使得任取初始值x 0Ux,Newton 法产生的序列敛到 x ；（ 2）证明：令g x xf x ,就x01xUx,有f g xf xfx明显g x 在f2x,使a b 上连续,故存在x的某邻域Ug x 1由微分中值定理,令Mg x xg xx其中 介于 与x之间kx收敛到 xxxUxg x x,xmax x U x g ,就 0M1,且其中 介于 与x之间xxg x xg M xxM x k1x, 于是序列x kxg x k1g xMkx 0x0,k由 Taylor 绽开：0f x1f x kfx kx kx,fkx kx2其中k介于x与 x k之间2.xxf x fkx kx2 fx k2.fx kxx kxfkfkxx k2fx2fx k2证毕名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、解：（1）迭代函数g x 20 / x22x10,就g x x240x11,x1.5x 00,迭代得2x2 10故迭代格式x k120 / xk22x k10收敛（2）迭代函数g x 202x2x3 /10,就g xk3xk41,x1.510故迭代格式x k1202xk2xk3 /10发散（3）对于 Newton 迭代,令f x x 32x 210 x20,就f 3x24x100,x1.5故 Newton 迭代格式xk1x kf x 收敛f 7、解：（ 1 ）牛顿迭代法：迭代格式x k1x k4x k3x kx k11；取初值122x 60.5000,收敛；,收敛；,发散；（2）迭代格式：x k131x k；取初值x 00,迭代得x 90.50004（3）迭代格式：x k113 4 x k,取x 00,迭代知k,x k一般情形,取适当的初值牛顿迭代法较基于不动点的迭代法能较快的得到结果；8、解：令H2 0 21 42 30 x ；0 ,1 ,2 x 均为三次式,且满意：名师归纳总结 （1）不 妨 设000 x1,010,020,01012 b1得b1； 由第 2 页,共 10 页100,111,120,110200,210,221,210000,010,020,01x1 2 ； 由 b002- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 01a10得a1；即0 1x2 1 x2；222名师归纳总结 （2）不妨设1 x x2pxq ；由11pq1 及11p0得,第 3 页,共 10 页 , p q0,1；即1 x x2；st0得（3）不妨设2 x x1 sxt；由2222 st1 及21 , 1,1；即2 1x x2 1；2221； 即（4）不 妨 设0 kx x1x2； 由0 1 k得 1k0xxx1 2 H3 3x35x25x1220 ,1 插值余项R x f4 x x2 1 x2,其中与 x 有关；4.9、解：不妨设H3 y 00 y 11 y 00 y 11 x ；0 ,1 ,均为三次式,为运算简便不妨设x 00,x 11,就1b 0001,010,000,010100,111,100,110000,010,001,010100,110,100,11 1不妨设0 x1ax2bxc ,由00c1得c1；由00得b1；由01a20得a2；故0 x2 1 2x11 x2 2x3用类似的方法可以求得：0 x x121 x2x1回到原题,令hx 1x ,就H3 y00xhx 0y 11xhx 0hy 00xhx 0hy 11xhx 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0 x1 2 2x11 x 2 2 x 3其中0 x x 1 221 x x 14插值余项：R x f x H 3 f x x 0 2x x 1 24.10、解：记 1998 年为第 1 年,设拟合曲线方程 r a bt ,带入数据得正规方程组：8 a 36 b 160.4636 a 204 b 910.7解得 , 0.15,4.49当 t 9 时,r 40.26；当 t 10 时,r 44.75；故 2006、 20XX年我国的讨论生招生人数分别为11、目测不考！12、解：（1）代数精度：如求积公式40.26 万、 44.75 万；名师归纳总结 bf x dxkn0A f xkm1次代数多项式不成立,就第 4 页,共 10 页a对于不高于 m 次的代数多项式都精确成立,而对某一个 称求积公式具有 m次代数精度；（2）令它对f x 2 1, , x x 精确成立,得abc2a134ac0b3ac2c133令f x 3 x ,左边0 ,右边0左边右边令f x 4 x ,左边2,右边2左边右边53故其代数精度为3 13、解：令它对f x 2 1, , x x 精确成立,得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2ax 180x 0,x 110,a4or10,103a x 0310 5a x 022 x 11655515令f x 3 x ,左边0右边,用复化 Simpson 公式近似运算令f x 4 x ,左边24,右边32左边右边3575故其代数精度为3 （2）e24320.2590357514、解：1142dx1 4arctan | 0；令f x 1420xxI1142dx0x2f1 4f1 2f3 4f1取步长h1,由复化 Simpson 公式,得：4S 411f04f1 8f3 8f5f746883.14159故 3.14159 ；算法的合理性：f x 形式简洁且易于运算,用复化 Simpson 公式精度较高；15、解：由题意知：A302D300021020L212U002000002000001210000Jacobi 迭代法的迭代矩阵为名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0023其特点方程为3IBB0IBD1A01012110223011211 120,得210,2331332,于是66故 Jacobi 迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为其特点方程为3IMDL1L200230012M002100111211031021201112120,11 12,于是M1112故 Gauss-Seidel迭代法收敛名师归纳总结 16、解：（1）Jacobi 方法的迭代格式： x 1k11 2 5x2 x 3 10第 6 页,共 10 页x2k11 5 x 1kx 3k20x 3k11 10 x 1k2x2k30- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1k11 2 5x 2kx 3 10名师归纳总结 Gauss-Seidel方法的迭代格式：x 2k11 5 x 1k1x 3 20第 7 页,共 10 页x 3k11 10x 1k12xk1302521500（2）A151D05012100010000021L100U00112000002155Jacobi 迭代方法的迭代矩阵：BID1A1015511010502155Gauss-Seidel迭代方法的迭代矩阵：MDL1 U02425250313125250（3）由于 A 是严格对角占优阵,所以Jacobi 迭代方法和Gauss-Seidel 迭代方法均收敛；17、解：（1）Jacobi 的迭代格式： +1）x 1cx 2 b 1x 2 +1） 5 cx 1kb 2Gauss-Seidel的迭代格式： +1）x 1cx 2 1b 1x 2k+1） 5 cx 1kb 2A1cD105 c101L00U0c5 c000- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Jacobi 的迭代矩阵：BID1A0c5 c0Gauss-Seidel的迭代矩阵：MDL1U0c1；2 5 c0,得02 5 c（2）两种迭代收敛的充分必要条件是其迭代矩阵的谱半径小于对 Jacobi 迭代,其特点方程IB5 cc25 c20,得125c 5c对 Gauss-Seidel迭代,其特点方程IM0c2 5 c10,25c2M5 c2由B1得,5c555由M1得,5c555故两种迭代收敛的充要条件均为：5c55518、解：由题意知：A211D200111010L112U002000011100001110000Jacobi 迭代法的迭代矩阵为名师归纳总结 BID1A011第 8 页,共 10 页2210111022- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 1其特点方程为3|IB|12251250,解得1410,251122i ,于是B22Jacobi 迭代法发散Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为其特点方程为|IMDL1U011210,解得2201122M|01110012221122201021 2,于是10,23M12Gauss-Seidel迭代法收敛19、解：（1）局部截断误差：在一步中产生的误差而非累积误差 : T n 1 y x n 1 y n 1其中 y n 1 是当 y n y x n （精确解）时由 Euler 法求出的值,即 ny 无误差；（2）名师归纳总结 Euler 方法局部截断误差总体截断误差第 9 页,共 10 页Euler 格式2 O hO h 隐式 Euler 格式2 O hO h 改进的 Euler 格式3 O hO h2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20、证明：由题意知：K2f x nth y nthK1O h22f x n,y nthfxx n,y nthf x n,y nfyx n,y nK3f x n1t h y n1t hK1fyx n,y nO hf x n,y n1t hfxx n,y n1t hf x n,y ny n1y nhK2K3,y nO h22h2 f x n,y nhfxx n,y nhf x n,y nfyx ny n2y nhf x n,y nh2fxx n,y nf x n,y nfyx n,y nO h32.y x n1y x nhy xnh2yxn3 O hx n,y nO h32.y nhfx n,ynh2fxx n,y nf x n,ynfy2.证毕21、解：（1）欧拉方法：yn11y n1hy nn1nhnnhn故只要 1h1,即h2时是肯定稳固的；（2）隐式欧拉法：名师归纳总结 故h0是肯定稳固的；y n1y n1hy n1第 10 页,共 10 页n1nhn1n11h1n- - - - - - -