2022年数列求和方法盘点大全.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数列求和方法盘点一、直接求和法（或公式法）把握一些常见的数列的前n 项和： 1 23 +n=n n1,1+3+5+ +2n-1=n222 12 2322 +n =n n12n1,3 1233 33 +n =n n12等. 62例 1 求2 12232422 5629922 100 解：原式222 1 422 3 622 5 2 1002 99 3711199 由等差数列求和公式,得原式50 3 19950502变式练习 ：已知log3xlog13,求xx2x3xn的前 n 项和 . 21解： 12n二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导,目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取,以便化简后求和. 2 81102的和例 2 求2 12 12222292322 382101022 1解：设S2 12 12222 22 9322 31022 110102就S1022 1222 92 932822 82 12 1102102两式相加,得2S111 0S5三、裂项相消法名师归纳总结 常见的拆项公式有：1k1 1 k n1,n1 nnN1 knkn,第 1 页,共 6 页n nnkk11 2 21111,等 . 1,的和2n12n1n2 n112 n2 n1n n2 n例 3 已知2 1226求32 152n72 12 12 22 12 22 32 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：a n1 22n1n 21学习必备欢迎下载61,2 n12 2n n12 n1n n6S n 6 1 1 11 2 2 3 n n 11 1 1 1 16 12 2 3 n n 116 1n 1ln.n 1小结： 假如数列 a n 的通项公式很简单表示成另一个数列 b n 的相邻两项的差, 即 a n b n 1 b ,就有 S n b n 1 b .这种方法就称为裂项相消求和法 . 变式练习： 求数列 1,1,1, ,1, 的前 n 项和 S. 1 3 2 4 3 5 n n 2 解：1= 1 1 1）n n 2 2 n n 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1Sn= 1 = 1 2 3 2 4 n n 2 2 2 n 1 n 23 1 1=4 2 n 2 2 n 4四、错位相减法源于等比数列前 n 项和公式的推导,对于形如 a b n 的数列,其中 a n 为等差数列, b n 为等比数列,均可用此法 . 例 4 求 x 3 x 25 x 32 n 1 x 的和n2 n 1 n 1解：当 x 1 时,S n x 2 x 1 x2 2 n 1 x；1 x 1 x 1 x2当 x 1 时,S n n 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列 b n 的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前 n 项和公式求和 . 变式练习： 求数列 a,2a 2,3a 3,4a 4, ,na n, a 为常数 的前 n 项和；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：（1）如 a=0, 就 Sn=0 （2）如 a=1,就 Sn=1+2+3+ +n=n n12（3）如 a 0 且 a 1 就 Sn=a+2a2+3a 3+4a 4+ + nan , aSn= a 2+2 a3+3 a4+ +nan+11-a Sn=a+ a 2+ a 3+ +a n- na n+1= a1an1anna 1n1 aa1 Sn= 当 a=0 时,此式也成立；a anan1 1a 21aSn= nn1 11 aa2 an1nan1a1a 21五、分组求和法如数列的通项是如干项的代数和,可将其分成几部分来求. 1211例 5 求数列211 1, , ,n8 1611,的前 n 项和S 4n 2S n2462 111211n n1223 224n2n变式练习： 求数列1 1 ,2 31,31,41,的前 n 项和92781解：n2n11n22 3基本练习1.等比数列 an 的前项和S 2 ,就2 a 1a22 a 3a2_. 2n2.设S n1357n 1 2n1,就S _. 3.1144173 n213n1. 4. 2141416.n1n3=_ 3 515. 数列1,12,122 2 ,12222n1,的通项公式a n,前n 项和S n名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6 1,3,5,2nn1,;学习必备欢迎下载的前 n 项和为 _ 222232提高练习1数列 an 满意： a11,且对任意的m, nN*都有： amnam an mn,就 111a1 a 1a 2a320224016 2022 2007A BC2022 2022 10042数列 an 、 bn 都是公差为 1 的等差数列,如其首项满意N *,就数列 a b n 前 10 项的和等于 2007 D2022a1 b15,a1b1,且 a1,b1A 100 B85 C70 1nn+7 D55 3设 m=1× 2+2× 3+3× 4+ +n-1·n,就 m 等于n n 2 1 1 1A. B. nn+4 C. nn+5 D.3 2 24如 Sn=1-2+3-4+ +-1 n-1·n,就 S17+S3350 等于 2A.1 B.-1 C.0 D.2 5设 an为等比数列 , bn为等差数列,且b1=0,cn=an+bn,如数列 cn 是 1,1,2, ,就 cn的前 10项和为 . A.978 2+98B.557 C.467 2-1 2 的值是D.979 61002-992-972+ +2A.5000 B.5050 C.10100 D.20220 7一个有 2001 项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为8如 12+22+ +n-12=an3+bn2+cn,就 a= ,b= ,c= . 9已知等差数列an 的首项 a11,公差 d0,且其其次项、第五项、第十四项分别是等比数列 bn 的其次、三、四项1求数列 an 与 bn 的通项公式；2设数列 cn对任意自然数n 均有c 1c2c 3c nan1成立b 1b 2b 3bn求 c1c2c3 c2003 的值10已知数列 an的前 n 项和 Sn满意 :Sn=2an+-1n,n1. 1求证数列 an+2 -1 3n 是等比数列 ; 2求数列 an 的通项公式；名师归纳总结 3证明：对任意的整数m>4,有1117.第 4 页,共 6 页a4a5am8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基础练习答案n 1、43122 、 1 n n3、n14、1 211n12n135 、2n1;2n12n3 n236S n3nn3；2提高练习答案 1解： amnamanmn, an1ana1nan1n,利用叠加法得到：ann n1,1n21 2 11, 112annnn1111a12 111111 20222a 1a2a32232022202220224016 2022答案： A. 2解： ana1n1,bnb1n1 a bna1bn1a1b1n11 a1b1n25n2n 3 就数列 a bn也是等差数列,并且前10 项和等于：41310852答案： B. an=n 2-n.,就依据分组集合即得. 3解：由于答案 ;A. 4解：对前n 项和要分奇偶分别解决,即：Sn=n21n为奇n 为偶n2答案： A 5解由题意可得a1=1,设公比为 q,公差为 d,就q2d212 n-1+1-n,Sn=978. qd q 2-2q=0,q 0,q=2,an=2n-1,bn=n-1-1=1-n, cn=2答案： A 6解：并项求和,每两项合并,原式 答案： B =100+99+98+97+ +2+1=5050. 7 解： 设此数列 an, 其中间项为 a1001, 就 S奇=a1+a3+a5+ +a2001=1001·答案 : 1001 1000a1001,S偶=a2+a4+a6+ +a2000=1000a1001. 名师归纳总结 8解：原式 =n1 n62n1 2 n33 n2n.第 5 页,共 6 页6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案：1 ; 1 ; 13 2 69解： 1由题意得 a1da113da14d 2d0 解得 d2, an2n1,可得 bn 3 n12当 n1 时, c13；名师归纳总结 当 n2 时,由c nb nan1an,得 cn2·3 n1,n. 第 6 页,共 6 页故c n3 n1 ,1 n2 .2n 3故 c1c2c3 c2003 32× 32× 3 2 2× 3 20023 200310 1证明由已知得 an=Sn-Sn-1=2an+-1n-2an-1-1n-1n2, 化简得an=2an-1+2-1n-1n2, 上式可化为an+2-1n=2an-1+2-1n-1n2, a1=1,a1+2-11=1. 3333故数列 an+2-1n 是以1 为首项,公比为 32 的等比数列 . 32解由（ 1）可知 an+2-1n=2n1. 33an= 3 1 × 2 n-1- 3 2-1n= 3 2 2n-2-1n,故数列 an 的通项公式为an= 3 2 2n-2-13证明由已知得111a4a5am=321123112m211 m3111112m211 m22239153363=1 111111 1111123511212351020=14111514222151311m5131041057.52m2312355m155215120120812故1117m4a4a5am8- - - - - - -
