2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：1.2.2 第二课时 组合的综合应用 .doc

第二课时组合的综合应用 有限制条件的组合问题例1现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？思路点拨分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步精解详析(1)从2件次品中任取1件，有C种抽法从8件正品中取2件，有C种抽法由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有CC56种(2)法一：含1件次品的抽法有CC种，含2件次品的抽法有CC种由分类加法计数原理知，不同的抽法共有CCCC56864种法二：从10件产品中任取3件的抽法有C种，不含次品的抽法有C种，所以至少有1件次品的抽法为CC64种一点通解答有限制条件的组合问题的基本方法：(1)直接法：优先选取特殊元素，再选取其他元素(2)间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，正难则反解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准1从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A9B14C12 D15解析：法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有CC种选法故共有CCC9种选法法二：(间接法)CC9种答案：A2在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，有2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解：分四类求解：从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有326种选法；从3名只会下象棋的的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有326种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有224种选法；从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的1名参加围棋比赛，有212种选法根据分类加法计数原理，一共有664218种不同的选法.与几何有关的组合问题例2平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？思路点拨解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数精解详析法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C56个不同的三角形由分类加法计数原理知，不同的三角形共有4811256216个法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C4种故这12个点构成三角形的个数为CC216个一点通1解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理2图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法3以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为_解析：正方体的8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有C1258个答案：584正六边形的顶点和中心共7个点，可组成_个三角形解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C332.答案：32排列与组合的综合应用问题例3(10分)有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？思路点拨男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决精解详析分两类：第一类，甲被选中，共有CCCA种分派方案；第二类，甲不被选中，共有CCA种分派方案根据分类加法计数原理，共有CCCACCA5 7607 20012 960种分派方案一点通本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则5从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A40个 B120个C360个 D720个解析：先选取3个不同的数，有C种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA40个三位数答案：A6某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A360 B520C600 D720解析：若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有CAA种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有CCA种不同的发言顺序综上可得不同的发言顺序为CAACCA600种答案：C解有限制条件的排列组合应用题的基本方法：(1)直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则(2)间接法：选择间接法的原则是正难则反，也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，特别是涉及“至多”、“至少”等问题时更是如此此时，正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键 1在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有()A36个B24个C18个D6个解析：若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有CCA36个答案：A2将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC12种安排方案答案：A3甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A150种 B180种 C300种 D345种解析：若这名女同学是甲组的，选法有CCC；若这名女同学是乙组的，则选法有CCC；故符合条件的选法共有CCCCCC345种答案：D4两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A10种 B15种 C20种 D30种解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C12种情形所有可能出现的情形共有261220种答案：C5直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有_个解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有CC225个答案：2256从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种解析：(间接法)共有CC34种不同的选法答案：347有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本解：(1)分三步完成：第一步，从9本不同的书中任取4本分给甲，有C种分法；第二步，从余下的5本书中任取3本给乙，有C种分法；第三步，把剩下的书给丙，有C种分法，所以共有不同的分法CCC1 260种(2)分两步完成：第一步，按4本、3本、2本分成三组，有CCC种分法；第二步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种分法，所以共有CCCA7 560种分法(3)用与(1)相同的方法求解，有CCC1 680种分法8从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有多少个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？解：(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有CCA100 800个(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有CCAA14 400个(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有CCAAA5 760个(4)(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有CCAA28 800个