2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：1.2 第二课时 排列的应用 .doc

第二课时排列的应用无限制条件的排列问题例1(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？思路点拨(1)选出3个课题进行排列；(2)每个学习小组都选一个课题精解详析(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列因此不同的安排方法有A54360种(2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事由分步计数原理得，共有555125种报名方法. 一点通没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可1某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目最多1项，则该外商不同的投资方案有_种解析：不同的投资方案有A43224种答案：242有5名男生和2名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：由题意知，从7人中选出5人担任5个学科课代表，共有A2 520种不同的选法答案：2 5203某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法根据分类计数原理，可以表示的信号共有AAA33232115种排队问题例27位同学站成一排(1)其中甲站在最左端的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种？思路点拨这是一个有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或位置优先安排的原则精解详析(1)先考虑甲站在最左端有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A种排法(2)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种，共有AA种排法法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A种，中间5个位置有A种，共有AA种排法(3)法一：分两类：乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有A种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种，中间5个位置选1个安排乙的方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种，故共有A55A种排法法二：考虑间接法，总排法为A，不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为A种，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有A2AA种排法一点通解决这种有限制条件的排队问题，关键是搞清元素是什么，位置是什么，根据给出的限制条件，按特殊元素(位置)恰当合理地分类或分步来解决4张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为_(用数字作答)解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法故总的排法有22A24(种)答案：2456个人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端解：(1)第一步，先从甲以外的5个人中任选两人站在左、右两端，有A种不同的站法；第二步，再让剩下的4个人站在中间的4个位置，有A种不同的站法，由分步计数原理有AA480种不同的站法(2)让甲、乙先站两端，有A种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A种不同的站法，由分步计数原理有AA48种不同的站法(3)以元素甲的位置进行考虑，可分两类：甲站右端有A种不同的站法；甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有44A种不同的站法，故共有A44A504种不同的站法组数问题例3用0,1,2,3,4这五个数字，组成五位数，(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？思路点拨该题目中的特殊元素为0，它不能放在首位(1)数字可以重复；(2)只需限制首位(即万位)不为0；(3)限制末位是奇数，首位不是0.精解详析(1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成五位数455552 500个(2)法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种方法，其余四个位置排四个数字共有A种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有AA96个法二：(优先考虑特殊元素)先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有A种方法，其余四个数字全排，有A种方法故组成的无重复数字的五位数共有AA96个(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1和3均可，有A种方法然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有A种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有A种方法故组成的无重复数字的五位奇数共有AAA36个一点通组数问题中常用的知识：(1)能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数(2)能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数(3)能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数(4)能被5整除的数的特征：末位数是0或5；能被25整除的数的特征：末两位数是25的正整数倍(5)能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数6用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？解：(1)先排首位，有A种排法，再排个位、十位和百位，有A种排法，故共有AA300个不同的四位数(2)当个位数字是0时，有A种；当个位数字不是0时，有AAA种所以，共有AAAA156个，即可组成156个偶数7在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有多少个？解：依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是奇数，从1,3,5三个数中选三个数排列，有A种方法；(2)3个数字中有一个是奇数，分两步进行，选一个奇数，有3种选法，这个奇数与两个偶数全排列，故有3A种方法由分类计数原理，共有A3A24个满足条件的三位数1解决排列问题时通常从以下三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如组数问题中的首位，如果所给数字中有0，应先考虑首位不为0；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，然后去掉不符合要求的排列2解决组数问题应注意的几点(1)首位数字不为0；(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；(3)若排列的数是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类对应课时跟踪训练(四)一、填空题1由1,2,3,4,5,6,7,8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为_(用数字作答)解析：A8756个答案：5625个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_种(用数字作答)解析：先排甲、乙之外的3人，有A种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A种排法，故共有AA72(种)排法答案：723A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有_种解析：根据题目的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故不同的排法有A432124(种)答案：244由数字1,2,3与符号“”和“”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是_解析：符号“”和“”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有AA12种答案：125将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是_(用数字作答)解析：由题意知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA4，由分步计数原理知满足条件的排列个数是240.答案：240二、解答题67名同学排队照相，(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？解：(1)分两步，先排前排，有A种排法，再排后排，有A种排法，符合要求的排法共有AA5 040种；(2)第一步安排甲，有A种排法；第二步安排乙，有A种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A种排法由分步计数原理得，符合要求的排法共有AAA1 440种7从3，2，1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数yax2bxc的系数a，b，c，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图像关于y轴对称的有多少个？解：(1)法一：(直接法优先考虑特殊位置)a0，确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A种，共有7A294个不同的二次函数法二：(直接法优先考虑特殊元素)a，b，c中不含0时，有A个，a，b，c中含有0时，有2A个，故共有A2A294个不同的二次函数法三：(间接法)共可构成A个函数，其中a0时有A个均不符合要求，从而共有AA294个不同的二次函数(2)(直接法)依题意b0，所以共有A42个符合条件的二次函数8用0,1,2,3,4,5这六个数字，(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个比1 325大的四位数？解：(1)五位数中为5的倍数的数可分两类：第1类：个位上是0的五位数有A个；第2类：个位上是5的五位数有AA个所以满足条件的五位数有AAA216(个)(2)比1 325大的四位数可分三类：第1类：千位上是2,3,4,5时，共有AA个；第2类：千位上是1，百位上是4,5时，共有AA个；第3类：千位上是1，百位上是3，十位上是4,5时，共有AA个由分类计数原理得，比1 325大的四位数共有AAAAAA270(个)