2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案：第3章 3.2 二倍角的三角函数 .doc

问题1：在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若，则公式可变形为何种形式？提示：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin2，tan 2.问题2：能否只用cos 或sin来表示cos 2？其公式又为何种形式？提示：cos 22cos2112sin2.倍角公式(1)sin 22sin_cos_.(2)cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_.(3)tan 2.1倍角公式与和角公式的关系倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令就可得到相应的倍角公式2倍角公式的适用范围公式S2，C2中，角可以为任意角；但公式T2只有当k及(kZ)时才成立，否则不成立(因为当k，kZ时，tan 的值不存在；当，kZ时，tan 2的值不存在)3倍角的相对性角的二倍关系是相对的，如2是的二倍角，4是2的二倍角，是的二倍角，2是的二倍角，等等在解决问题时，应确定所给角之间是否具备这种“二倍”关系，做到广义上的理解和运用 例1求下列各式的值：(1)2 sincos；(2)12sin2750；(3)；(4)coscos.思路点拨逆用二倍角公式化简求值精解详析(1)原式sinsin.(2)原式cos(2750)cos 1 500cos(604360)cos 60.(3)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60.(4)原式coscoscossinsin.一点通解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值1(四川高考)设sin 2sin ，则tan 2的值是_解析：sin 2sin ，所以cos ，又，所以，所以tan 2tantan.答案：2cos 105cos 15_.解析：cos 105cos 15cos(9015)cos 15sin 15cos 15sin 30.答案：3求值：(1)；(2)tan；(3)coscoscoscos.解：(1)原式cos2sin2cos.(2)原式222.(3)原式. 例2(1)已知cos ，求sin 2，cos 2和tan 2的值(2)已知sin，0<x<，求的值思路点拨(1)要求的sin 22sin cos 中缺少sin ，可结合条件首先求出来，进而求出tan ，为求tan 2作好准备(2)先由已知求得cos，再由诱导公式化简分子，cos 2xsin2sincos.由x与x的互余关系求分母，最后得解精解详析(1)cos ，sin .sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，tan .(2)x，x.又sin，cos.又cos 2xsin2sincos2.cossinsin，原式.一点通当遇到x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通cos 2xsin2sincos.类似这样的变换还有：(1)cos2xsin2sincos；(2)sin2xcos2cos21；(3)sin 2xcos12cos2等4已知tan 3，则_.解析：2.答案：25若，则tan 2_.解析：，等式左边分子、分母同除cos 得，解得tan 3，则tan 2.答案：6已知为第二象限角，cos sin，求：(1)sincos；(2)sin 2cos 2的值解：(1)cossin，1sin ，即sin .又为第二象限角，cos .cos2sin2，即cossin，即sincos.(2)sin 2cos 22sin cos 12sin2212()2. 例3求证：.思路点拨将角统一成2，先由二倍角的正切公式，将单角化成2，将求证式化成整式，再由二倍角的正弦、余弦公式化4为2.最后可从一边证到另一边精解详析原式可变形为1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)，式右边(12cos2212sin 2cos 2)(2cos222sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2)2sin 2cos 22sin22sin 41cos 4左边式成立，即原式得证一点通利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍半关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明7求证：tan4 A.证明：左边22(tan2 A)2tan4 A右边tan4 A.8求证：8sin4 cos 44cos 23.证明：法一：左边2(2sin2 )22(1cos 2)22(12cos 2cos22)24cos 21cos 4cos 44cos 23右边命题得证法二：右边2cos2214cos 232cos224cos 222(cos 21)28sin4 左边命题得证1倍角公式的变形与应用(1)由cos2cos2sin2 (2)由(sin cos )2sin2 cos2 2sin cos 1sin 2(3)由(sin cos )21sin 2根据这些变形式，可对三角函数式迅速化简或求值2证明三角恒等式的常用方法(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明的过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”；(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子；(3)把要证的等式进行等价变形；(4)两边作差，证明其差为0.课下能力提升(二十六)一、填空题1若sin，则cos _.解析：因为sin，所以cos 12sin2122.答案：2已知是第一象限角，且cos ，则的值为_解析：为第一象限角，且cos ，sin .原式.答案：3.的值是_解析：4.答案：44(上海高考)若cos xcos ysin xsin y，则cos(2x2y)_.解析：因为cos xcos ysin xsin ycos(xy)，所以cos2(xy)2cos2(xy)1.答案：5化简cos2sin2_.解析：原式cos x.答案：cos x二、解答题6化简：.解：1tan 10.原式 .7已知cos 2，(1)求tan (2)求.解：(1)由cos 2，得12sin2，sin2，<<，sin ，cos ，tan .(2)2.8已知sin(2)，sin ，且，求sin 的值解：，22.又0，0，2.而sin(2)0，22，cos(2).又0且sin ，cos ，cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin .又cos 212sin2，sin2，又，sin .