2022年新课标高中数学知识点大全4.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及结论大全（ 1）自然数集 N（2）正整数集 N *或 N+ ：（3）整数集 Z：（4）有理数集 Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集 R： （1）传递性：如 A B,B C,就 A C（2）空 集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集 .6、含有 n 个元素的集合 , 它的子集个数共有 2 n个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n 1 个 即不计空集 ；非空的真子集有 2 n 2 个. 88、充要条件（1）如 p q ,就 p 是 q 充分条件, q 是 p 必要条件 . （2）如 p q ,且 q p ,就 p 是 q 充要条件 . 注：假如甲是乙的充分条件,就乙是甲的必要条件；反之亦然 . 90、四种命题：原命题：如 p,就 q 逆命题：如 q,就 p 否命题：如p,就 q 逆否命题：如q,就 p 留意：（1）原命题与逆否命题同真同假,但逆命题的真假与否命题之间没有关系；（2） p 是指命题 P 的否定,留意区分“ 否命题”；例如命题P：“ 如a0,就b0” ,那么 P 的“ 否命题” 是：“ 如a0,就b0” ,而 p 是：“ 如a0,就b0” ；xR ,x1 2091、全称命题：含有“ 任意”、“ 全部” 等全称量词（记为）的命题,如P：特称命题：含有“ 存在”、“ 有些” 等存在量词（记为）的命题,如q：xR ,x21注：全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,如上述命题p 和 q 的否定：p：mR , m120, q：xR ,x2f1011、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）,就0（1）奇函数满意fxfx , 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满意fxfx,偶函数的图象关于y 轴对称；注：具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;如奇函数在原点有定义12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当x 1x 2时,都有fx 1fx 2,就fx在该区间上是增函数,图象从左到右上升；x 第 1 页,共 10 页当 x 1 x 2 时,都有213、一元二次方程 axfx 1fx 2,就fx在该区间上是减函数,图象从左到右下降；bxc0a02（1）求根公式 : x ,1 2 b b2 a（3）0 时方程有两个不等实根；4ac（2）判别式：b24 ac0 时方程有一个实根；0 时方程无实根；（4）根与系数的关系韦达定理:x 1x 2b,x 1x2caa14、二次函数：一般式yax2bxca0；两根式ya xx 1xx 2a0（ 1）顶点坐标为b,4acb2；（ 2）对称轴方程为：x=b；y 2 a0 2a4 a（ 3）当a0时,图象是开口向上的抛物线,在x=b处取得最小值4acab242 a当a0时,图象是开口向下的抛物线,在x=b处取得最大值4acb22a4 a（ 4）二次函数图象与x 轴的交点个数和判别式的关系：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0 时,有两个交点；0 时,有一个交点（即顶点）；0 时,无交点；15、函数的零点使f x f0的实数0x 叫做函数的零点；例如x01是函数fx x2x1 的一个零点；注：函数yx有零点函数yfx的图象与 x 轴有交点方程f0有实根16、函数零点的判定：假如函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有fafb0；那么,函数yfx在区间a,b内有零点,即存在ca ,b,使得fc0；86、解不等式（ 1）、含有肯定值的不等式当 a > 0时,有xa2cx2a2axa . 小于取中间 xax2a2xa 或 xa . 大于取两边 2 、解一元二次不等式axbxc,0 a0 的步骤：求判别式b24 ac000求一元二次方程的解：两相异实根一个实根没有实根画二次函数y2 axbx的图象结合图象写出解集ax2bxc0解集xxx 2或xx 1xx0bR恒成立R 02 aax2bxc0解集xx 1xx2对x注：ax2bxc0a0解集为 R ax2bxc （ 3）高次不等式：数轴标根法奇穿偶回,大于取上,小于取下（ 4）分式不等式：先移项通分,化一边为0,再将除变乘,化为整式不等式,求解；如解分式不等式xx11：先移项xx11n0 ;通分x1 3x;0n a na ；第 2 页,共 10 页x再除变乘2x1 x0,解出；N ,且n1）1. 如1x；（3） 17、分数指数幂（a0,m nm3m1（ 1）annam. 如x3x22；2anmamx3名师归纳总结 an- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 4）当 n为奇数时,nana ；当 n 为偶数时,nan|a|a a00. a a18、有理指数幂的运算性质（0a,0r,sQ）R 0a1（1）arasars；r a srs a；（3）abrarbr（2）且a19、指数函数yax（a1）,其中 x是自变量, a 叫做底数,定义域是a10a1a1图y y 图像y x 0 1 x 如N1 x 1 x 象性0 性质0 1 ab（1）定义域： R 0 ,就定义域： 0, （2）值域：（0,+）叫质（3）过定点（ 0,1）,即 x=0 时, y=1 值域： R （4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数做以过定点（ 1,0）取值范减函数为增函数底0<x<1 时, y<0 0<x<1 时, y>0 N围x>1 时, y>0 x>1 时, y<0 的对数；记作：log a N b（a 0 a 1,N 0）其中, a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数；对数函数 y log a x（a 0,且 a 1）：其中, x 是自变量,a叫做底数,定义域是 0 , 注：指数式与对数式的互化公式：log aN b a bN a 0, a 1, N 0（ 1）零和负数没有对数,即 log a N 中 N 0；（ 2）1 的对数等于 0,即 log a 1 0；底数的对数等于 1,即 log a 124、对数的运算性质（a0,a 1,M0,N0）1 log MN log a M log a N ; 2 log a Mlog a M log a N ; N3 log a M nn log a M n R （留意公式的逆用）a log a NN25、对数的换底公式 log a N log m N a 0 , 且 a 1 , m 0 , 且 m 1 , N 0 . log m a1 n n推论 或 log a b； log a m b log a b . log b a m26、28、幂函数3 y x（R ）,其中 x 是自变量；要求把握3 2 ,1 12 ,1, ,2 3 这五种情形 如下图 y x 3y x 22 y x21 1 y x 1名师归纳总结 1 y x 第 3 页,共 10 页- - - - - - -2 2-2 21 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 29、幂函数yx的性质及图象变化规律：（）全部幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（1,1）；（）当 0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间 0 , 上是增函数（）当 0 时,幂函数的图象在区间 0 , 上是减函数导数的几何意义：f / x 0 表示曲线 f x 在 x x 0 处的切线的斜率 k ；96、几种常见函数的导数1 C0（C为常数） . 2 xn'nxn1nQ . uv'v0. 3 sinxcosx. 4 cosx sinx. 5lnx1；axaxlna 6 x e x e;. （7）11xxx2导数的运算法就（1） uv' u'' v . （2）uv '' u v' uv . （ 3）u'' u vv2v在某个区间（ a , b）内,假如f' x0,那么函数yf x 在这单调递增,假如f' x0；单调减；99、判别f0x是极大（小）值的方法极大值1 求导f x ；（2）令fx=0,解方程,求出全部实根fx 0的正负情形：微小值（ 3）列表,判定每一个根0x 左右两侧' x 假如在0x 邻近的左侧f x 0,右侧fx0,就fx 0是极大值；假如在0x 邻近的左侧f x 0,右侧fx0,就fx 0是微小值 . 100、求函数在闭区间a , b上的最值的步骤：（1）求函数f x 的全部极值；（2）求闭区间端点函数值fa,fb；（3）将各极值与fa,fb 比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值；留意：（1）无论是极值仍是最值,都是函数值,即fx0,千万不能写成导数值f/ x 0；（2）如在某区间内只有一个极值,就不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值；103、常用不等式：（ 1）重要不等式 : 如a bR ,就a2b222ab 当且仅当 a b 时取“=” 号 （ 2）基本不等式 : 如a0 b0,就=” 号 abab 当且仅当 ab 时取“基本不等式的适用原就可口诀表示为：一正、二定、三相等当 ab 为定值时,a b 有最小值,简称“ 积定和最小”当 a b 为定值时, ab 有最大值,简称“ 和定积最大”线性规划：（ 1）一条直线将平面分为三部分（如图）：ByC0第 4 页,共 10 页（ 2）不等式AxByC0表示直线Ax名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 某一侧的平面区域,1 先画出边界直线2 再运用“ 同正异负” 口诀判定区域所在位置；验证方法：取原点（0,0）代入不等式,如不等式成立,就平面区域在原点所在的一侧；假如直线恰好经过原点,就取其它点来验证,例如取点（1, 0）；（ 3）线性规划求最值问题：一般情形可以求出平面区域各个顶点的坐标,代入目标函数 z ,最大的为最大值；：V 柱S 底 h,锥体体积：V 锥1 S 底 h3球表面积公式：S球 4 R 2,球体积公式：V 4 R 3（上述四个公式不要求记忆）335、直线与平面平行：判定 平面外一条直线与此平面内的始终线平行,就该直线与此平面平行；性质 一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；36、平面与平面平行：判定 如一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平 行；性质 假如两个平面平行,就其中一个面内的任始终线与另一个平面平行； 假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行；37、直线与平面垂直：判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,就这条直线与这个平面垂直；性质 垂直于同一平面的两条直线平行；两平行直线中的一条与一个平面垂直,就另一条也与这个平面垂直；38、平面与平面垂直：判定一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直；z 22第 5 页,共 10 页性质两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；（2） O 为ABC 的重心（各边中线的交点）. 重心将中线分成2：1 的两段 1 过Ax 1,y 1,Bx2,y2两点的直线,斜率ky 2y 1,（x 1x2）x 2x 1（3）曲线yfx在点（x0y 0处的切线,其斜率kfx041、直线位置关系：已知两直线l1:yk1xb 1,l2:yk2xb 2,就l1/l2k1k2且b 1b 2l1l2k 1k 21特别情形：（1）当k1,k2都不存在时,l 1/ l2；（2）当1k 不存在而k 20时,l 1l242、直线的五种方程：点斜式yy 1k xx 1 直线 l 过点x 1y 1,斜率为 k 斜截式ykxb 直线 l 在 y 轴上的截距为b ,斜率为 k . 两点式yy 1xx 1 直线过两点x 1y 1与x 2y2. y2y 1x2x 1截距式xy1（a,b分别是直线在x 轴和 y 轴上的截距,均不为0）ab一般式AxByC0其中 A、B 不同时为 0；可化为斜截式：yAxCBB43、（1）平面上两点A x 1,y 1,Bx2,y2间的距离公式：|AB|=x 1x22y1y22（ 2）空间两点A x 1,y 1,z 1,B x2,y2,z 2距离公式 |AB|=x 1x22y1y22z 1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 3）点到直线的距离d|Ax0ABy02C|点P x 0,y 0,直线 l ：AxByC0. 2BC 1 C 244、两条平行直线 A x By C 1 0 与 A x By C 2 0 间的距离公式：dA 2 B 2注：求直线 A x By C 0 的平行线,可设平行线为 A x By m 0,求出 m 即得；2 2圆的一般方程 x y Dx Ey F 0 . 其中圆心为 D, E ,半径为 r D 2 E 2 4 F,其中 D 2E 24 F 0 2 2 248、直线与圆相交于 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 两点,求弦 AB长度的公式： （1）| AB | 2 r 2d 22 2（2）| AB | 1 k x 1 x 2 4 x 1 x 2（结合韦达定理使用） ,其中 k 是直线的斜率（ 1）频率分布直方图（留意其纵坐标是“ 频率 /组距）极差 频数 频率组数,频率,小矩形面积 组距 频率；组距 样本容量 组距（ 2）数字特点 众数：一组数据中,显现次数最多的数；中位数：一组数从小到大排列,最中间的那个数（如最中间有两个数,就取其平均数）；57、互斥大事概念：在一次随机大事中,不行能同时发生的两个大事,叫做互斥大事（如图 1）；假如大事 A 、B 是互斥大事,就 P（A+B ）=P（A ）+P（ B）58、对立大事（如图 2）：指两个大事不行能同时发生,但必有一个发生；A B 图 1 对立大事性质：P（A）+P（ A ）=1,其中 A 表示大事 A 的对立大事；59、古典概型是最简洁的随机试验模型,古典概型有两个特点：A B （ 1）基本领件个数是有限的；图（ 2）（ 2）各基本领件的显现是等可能的,即它们发生的概率相同60、设一试验有 n 个等可能的基本领件,而大事 A 恰包含其中的 m 个基本领件,就大事 A 的概率 PA 公式为A 包含的基本领件的个数 mP A = 基本领件的总数 n62、终边相同角构成的集合：| 2 k , k Z63、弧度运算公式：lr64、扇形面积公式：S 1lr 1r 2 为弧度 2 265、三角函数的定义：已知 P x , y 是 的终边上除原点外的任一点 Px,y 就 sinr y,cos xr,tan yx , 其中 r 2x 2y 2 r x y 66、三角函数值的符号：一全正,二正弦,三正切,四余弦名师归纳总结 sin0 64322350 3第 6 页,共 10 页34620 1231 321-1 222222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cos1 3210 -1 2-2-3-1 0 22222tan 0 3 3 1 3 不存在-3-1 -3 3 0 不存在68、同角三角函数的关系：sin 2cos 2,1 tan sincos69、和角与差角公式：二倍角公式：sin sin cos cos sin ; sin 2 2 sin cos2 2 2cos cos cos sin sin ; cos 2 cos sin 1 2 sin2tan tan 2tan 2 cos 1tan . tan 2 21 tan tan 1 tan70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变 ,符号看象限；其中,奇偶是指 的个数 ,符号参考第 66 条. 2sin 2 k sin sin sin sin sin sin sincos 2 k cos cos cos cos cos cos costan 2 k tan tan tan tan tan tan tansin cos cos sin sin cos cos sin2 2 2 271 、 辅 助 角 公 式 ：a sin b cos = a 2b 2 sin 辅 助 角 所 在 象 限 与 点 , a b 的 象 限 相 同 , 且btan . 主要在求周期、单调性、最值时运用；如 y 3 sin x cos x 2 sin x a 672、半角公式 降幂公式 ：sin 2 1 cos,cos 2 1 cos2 2 2 273、三角函数 y A sin x 的性质（A 0 , 0）（ 1）最小正周期 T 2；振幅为 A；频率 f 1；相位：x；初相：；值域： A , A ；T对称轴：由 x k 解得 x；对称中心：由 x k 解得 x 组成的点 x , 0 2（ 2）图象平移：x 左加右减、y 上加下减；例如：向左平移 1 个单位,解析式变为 y A sin x 1 向下平移 3 个单位,解析式变为 y A sin x 3（ 3）函数 y tan x 的最小正周期 T . 74、正弦定理：在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等；75、余弦定理：2 bccosA ,abcC2RR 是三角形外接圆半径 B 第 7 页,共 10 页sinAsinBsin推论c o s Ab2c2a2,bC aa2b2c22bc2cb2,A cc o s Ba2b2c2a22 cacos B,2ca2 ca2b22abcos C.c o s Ca2c2.b2名师归纳总结 2ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 76、三角形的面积公式：S ABC1absinC1acsinB1bcsinA .3 2x 22277、三角函数的图象与性质和性质三角函数ysinxycosxytanx图象-y 2x - 2y 1 2x - 2y 21 0 -1 20 0 -1 2定义域,k2,k2值域-1 ,1 -1 ,1 ,2k最大值x22k,ymax1x2k,ymax1最小值x22k,ymin1x2k,y min1周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数在22k,22k在2k,2k在2k,2单调性上是增函数上是增函数上都是增函数kZ在22k,32k在2k,2k2上是减函数上是减函数78、向量的三角形法就： 79、向量的平行四边形法就：a+b b b b-a b a a+b a a 80、平面对量的坐标运算: 设向量 a=x 1,y 1, 向量 b=x 2,y 2（1）加法 a+b=x 1x 2,y 1y 2. （2）减法 a-b=x 1x 2,y 1y 2. （3）数乘a=x 1,y 1x 1,y 1（4）数量积 a·b=| a| b|cos =x 1x2y 1y2,其中是这两个向量的夹角（5）已知两点Ax y 1,Bx 2,y 2,就向量ABOBOAx 2x y 2y 1. 81、向量 a= , x y 的模： | a|=a2aax2y2,即|a2|a282、两向量的夹角公式cosa b2 x 1x x 2y y2y2a b2 y 1x2 2a .283、向量的平行与垂直（b0）a| b b = a x y 2x y 10. 记法：a=x y 1, b=x 2,y 2ab a·b=0 x x 2y y 20.记法 ： a =x y 1, b=x 2,y 284、数列前 n 项和与通项公式的关系: anS 1Sn1,n;1 数列 na的前 n 项的和为s na 1a 2Sn,n2.85、等差、等比数列公式对比名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - nN等差数列等比数列anan1dan1q q0 定义式an通项公式及a ana 1a mn n1 dmda nn a 1 qn a m q1m推广公式na n中项公式如a A b 成等差,就Aa2b如a G b 成等比,就G2ab运算性质如mnpq2r ,就如mnpq2r ,就a na ma pa q2 a ra a n ma a p qa r 2前 n 项和公S nna12anna 1q,1S na 11qna 1a nq,q1 .式na 1nn1d1q1q2一个性质S m,S 2mS m,S 3mS 2m成等差数列S m,S 2mS m,S 3mS 2m成等比数列椭圆标准方程：焦点在x 轴:x2y21ab0；焦点在 y 轴:y2x2e1ab0；a2b2a2b2长轴长 =2a,短轴长 =2b 焦距： 2c 恒等式： a 2-b2=c2离心率 ：ca双曲线定义：如F1, F2 是两定点,PF1PF22 a（ a为常数）,就动点P 的轨迹是双曲线；图形：如图 标准方程：焦点在 x 轴:x2y21a0,b0 ；当焦点在 y 轴时,渐近线方程为yaxa2b2焦点在 y 轴:y2x21a0,b0 a2b2实轴长 = a,虚轴长 =2b,焦距： 2c 恒等式： a 2+b2=c 2离心率 ：eca渐近线方程：当焦点在x 轴时,渐近线方程为ybxab等轴双曲线：当ab时,双曲线称为等轴双曲线,可设为x2y2；94、抛物线定义：到定点F 距离与到定直线l 的距离相等的点M 的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH ）；图形：H FM , 0F p 2准线名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程y22px ,p0 2 y2p x , p0 2 x2p y , p0 2 x2p y , p0 焦点：F p 2, 0F p,0F 0,pF 0,p）第 10 页,共 10 页222准线方程：xpxpypyp2222留意：几何特点：焦点到顶点的距离=p ；焦点到准线的距离 2= p ；101、复数zabi ,其中 a 叫做实部, b 叫做虚部a bi c di a c b d . （a b c dR ）1 复数的相等2 当 a=0,b 0 时,z=bi为纯虚数 ; 4 复数 z 的共轭复数是zabi5 复数 zabi 的模 |z =a2b2. 3 乘： abicdiacbdbcad i ; 类似多项式相乘4 除：abiabicdi（分子、分母乘分母共轭复数,此法称为“ 分母实数化”cdicdicdi名师归纳总结 - - - - - - -