2018版高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 .doc

www.ks5u.com第2课时分段函数及映射学习目标1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点)预习教材P21P22，完成下面问题：知识点1分段函数分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系；(3)结论：这样的函数称为分段函数【预习评价】已知函数f(x)，则f_，f_.解析由题意得f232，ff(2)2(2)31.答案21知识点2映射映射的定义：【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数是特殊的映射()(2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应()(3)按照一定的对应关系，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射()提示(1)根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数；(2)映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”；(3)从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射题型一映射的概念及应用【例1】(1)下列对应是集合A到集合B上的映射的是()AAN*，BN*，f：x|x3|BAN*，B1,1，2，f：x(1)xCAZ，BQ，f：xDAN*，BR，f：xx的平方根(2)已知映射f：AB，在f的作用下，A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x2y1,4x3y1)，求：A中元素(1,2)在f作用下与之对应的B中的元素在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素(1)解析对于选项A，由于A中的元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值在B中找不到象，所以不是映射；对于选项B，对任意的正整数x，在集合B中有唯一的1或1与之对应，符合映射的定义；对于选项C,0在f下无意义，所以不是映射；对于选项D，正整数在实数集R中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射答案B(2)解由题意可知当x1，y2时，3x2y13(1)2216，4x3y14(1)3211，故A中元素(1,2)在f的作用下与之对应的B中的元素是(6,1)设在映射f作用下，B中元素(1,1)对应A中的元素为(x，y)，则解之得，即A中的元素为.规律方法1.判断一个对应是不是映射的两个关键(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应(2)B中的对应元素是不是唯一的2求对应元素的两种类型及处理思路(映射f：AB)(1)若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可(2)若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个【训练1】下列各个对应中，构成映射的是()解析对于A，集合M中元素2在集合N中无元素与之对应，对于C，D，均有M中的一个元素与集合N中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B答案B典例迁移题型二分段函数求值问题【例2】已知函数f(x)求f(5)，f(1)，f.解由5(，2，1(2,2)，(，2，知f(5)514，f(1)3158，fff35.【迁移1】(变换所求)例2条件不变，若f(a)3，求实数a的值解当a2时，f(a)a13，即a2>2，不合题意，舍去；当2<a<2时，f(a)3a53，即a(2,2)，符合题意；当a2时，f(a)2a13，即a22，)，符合题意综上可得，当f(a)3时，a的值为或2.【迁移2】(变换所求)例2的条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围解当x2时，f(x)>2x可化为x1>2x，即x<1，所以x2；当2<x<2时，f(x)>2x可化为3x5>2x，即x>5，所以2<x<2；当x2时，f(x)>2x可化为2x1>2x，则x.综上可得，x的取值范围是x|x<2规律方法1.求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解【训练2】函数f(x)若f(x0)8，则x0_.解析当x02时，f(x0)x28，即x6，x0或x0(舍去)当x0>2时，f(x0)2x08，x04.综上，x0或x04.答案或4题型三分段函数的图象及应用【例3】(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为_(2)已知函数f(x)1(2<x2)用分段函数的形式表示函数f(x)；画出函数f(x)的图象；写出函数f(x)的值域(1)解析当0x1时，f(x)1；当1<x2时，设f(x)kxb(k0)，则解得此时f(x)x2.综上，f(x)答案f(x)(2)解当0x2时，f(x)11，当2<x<0时，f(x)11x.所以f(x)函数f(x)的图象如图所示由(2)知，f(x)在(2,2上的值域为1,3)规律方法1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型(2)设函数式：设出函数的解析式(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式(4)下结论：最后用“”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围2作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点【训练3】已知f(x)(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的值域解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当1x1时，f(x)x2的值域为0,1，当x1或x1时，f(x)1，所以f(x)的值域为0,1课堂达标1已知函数f(x)则f(0)()A2BC1D0解析因为0(，2)，所以f(0)1.答案C2下列图形是函数yx|x|的图象的是()解析y故选D答案D3如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A3B4C5D6解析由映射的定义知是映射答案A4设函数f(x)，若f(a)4，则实数a_.解析当a0时，f(a)a4，即a4；当a>0时，f(a)a24，a2(a2舍去)，故a4或a2.答案4或25作出y的图象，并求y的值域解y值域为y7,7图象如右图课堂小结1对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况2函数与映射的关系映射f：AB，其中A、B是两个“非空集合”，而函数yf(x)，xA为“非空的实数集”，其值域也是实数集于是，函数是数集到数集的映射由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射